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9. 真实情境 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品的销售价格，即根据商品的最低销售限价$a$，最高销售限价$b(b ＞ a)$以及实数$x(0 ＜ x ＜ 1)$确定实际销售价格$c = a + x(b - a)$，这里$x$被称为乐观系数。经验表明，最佳乐观系数$x$恰好使得$\frac{b - a}{c - a} = \frac{c - a}{b - c}$，据此可得，最佳乐观系数$x$的值等于（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
答案
9.D 【解析】因为$\dfrac{b-a}{c-a}=\dfrac{c-a}{b-c}$，所以$(c-a)^2=(b-a)(b-c)$。因为$c=a+x(b-a)$，所以$c-a=x(b-a)$。把$c-a=x(b-a)$代入$(c-a)^2=(b-a)(b-c)$，得$x^2(b-a)^2=(b-a)[b-a-x(b-a)]$，即$x^2(b-a)^2=(1-x)(b-a)^2$。因为$b＞a$，所以$b-a≠0$，所以$x^2=1-x$，即$x^2+x-1=0$，解得$x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$，或$x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$。因为$0＜x＜1$，所以$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。
解析
【分析】
本题是结合实际情境的数学应用问题，解题思路如下：首先利用比例的基本性质将题目给出的比例式转化为乘积相等的等式；接着将已知的实际销售价格表达式代入，替换式中的$c-a$和$b-c$；再化简得到关于乐观系数$x$的一元二次方程；最后解方程并结合$0＜x＜1$的取值范围确定正确答案。
【解析】
根据题目给出的比例关系$\frac{b - a}{c - a} = \frac{c - a}{b - c}$，由比例的基本性质（交叉相乘）可得：
$(c - a)^2 = (b - a)(b - c)$。
已知实际销售价格$c = a + x(b - a)$，因此：
$c - a = x(b - a)$，
$b - c = b - [a + x(b - a)] = (b - a) - x(b - a) = (1 - x)(b - a)$。
将上述两式代入$(c - a)^2 = (b - a)(b - c)$，得：
$[x(b - a)]^2 = (b - a) · (1 - x)(b - a)$，
即$x^2(b - a)^2 = (1 - x)(b - a)^2$。
因为$b ＞ a$，所以$b - a ≠ 0$，两边同时除以$(b - a)^2$，化简得：
$x^2 = 1 - x$，整理为一元二次方程：$x^2 + x - 1 = 0$。
用求根公式解得：
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 × 1 × (-1)}}{2 × 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$。
结合条件$0 ＜ x ＜ 1$，舍去负根$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$，因此$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质、一元二次方程的解法
【点评】
本题以实际销售定价为背景，考查比例性质与一元二次方程的综合应用，核心是等式的转化与化简，解题时需注意结合$x$的取值范围筛选解，属于中等难度的应用类题目。
【难度系数】
0.6
本题是结合实际情境的数学应用问题，解题思路如下：首先利用比例的基本性质将题目给出的比例式转化为乘积相等的等式；接着将已知的实际销售价格表达式代入，替换式中的$c-a$和$b-c$；再化简得到关于乐观系数$x$的一元二次方程；最后解方程并结合$0＜x＜1$的取值范围确定正确答案。
【解析】
根据题目给出的比例关系$\frac{b - a}{c - a} = \frac{c - a}{b - c}$，由比例的基本性质（交叉相乘）可得：
$(c - a)^2 = (b - a)(b - c)$。
已知实际销售价格$c = a + x(b - a)$，因此：
$c - a = x(b - a)$，
$b - c = b - [a + x(b - a)] = (b - a) - x(b - a) = (1 - x)(b - a)$。
将上述两式代入$(c - a)^2 = (b - a)(b - c)$，得：
$[x(b - a)]^2 = (b - a) · (1 - x)(b - a)$，
即$x^2(b - a)^2 = (1 - x)(b - a)^2$。
因为$b ＞ a$，所以$b - a ≠ 0$，两边同时除以$(b - a)^2$，化简得：
$x^2 = 1 - x$，整理为一元二次方程：$x^2 + x - 1 = 0$。
用求根公式解得：
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 × 1 × (-1)}}{2 × 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$。
结合条件$0 ＜ x ＜ 1$，舍去负根$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$，因此$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质、一元二次方程的解法
【点评】
本题以实际销售定价为背景，考查比例性质与一元二次方程的综合应用，核心是等式的转化与化简，解题时需注意结合$x$的取值范围筛选解，属于中等难度的应用类题目。
【难度系数】
0.6
10.设$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 2 = 0$的两个实数根，且$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8$，则$m$的值为 （
A.1
B.$-3$
C.3或$-1$
D.1或$-3$
A
）A.1
B.$-3$
C.3或$-1$
D.1或$-3$
答案
10.A 【解析】因为$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2-2(m+1)x+m^2+2=0$的两个实数根，所以$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2+2$，$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2(m+1)$。因为$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=8$，所以$m^2+2+2(m+1)+1=8$。整理，得$m^2+2m-3=0$，即$(m-1)(m+3)=0$，解得$m=1$，或$m=-3$。当$m=1$时，原方程为$x^2-4x+3=0$，$\Delta=b^2-4ac=16-4×1×3=4＞0$，则原方程有两个不相等的实数根，符合题意；当$m=-3$时，原方程为$x^2+4x+11=0$，$\Delta=b^2-4ac=16-4×1×11=-28＜0$，则原方程无实数根，不符合题意。综上所述，$m=1$。
解析
【分析】
这道题的解题思路是：先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），将方程两根的和与积用参数$m$表示；再把已知等式$(x_1 + 1)(x_2 + 1)=8$展开，代入两根和与积的表达式，得到关于$m$的方程并求解；最后根据一元二次方程有两个实数根的条件（判别式$\Delta≥0$），筛选出符合题意的$m$值，从而得出答案。
【解析】
因为$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 2 = 0$的两个实数根，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = 2(m + 1)$，$x_1x_2 = m^2 + 2$。
将等式$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$展开得：
$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 8$。
把$x_1 + x_2$和$x_1x_2$代入上式，得：
$m^2 + 2 + 2(m + 1) + 1 = 8$，
整理得：$m^2 + 2m - 3 = 0$，
因式分解得：$(m - 1)(m + 3) = 0$，
解得$m = 1$或$m = -3$。
接下来验证$m$的取值是否使原方程有两个实数根，计算判别式$\Delta$：
当$m = 1$时，原方程为$x^2 - 4x + 3 = 0$，$\Delta = (-4)^2 - 4×1×3 = 4 ＞ 0$，符合题意；
当$m = -3$时，原方程为$x^2 + 4x + 11 = 0$，$\Delta = 4^2 - 4×1×11 = -28 ＜ 0$，无实数根，不符合题意，舍去。
综上，$m$的值为$1$。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】本题综合考查韦达定理和根的判别式的应用，解题核心是利用韦达定理建立参数方程，同时需注意验证参数取值是否满足方程有实根的条件，避免因忽略判别式导致错解。
【难度系数】0.6
这道题的解题思路是：先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），将方程两根的和与积用参数$m$表示；再把已知等式$(x_1 + 1)(x_2 + 1)=8$展开，代入两根和与积的表达式，得到关于$m$的方程并求解；最后根据一元二次方程有两个实数根的条件（判别式$\Delta≥0$），筛选出符合题意的$m$值，从而得出答案。
【解析】
因为$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 2 = 0$的两个实数根，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = 2(m + 1)$，$x_1x_2 = m^2 + 2$。
将等式$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$展开得：
$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 8$。
把$x_1 + x_2$和$x_1x_2$代入上式，得：
$m^2 + 2 + 2(m + 1) + 1 = 8$，
整理得：$m^2 + 2m - 3 = 0$，
因式分解得：$(m - 1)(m + 3) = 0$，
解得$m = 1$或$m = -3$。
接下来验证$m$的取值是否使原方程有两个实数根，计算判别式$\Delta$：
当$m = 1$时，原方程为$x^2 - 4x + 3 = 0$，$\Delta = (-4)^2 - 4×1×3 = 4 ＞ 0$，符合题意；
当$m = -3$时，原方程为$x^2 + 4x + 11 = 0$，$\Delta = 4^2 - 4×1×11 = -28 ＜ 0$，无实数根，不符合题意，舍去。
综上，$m$的值为$1$。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】本题综合考查韦达定理和根的判别式的应用，解题核心是利用韦达定理建立参数方程，同时需注意验证参数取值是否满足方程有实根的条件，避免因忽略判别式导致错解。
【难度系数】0.6
11. 方程$2x^2 - 4 = 0$的解是$\underline{\hspace{12cm}}$。
答案
11.$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
解析
【分析】
要解一元二次方程$2x^2 - 4 = 0$，先通过移项将常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，最后利用直接开平方法求解除，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
解：移项，得$2x^2 = 4$，
两边同时除以2，得$x^2 = 2$，
开平方，得$x = \pm\sqrt{2}$，
所以方程的解为$x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}$。
【答案】
$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，采用直接开平方法即可快速求解，步骤简单，主要考察学生对一元二次方程基本解法的掌握情况。
【难度系数】
0.9
要解一元二次方程$2x^2 - 4 = 0$，先通过移项将常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，最后利用直接开平方法求解除，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
解：移项，得$2x^2 = 4$，
两边同时除以2，得$x^2 = 2$，
开平方，得$x = \pm\sqrt{2}$，
所以方程的解为$x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}$。
【答案】
$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，采用直接开平方法即可快速求解，步骤简单，主要考察学生对一元二次方程基本解法的掌握情况。
【难度系数】
0.9
12. (2024·宁波市南三县期末)已知关于$x$的方程$(m + 2)x^{m^2 - 2} + 3x - 1 = 0$为一元二次方程，则$m$的值是________。
答案
12.2
解析
【分析】首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不能为0。解题时需先根据未知数最高次数的条件列方程求出m的可能值，再根据二次项系数不为0的条件排除不符合的解，从而确定m的值。
【解析】因为方程$(m + 2)x^{m^2 - 2} + 3x - 1 = 0$是一元二次方程，所以需满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$m^2 - 2 = 2$；
2. 二次项系数不为0，即$m + 2 ≠ 0$。
解$m^2 - 2 = 2$，得$m^2 = 4$，所以$m = 2$或$m = -2$；
解$m + 2 ≠ 0$，得$m ≠ -2$。
综上，m的值只能是2。
【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的定义，核心是掌握“未知数最高次数为2且二次项系数不为0”，需注意避免忽略二次项系数不为0的条件，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】因为方程$(m + 2)x^{m^2 - 2} + 3x - 1 = 0$是一元二次方程，所以需满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$m^2 - 2 = 2$；
2. 二次项系数不为0，即$m + 2 ≠ 0$。
解$m^2 - 2 = 2$，得$m^2 = 4$，所以$m = 2$或$m = -2$；
解$m + 2 ≠ 0$，得$m ≠ -2$。
综上，m的值只能是2。
【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的定义，核心是掌握“未知数最高次数为2且二次项系数不为0”，需注意避免忽略二次项系数不为0的条件，属于基础题型。
【难度系数】0.7
13.(2025·杭州市余杭区期末模拟)一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度$h$(单位:米)和经过的水平距离$d$(单位:米)可用公式$h=d-0.01d^2$来估计。当球的高度第二次达到16米时,球的水平距离是________米。
答案
13.80
解析
【分析】要解决这个问题，需明确：当球的高度为16米时，将h=16代入给定的高度公式，得到关于水平距离d的一元二次方程；解方程会得到两个解，分别对应球第一次、第二次达到16米高度的水平距离，需取第二次对应的较大解。
【解析】解：令h=16，代入公式$h=d - 0.01d^2$，得：
$16 = d - 0.01d^2$
整理为一元二次方程的标准形式：
$0.01d^2 - d + 16 = 0$
方程两边同乘100消去小数系数：
$d^2 - 100d + 1600 = 0$
因式分解得：
$(d - 20)(d - 80) = 0$
解得$d_1=20$，$d_2=80$。其中$d=20$是球第一次达到16米高度时的水平距离，$d=80$是球第二次达到16米高度时的水平距离。
【答案】80
【知识点】二次函数的应用；一元二次方程的解法
【点评】本题是二次函数实际应用的基础题型，核心是将函数值转化为方程求解，关键在于理解“第二次达到高度”对应方程的较大根，考查学生对一元二次方程解法的掌握。
【难度系数】0.6
【解析】解：令h=16，代入公式$h=d - 0.01d^2$，得：
$16 = d - 0.01d^2$
整理为一元二次方程的标准形式：
$0.01d^2 - d + 16 = 0$
方程两边同乘100消去小数系数：
$d^2 - 100d + 1600 = 0$
因式分解得：
$(d - 20)(d - 80) = 0$
解得$d_1=20$，$d_2=80$。其中$d=20$是球第一次达到16米高度时的水平距离，$d=80$是球第二次达到16米高度时的水平距离。
【答案】80
【知识点】二次函数的应用；一元二次方程的解法
【点评】本题是二次函数实际应用的基础题型，核心是将函数值转化为方程求解，关键在于理解“第二次达到高度”对应方程的较大根，考查学生对一元二次方程解法的掌握。
【难度系数】0.6
14. (2025·绍兴市柯桥区期末)已知关于x的一元二次方程$m(x-h)^2 - k = 0$($m,h,k$均为常数,且$m≠0$)的解是$x_1=2,x_2=5$,则关于x的一元二次方程$m(x - h + 3)^2 = k$的解是________。
答案
14.$x_1=-1,x_2=2$
解析
【分析】首先将已知一元二次方程变形为$m(x-h)^2=k$，根据方程解的意义，可知$x-h$的取值为$\pm\sqrt{\frac{k}{m}}$，对应得到$h\pm\sqrt{\frac{k}{m}}$的值；再将所求方程变形为与已知方程结构一致的形式，利用整体代换思想，把$(x+3)$看作整体，即可求出方程的解。
【解析】已知方程$m(x-h)^2 -k=0$（$m≠0$）的解为$x_1=2,x_2=5$，将其变形为$m(x-h)^2=k$，即$(x-h)^2=\frac{k}{m}$，因此$x-h=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}$，可得方程的解为$x=h\pm\sqrt{\frac{k}{m}}$，即$h+\sqrt{\frac{k}{m}}=5$，$h-\sqrt{\frac{k}{m}}=2$。
对于方程$m(x-h+3)^2=k$，变形为$m[(x+3)-h]^2=k$，即$[(x+3)-h]^2=\frac{k}{m}$，所以$(x+3)-h=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}$，解得$x=h\pm\sqrt{\frac{k}{m}}-3$。
将$h+\sqrt{\frac{k}{m}}=5$代入得$x=5-3=2$，将$h-\sqrt{\frac{k}{m}}=2$代入得$x=2-3=-1$，故所求方程的解为$x_1=-1,x_2=2$。
【答案】$x_1=-1,x_2=2$
【知识点】一元二次方程的解、整体代换思想
【点评】本题考查一元二次方程解的应用，核心是运用整体代换简化计算，无需直接求解参数，属于基础题型，重点考查学生对整体思想的掌握。
【难度系数】0.6
【解析】已知方程$m(x-h)^2 -k=0$（$m≠0$）的解为$x_1=2,x_2=5$，将其变形为$m(x-h)^2=k$，即$(x-h)^2=\frac{k}{m}$，因此$x-h=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}$，可得方程的解为$x=h\pm\sqrt{\frac{k}{m}}$，即$h+\sqrt{\frac{k}{m}}=5$，$h-\sqrt{\frac{k}{m}}=2$。
对于方程$m(x-h+3)^2=k$，变形为$m[(x+3)-h]^2=k$，即$[(x+3)-h]^2=\frac{k}{m}$，所以$(x+3)-h=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}$，解得$x=h\pm\sqrt{\frac{k}{m}}-3$。
将$h+\sqrt{\frac{k}{m}}=5$代入得$x=5-3=2$，将$h-\sqrt{\frac{k}{m}}=2$代入得$x=2-3=-1$，故所求方程的解为$x_1=-1,x_2=2$。
【答案】$x_1=-1,x_2=2$
【知识点】一元二次方程的解、整体代换思想
【点评】本题考查一元二次方程解的应用，核心是运用整体代换简化计算，无需直接求解参数，属于基础题型，重点考查学生对整体思想的掌握。
【难度系数】0.6
15. (2025·湖州市吴兴区期末)已知两个关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$($b,c$均为常数),$x^2 + bx + c = x - 3$。其中,方程$x^2 + bx + c = 0$的一个根是$x=3$,方程$x^2 + bx + c = x - 3$有两个相等的实数根,则$b$的值是________。
答案
15.$-5$ 【解析】因为方程$x^2+bx+c=0$的一个根是$x=3$，所以$9+3b+c=0$，所以$c=-9-3b$。因为方程$x^2+bx+c=x-3$有两个相等的实数根，所以方程$x^2+(b-1)x+c+3=0$有两个相等的实数根，所以$\Delta=(b-1)^2-4(c+3)=0$，所以$(b-1)^2-4(-9-3b+3)=0$，解得$b_1=b_2=-5$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的定义和根的判别式的性质建立关系式：先将已知根代入第一个方程，得到b与c的关系；再整理第二个方程为标准形式，根据其有两个相等实数根的条件（判别式为0）得到另一组b、c的关系；最后联立求解b的值。
【解析】
解：1. 因为方程$x^2 + bx + c = 0$的一个根是$x=3$，将$x=3$代入得：
$9 + 3b + c = 0$，整理得$c = -9 - 3b$。
2. 整理方程$x^2 + bx + c = x - 3$，移项化为标准一元二次方程：
$x^2 + (b - 1)x + (c + 3) = 0$。
3. 因该方程有两个相等实数根，故判别式$\Delta = 0$，即：
$\Delta = (b - 1)^2 - 4(c + 3) = 0$。
4. 将$c = -9 - 3b$代入判别式等式：
$\begin{aligned}(b - 1)^2 - 4(-9 - 3b + 3) &= 0 \\b^2 - 2b + 1 + 24 + 12b &= 0 \\b^2 + 10b + 25 &= 0 \\(b + 5)^2 &= 0\end{aligned}$
解得$b = -5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的定义和根的判别式的应用，解题关键是熟练运用代入法建立参数关系，利用判别式为0的条件求解，属于期末基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的定义和根的判别式的性质建立关系式：先将已知根代入第一个方程，得到b与c的关系；再整理第二个方程为标准形式，根据其有两个相等实数根的条件（判别式为0）得到另一组b、c的关系；最后联立求解b的值。
【解析】
解：1. 因为方程$x^2 + bx + c = 0$的一个根是$x=3$，将$x=3$代入得：
$9 + 3b + c = 0$，整理得$c = -9 - 3b$。
2. 整理方程$x^2 + bx + c = x - 3$，移项化为标准一元二次方程：
$x^2 + (b - 1)x + (c + 3) = 0$。
3. 因该方程有两个相等实数根，故判别式$\Delta = 0$，即：
$\Delta = (b - 1)^2 - 4(c + 3) = 0$。
4. 将$c = -9 - 3b$代入判别式等式：
$\begin{aligned}(b - 1)^2 - 4(-9 - 3b + 3) &= 0 \\b^2 - 2b + 1 + 24 + 12b &= 0 \\b^2 + 10b + 25 &= 0 \\(b + 5)^2 &= 0\end{aligned}$
解得$b = -5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的定义和根的判别式的应用，解题关键是熟练运用代入法建立参数关系，利用判别式为0的条件求解，属于期末基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
16. 已知关于$x$的方程$x^2 - (a + b)x + ab - 2 = 0$，$x_1, x_2$是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①$x_1 ≠ x_2$；②$x_1x_2 ＞ ab$；③$x_1^2 + x_2^2 ＞ a^2 + b^2$，则正确结论的序号是________（填所有正确结论的序号）。
答案
16.①③ 【解析】因为在方程$x^2-(a+b)x+ab-2=0$中，$\Delta=(a+b)^2-4(ab-2)=(a-b)^2+8＞0$，所以方程有两个不相等的实数根，即$x_1≠x_2$，故①正确；因为$x_1x_2=ab-2＜ab$，故②错误；因为$x_1+x_2=a+b$，所以$(x_1+x_2)^2=(a+b)^2$，即$x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=a^2+b^2+2ab$。因为$x_1x_2＜ab$，所以$x_1^2+x_2^2＞a^2+b^2$，故③正确。
解析
【分析】
要判断关于x的方程的根的情况，需利用一元二次方程根的判别式；判断根的乘积和平方和的大小，需结合韦达定理（根与系数的关系）。首先计算判别式Δ，判断根是否相等；再根据韦达定理得出两根之积，与ab比较；最后将x₁²+x₂²转化为含两根和与积的形式，代入韦达定理的结果，与a²+b²比较即可。
【解析】
对于方程$x^2 - (a + b)x + ab - 2 = 0$，其判别式$\Delta = [-(a+b)]^2 - 4×1×(ab - 2) = (a+b)^2 - 4ab + 8 = (a - b)^2 + 8$。因为$(a - b)^2 ≥ 0$，所以$\Delta = (a - b)^2 + 8 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根，故结论①$x_1≠x_2$正确；根据韦达定理，两根之积$x_1x_2 = ab - 2$，显然$ab - 2 ＜ ab$，故结论②错误；根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = a + b$，则$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (a + b)^2 - 2(ab - 2) = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab + 4 = a^2 + b^2 + 4$，因为$a^2 + b^2 + 4 ＞ a^2 + b^2$，故结论③正确。
【答案】
①③
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题主要考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，需熟练掌握判别式判断根的情况，以及利用韦达定理对代数式进行变形比较，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
要判断关于x的方程的根的情况，需利用一元二次方程根的判别式；判断根的乘积和平方和的大小，需结合韦达定理（根与系数的关系）。首先计算判别式Δ，判断根是否相等；再根据韦达定理得出两根之积，与ab比较；最后将x₁²+x₂²转化为含两根和与积的形式，代入韦达定理的结果，与a²+b²比较即可。
【解析】
对于方程$x^2 - (a + b)x + ab - 2 = 0$，其判别式$\Delta = [-(a+b)]^2 - 4×1×(ab - 2) = (a+b)^2 - 4ab + 8 = (a - b)^2 + 8$。因为$(a - b)^2 ≥ 0$，所以$\Delta = (a - b)^2 + 8 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根，故结论①$x_1≠x_2$正确；根据韦达定理，两根之积$x_1x_2 = ab - 2$，显然$ab - 2 ＜ ab$，故结论②错误；根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = a + b$，则$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (a + b)^2 - 2(ab - 2) = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab + 4 = a^2 + b^2 + 4$，因为$a^2 + b^2 + 4 ＞ a^2 + b^2$，故结论③正确。
【答案】
①③
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题主要考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，需熟练掌握判别式判断根的情况，以及利用韦达定理对代数式进行变形比较，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
三、解答题(本大题有8小题,共72分)
17.(8分)(2025·金华市兰溪市期末)解方程:
(1)$x^2 - 2x = 15$；
(2)$x^2 - 7x + 1 = 0$。
17.(8分)(2025·金华市兰溪市期末)解方程:
(1)$x^2 - 2x = 15$；
(2)$x^2 - 7x + 1 = 0$。
答案
17.(1)解:移项,得$x^2-2x-15=0$。将方程的左边分解因式,得$(x-5)(x+3)=0$,则$x-5=0$,或$x+3=0$,解得$x_1=5$,$x_2=-3$。
(2)解:对于$x^2-7x+1=0$,$a=1$,$b=-7$,$c=1$,$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×1×1=45＞0$,所以$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{7\pm\sqrt{45}}{2}$,解得$x_1=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}$。
(2)解:对于$x^2-7x+1=0$,$a=1$,$b=-7$,$c=1$,$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×1×1=45＞0$,所以$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{7\pm\sqrt{45}}{2}$,解得$x_1=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
解一元二次方程需根据方程形式选择合适的方法：第(1)题是可因式分解的一元二次方程，先移项化为一般式，再用十字相乘法分解因式，转化为两个一元一次方程求解；第(2)题是一般形式的一元二次方程，判别式大于0，选用公式法，先确定系数、计算判别式，再代入求根公式计算。
【解析】
(1) 移项，得$x^2 - 2x - 15 = 0$。
将方程左边分解因式，得$(x - 5)(x + 3) = 0$，
则$x - 5 = 0$或$x + 3 = 0$，
解得$x_1 = 5$，$x_2 = -3$。
(2) 对于方程$x^2 - 7x + 1 = 0$，其中$a = 1$，$b = -7$，$c = 1$，
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×1×1 = 45 ＞ 0$，
代入求根公式$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，
得$x = \dfrac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \dfrac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$，
解得$x_1 = \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=5$，$x_2=-3$；(2)$x_1=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的两种基础解法，属于核心基础题型，需学生熟练掌握因式分解法和公式法的操作步骤，是一元二次方程章节的重点内容。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需根据方程形式选择合适的方法：第(1)题是可因式分解的一元二次方程，先移项化为一般式，再用十字相乘法分解因式，转化为两个一元一次方程求解；第(2)题是一般形式的一元二次方程，判别式大于0，选用公式法，先确定系数、计算判别式，再代入求根公式计算。
【解析】
(1) 移项，得$x^2 - 2x - 15 = 0$。
将方程左边分解因式，得$(x - 5)(x + 3) = 0$，
则$x - 5 = 0$或$x + 3 = 0$，
解得$x_1 = 5$，$x_2 = -3$。
(2) 对于方程$x^2 - 7x + 1 = 0$，其中$a = 1$，$b = -7$，$c = 1$，
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×1×1 = 45 ＞ 0$，
代入求根公式$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，
得$x = \dfrac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \dfrac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$，
解得$x_1 = \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=5$，$x_2=-3$；(2)$x_1=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的两种基础解法，属于核心基础题型，需学生熟练掌握因式分解法和公式法的操作步骤，是一元二次方程章节的重点内容。
【难度系数】
0.8
