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20.(8分)(2025·杭州市滨江区期末)用篱笆围成如图所示的长方形ABCD菜地,其中间也用一道篱笆隔开,菜地的一边靠墙(墙长为40米)。已知篱笆的总长为60米(篱笆全部用完),设AB长x米。
(1)用含x的代数式表示BC的长。
(2)长方形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米?若能,请求出x的值;若不能,请说明理由。
(1)用含x的代数式表示BC的长。
(2)长方形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米?若能,请求出x的值;若不能,请说明理由。
答案
20.(1)解:因为篱笆的总长为60米,AB长x米,所以$BC=(60-3x)$米。
(2)解:能。由题意,得$x(60-3x)=225$,解得$x_1=15$,$x_2=5$。当$x=5$时,$BC=60-5×3=45＞40$;当$x=15$时,$BC=60-15×3=15＜40$。因为墙长为40米,所以$x=5$不符合题意,舍去,所以$x$的值为15。
(2)解:能。由题意,得$x(60-3x)=225$,解得$x_1=15$,$x_2=5$。当$x=5$时,$BC=60-5×3=45＞40$;当$x=15$时,$BC=60-15×3=15＜40$。因为墙长为40米,所以$x=5$不符合题意,舍去,所以$x$的值为15。
解析
【分析】
首先观察图形，垂直于墙的篱笆有3段，每段长度为AB=x米，因此垂直部分篱笆总长度为3x米；结合篱笆总长60米，可求出平行于墙的BC长度。对于面积问题，利用长方形面积公式列方程，同时需结合墙长40米的实际条件，对求出的解进行合理性检验，舍去不符合实际的解。
【解析】
(1) 由图可知，垂直于墙的篱笆共3段，每段长AB=x米，因此垂直部分篱笆总长为3x米。
已知篱笆总长为60米，所以BC的长度为：$60 - 3x$（米）。
(2) 根据长方形面积公式，菜地面积为$AB×BC$，结合面积为225平方米，列方程：
$x(60 - 3x) = 225$
整理得：$3x^2 - 60x + 225 = 0$，两边同除以3得：$x^2 - 20x + 75 = 0$
因式分解得：$(x - 15)(x - 5) = 0$，解得$x_1=15$，$x_2=5$。
检验解的合理性：
当$x=5$时，$BC=60 - 3×5=45$米，因墙长为40米，$45＞40$，不符合实际，舍去；
当$x=15$时，$BC=60 - 3×15=15$米，$15＜40$，符合题意。
因此$x$的值为15。
【答案】
(1) $BC=(60-3x)$米；(2) 能，$x=15$
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题核心是根据图形正确表示边长，列方程后需结合实际条件（墙长）检验解的合理性，避免忽略实际意义导致错误，是基础的应用题。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，垂直于墙的篱笆有3段，每段长度为AB=x米，因此垂直部分篱笆总长度为3x米；结合篱笆总长60米，可求出平行于墙的BC长度。对于面积问题，利用长方形面积公式列方程，同时需结合墙长40米的实际条件，对求出的解进行合理性检验，舍去不符合实际的解。
【解析】
(1) 由图可知，垂直于墙的篱笆共3段，每段长AB=x米，因此垂直部分篱笆总长为3x米。
已知篱笆总长为60米，所以BC的长度为：$60 - 3x$（米）。
(2) 根据长方形面积公式，菜地面积为$AB×BC$，结合面积为225平方米，列方程：
$x(60 - 3x) = 225$
整理得：$3x^2 - 60x + 225 = 0$，两边同除以3得：$x^2 - 20x + 75 = 0$
因式分解得：$(x - 15)(x - 5) = 0$，解得$x_1=15$，$x_2=5$。
检验解的合理性：
当$x=5$时，$BC=60 - 3×5=45$米，因墙长为40米，$45＞40$，不符合实际，舍去；
当$x=15$时，$BC=60 - 3×15=15$米，$15＜40$，符合题意。
因此$x$的值为15。
【答案】
(1) $BC=(60-3x)$米；(2) 能，$x=15$
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题核心是根据图形正确表示边长，列方程后需结合实际条件（墙长）检验解的合理性，避免忽略实际意义导致错误，是基础的应用题。
【难度系数】
0.6
21. (8分)(2025·杭州市钱塘区期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2k - 1)x + k(k - 1) = 0$。
(1)求证:该方程必有两个不相等的实数根。
(2)若$x_1,x_2$是该方程的两个根,且满足$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{3}{2}$,求$k$的值。
(1)求证:该方程必有两个不相等的实数根。
(2)若$x_1,x_2$是该方程的两个根,且满足$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{3}{2}$,求$k$的值。
答案
21.(1)证明:因为$\Delta=(2k-1)^2-4× k(k-1)=4k^2-4k+1-4k^2+4k=1＞0$,所以该方程必有两个不相等的实数根。
(2)解:由题意,得$x_1+x_2=-2k+1$,$x_1x_2=k(k-1)$。因为$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{3}{2}$,所以$\dfrac{-2k+1}{k(k-1)}=\dfrac{3}{2}$,解得$k=\dfrac{2}{3}$,或$k=-1$。经检验,$k=\dfrac{2}{3}$或$k=-1$是原方程的根,所以$k$的值为$\dfrac{2}{3}$或$-1$。
(2)解:由题意,得$x_1+x_2=-2k+1$,$x_1x_2=k(k-1)$。因为$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{3}{2}$,所以$\dfrac{-2k+1}{k(k-1)}=\dfrac{3}{2}$,解得$k=\dfrac{2}{3}$,或$k=-1$。经检验,$k=\dfrac{2}{3}$或$k=-1$是原方程的根,所以$k$的值为$\dfrac{2}{3}$或$-1$。
解析
【分析】
第(1)问要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ，计算Δ的值，若Δ＞0即可得证；第(2)问需结合韦达定理（根与系数的关系），将所求分式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分转化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入韦达定理的结果得到关于$k$的方程，解方程后需检验解是否符合题意。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$。本题中$a=1$，$b=2k-1$，$c=k(k-1)$，计算得：
$\Delta=(2k-1)^2 - 4×1×k(k-1)=4k^2-4k+1-4k^2+4k=1＞0$，
因此该方程必有两个不相等的实数根。
(2) 根据韦达定理，方程的两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1+x_2=-(2k-1)=-2k+1$，$x_1x_2=k(k-1)$。
将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，得$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，结合已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}$，代入得：
$\frac{-2k+1}{k(k-1)}=\frac{3}{2}$，
交叉相乘整理得：$2(-2k+1)=3k(k-1)$，即$3k^2 +k -2=0$，
因式分解得$(3k-2)(k+1)=0$，解得$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$。
经检验，$k=\frac{2}{3}$和$k=-1$均满足原方程及分式方程的要求，故$k$的值为$\frac{2}{3}$或$-1$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k=\frac{2}{3}$或$k=-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程的核心基础知识点，是期末考的常规题型，需熟练掌握根的判别式的应用、韦达定理的转化，以及分式方程解的检验，整体难度适中。
【难度系数】
0.7
第(1)问要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ，计算Δ的值，若Δ＞0即可得证；第(2)问需结合韦达定理（根与系数的关系），将所求分式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分转化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入韦达定理的结果得到关于$k$的方程，解方程后需检验解是否符合题意。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$。本题中$a=1$，$b=2k-1$，$c=k(k-1)$，计算得：
$\Delta=(2k-1)^2 - 4×1×k(k-1)=4k^2-4k+1-4k^2+4k=1＞0$，
因此该方程必有两个不相等的实数根。
(2) 根据韦达定理，方程的两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1+x_2=-(2k-1)=-2k+1$，$x_1x_2=k(k-1)$。
将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，得$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，结合已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}$，代入得：
$\frac{-2k+1}{k(k-1)}=\frac{3}{2}$，
交叉相乘整理得：$2(-2k+1)=3k(k-1)$，即$3k^2 +k -2=0$，
因式分解得$(3k-2)(k+1)=0$，解得$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$。
经检验，$k=\frac{2}{3}$和$k=-1$均满足原方程及分式方程的要求，故$k$的值为$\frac{2}{3}$或$-1$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k=\frac{2}{3}$或$k=-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程的核心基础知识点，是期末考的常规题型，需熟练掌握根的判别式的应用、韦达定理的转化，以及分式方程解的检验，整体难度适中。
【难度系数】
0.7
