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18.(8分)(2025·宁波市北仑区期末)小北同学解一元二次方程$x^2 - 4x - 5 = 0$的过程如下所示:
(1)小北同学选用了
(2)请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答。
(1)小北同学选用了
配方法
(填“因式分解法”“配方法”或“公式法”)解该一元二次方程,他的解法从第②
步开始出现错误。(2)请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答。
答案
18.(1)配方法 ②
(2)解:将方程的左边分解因式,得$(x-5)(x+1)=0$,则$x-5=0$,或$x+1=0$,解得$x_1=5$,$x_2=-1$。
(2)解:将方程的左边分解因式,得$(x-5)(x+1)=0$,则$x-5=0$,或$x+1=0$,解得$x_1=5$,$x_2=-1$。
解析
【分析】
首先观察小北的解题过程，他通过移项、配方来解一元二次方程，选用的是配方法。配方法的核心是在二次项和一次项组成的式子中，加上一次项系数一半的平方完成配方，小北在第②步配方时错误地加了2，正确应加4，因此从第②步开始出错。解该方程更简便的方法是因式分解法，将左边二次式分解为两个一次式的乘积，再令每个因式为0即可求解。
【解析】
(1) 小北同学的解法是通过移项、配方求解，选用了配方法；配方法中，对$x^2-4x=5$配方时，一次项系数为-4，其一半的平方是$(-2)^2=4$，正确应为$(x-2)^2=5+4$，所以他的解法从第②步开始出现错误。
(2) 用因式分解法解方程：
将方程$x^2 - 4x - 5 = 0$左边因式分解，得$(x-5)(x+1)=0$，
则$x-5=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
【答案】
(1)配方法；② (2)$x_1=5$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基本解法，需掌握配方法的正确步骤（尤其是配方时常数项的计算），因式分解法适用于可分解为两个一次因式乘积的方程，解题时选择合适的方法能简化计算，属于基础题型，需注意避免配方时的计算错误。
【难度系数】
0.5
首先观察小北的解题过程，他通过移项、配方来解一元二次方程，选用的是配方法。配方法的核心是在二次项和一次项组成的式子中，加上一次项系数一半的平方完成配方，小北在第②步配方时错误地加了2，正确应加4，因此从第②步开始出错。解该方程更简便的方法是因式分解法，将左边二次式分解为两个一次式的乘积，再令每个因式为0即可求解。
【解析】
(1) 小北同学的解法是通过移项、配方求解，选用了配方法；配方法中，对$x^2-4x=5$配方时，一次项系数为-4，其一半的平方是$(-2)^2=4$，正确应为$(x-2)^2=5+4$，所以他的解法从第②步开始出现错误。
(2) 用因式分解法解方程：
将方程$x^2 - 4x - 5 = 0$左边因式分解，得$(x-5)(x+1)=0$，
则$x-5=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
【答案】
(1)配方法；② (2)$x_1=5$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基本解法，需掌握配方法的正确步骤（尤其是配方时常数项的计算），因式分解法适用于可分解为两个一次因式乘积的方程，解题时选择合适的方法能简化计算，属于基础题型，需注意避免配方时的计算错误。
【难度系数】
0.5
19.(8分)甲、乙两人同时解方程组$\begin{cases} ax+5y=15,① \\ 4x-by=-10,② \end{cases}$由于甲看错了方程①中的$a$,得到方程组的解为$\begin{cases} x=-3, \\ y=1; \end{cases}$乙看错了方程②中的$b$,得到方程组的解为$\begin{cases} x=5, \\ y=-4。 \end{cases}$
(1)求$a,b$的值。
(2)若关于$x$的一元二次方程$ax^2 - bx + m = 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$,且满足$7x_1 - 2x_2 = 7$,求实数$m$的值。
(1)求$a,b$的值。
(2)若关于$x$的一元二次方程$ax^2 - bx + m = 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$,且满足$7x_1 - 2x_2 = 7$,求实数$m$的值。
答案
19.(1)解:由题意,得$\begin{cases} 5a+5×(-4)=15, \\ 4×(-3)-b=-10, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=7, \\ b=-2。 \end{cases}$
(2)解:当$\begin{cases} a=7, \\ b=-2 \end{cases}$时,一元二次方程$ax^2-bx+m=0$为$7x^2+2x+m=0$。由根与系数的关系,得$x_1+x_2=-\dfrac{2}{7}$,$x_1x_2=\dfrac{m}{7}$。联立方程组,得$\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{2}{7}, \\ 7x_1-2x_2=7, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x_1=\dfrac{5}{7}, \\ x_2=-1。 \end{cases}$ 所以$x_1x_2=\dfrac{m}{7}=-\dfrac{5}{7}$,所以$m=-5$。
(2)解:当$\begin{cases} a=7, \\ b=-2 \end{cases}$时,一元二次方程$ax^2-bx+m=0$为$7x^2+2x+m=0$。由根与系数的关系,得$x_1+x_2=-\dfrac{2}{7}$,$x_1x_2=\dfrac{m}{7}$。联立方程组,得$\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{2}{7}, \\ 7x_1-2x_2=7, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x_1=\dfrac{5}{7}, \\ x_2=-1。 \end{cases}$ 所以$x_1x_2=\dfrac{m}{7}=-\dfrac{5}{7}$,所以$m=-5$。
解析
【分析】
首先，甲看错了方程①中的a，说明甲得到的解满足方程②，将其代入方程②可求出b的值；乙看错了方程②中的b，说明乙得到的解满足方程①，将其代入方程①可求出a的值。接着，将求得的a、b代入一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和与两根之积，再结合题目给出的7x₁ - 2x₂ =7，联立方程组求出两根，最后通过两根之积求出m的值。
【解析】
(1) 因为甲看错了方程①中的a，所以甲的解$\begin{cases} x=-3 \\ y=1 \end{cases}$满足方程②，将其代入方程②：
$4×(-3) - b×1 = -10$，
计算得：$-12 - b = -10$，
解得：$b = -2$。
因为乙看错了方程②中的b，所以乙的解$\begin{cases} x=5 \\ y=-4 \end{cases}$满足方程①，将其代入方程①：
$a×5 + 5×(-4) =15$，
计算得：$5a -20 =15$，
解得：$a=7$。
(2) 将$a=7$，$b=-2$代入一元二次方程$ax² -bx +m=0$，得：
$7x² - (-2)x +m=0$，即$7x² +2x +m=0$。
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得：
$x₁ + x₂ = -\frac{2}{7}$，$x₁x₂ = \frac{m}{7}$。
联立$\begin{cases} x₁ + x₂ = -\frac{2}{7} \\ 7x₁ -2x₂ =7 \end{cases}$，
将第一个方程两边同乘2，得$2x₁ +2x₂ = -\frac{4}{7}$，
与第二个方程相加：$9x₁ =7 - \frac{4}{7} = \frac{45}{7}$，
解得$x₁ = \frac{5}{7}$，代入$x₁ +x₂ = -\frac{2}{7}$，得$x₂ = -\frac{2}{7} - \frac{5}{7} = -1$。
所以$x₁x₂ = \frac{5}{7}×(-1) = -\frac{5}{7} = \frac{m}{7}$，
解得$m=-5$。
【答案】
(1) $a=7$，$b=-2$；(2) $m=-5$
【知识点】
二元一次方程组的解，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题综合考查二元一次方程组的解的性质和一元二次方程的韦达定理，解题关键是理解看错系数时解对应的正确方程，再结合韦达定理联立求解，注重基础知识的综合应用能力考查。
【难度系数】
0.5
首先，甲看错了方程①中的a，说明甲得到的解满足方程②，将其代入方程②可求出b的值；乙看错了方程②中的b，说明乙得到的解满足方程①，将其代入方程①可求出a的值。接着，将求得的a、b代入一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和与两根之积，再结合题目给出的7x₁ - 2x₂ =7，联立方程组求出两根，最后通过两根之积求出m的值。
【解析】
(1) 因为甲看错了方程①中的a，所以甲的解$\begin{cases} x=-3 \\ y=1 \end{cases}$满足方程②，将其代入方程②：
$4×(-3) - b×1 = -10$，
计算得：$-12 - b = -10$，
解得：$b = -2$。
因为乙看错了方程②中的b，所以乙的解$\begin{cases} x=5 \\ y=-4 \end{cases}$满足方程①，将其代入方程①：
$a×5 + 5×(-4) =15$，
计算得：$5a -20 =15$，
解得：$a=7$。
(2) 将$a=7$，$b=-2$代入一元二次方程$ax² -bx +m=0$，得：
$7x² - (-2)x +m=0$，即$7x² +2x +m=0$。
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得：
$x₁ + x₂ = -\frac{2}{7}$，$x₁x₂ = \frac{m}{7}$。
联立$\begin{cases} x₁ + x₂ = -\frac{2}{7} \\ 7x₁ -2x₂ =7 \end{cases}$，
将第一个方程两边同乘2，得$2x₁ +2x₂ = -\frac{4}{7}$，
与第二个方程相加：$9x₁ =7 - \frac{4}{7} = \frac{45}{7}$，
解得$x₁ = \frac{5}{7}$，代入$x₁ +x₂ = -\frac{2}{7}$，得$x₂ = -\frac{2}{7} - \frac{5}{7} = -1$。
所以$x₁x₂ = \frac{5}{7}×(-1) = -\frac{5}{7} = \frac{m}{7}$，
解得$m=-5$。
【答案】
(1) $a=7$，$b=-2$；(2) $m=-5$
【知识点】
二元一次方程组的解，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题综合考查二元一次方程组的解的性质和一元二次方程的韦达定理，解题关键是理解看错系数时解对应的正确方程，再结合韦达定理联立求解，注重基础知识的综合应用能力考查。
【难度系数】
0.5
