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三、解答题(本大题有8小题,共72分)
17.(8分)(2025·绍兴市嵊州市期末)计算:
(1)$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})$；
(2)$\sqrt{3}(1-\sqrt{15})+3\sqrt{5}$。
17.(8分)(2025·绍兴市嵊州市期末)计算:
(1)$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})$；
(2)$\sqrt{3}(1-\sqrt{15})+3\sqrt{5}$。
答案
17.(1)解:原式$=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$。
(2)解:原式$=\sqrt{3}-\sqrt{3}×\sqrt{15}+3\sqrt{5}=\sqrt{3}-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}=\sqrt{3}$。
(2)解:原式$=\sqrt{3}-\sqrt{3}×\sqrt{15}+3\sqrt{5}=\sqrt{3}-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}=\sqrt{3}$。
解析
【分析】
第(1)题式子符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，直接应用公式可简化计算；第(2)题先利用单项式乘多项式的分配律展开，再化简二次根式后合并同类二次根式，即可得出结果。
【解析】
(1) 应用平方差公式计算：
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$；
(2) 先展开再化简合并：
$\sqrt{3}(1-\sqrt{15})+3\sqrt{5}=\sqrt{3}-\sqrt{3×15}+3\sqrt{5}=\sqrt{3}-\sqrt{45}+3\sqrt{5}=\sqrt{3}-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $1$；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的混合运算，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，核心是平方差公式的应用和单项式乘多项式法则的使用，解题时需注意二次根式的化简及同类二次根式的合并，属于期末常考的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
第(1)题式子符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，直接应用公式可简化计算；第(2)题先利用单项式乘多项式的分配律展开，再化简二次根式后合并同类二次根式，即可得出结果。
【解析】
(1) 应用平方差公式计算：
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$；
(2) 先展开再化简合并：
$\sqrt{3}(1-\sqrt{15})+3\sqrt{5}=\sqrt{3}-\sqrt{3×15}+3\sqrt{5}=\sqrt{3}-\sqrt{45}+3\sqrt{5}=\sqrt{3}-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $1$；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的混合运算，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，核心是平方差公式的应用和单项式乘多项式法则的使用，解题时需注意二次根式的化简及同类二次根式的合并，属于期末常考的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
18.(8分)已知$x=2-\sqrt{3}$,求代数式$(7+4\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}$的值。
答案
18.解:由题意,得$x^2=(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3}$。所以原式$=(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}=7^2-(4\sqrt{3})^2+2^2-(\sqrt{3})^2+\sqrt{3}=1+1+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$。
解析
【分析】
已知$x=2-\sqrt{3}$，直接代入代数式计算会因根式运算复杂易出错，因此先计算$x^2$的值，再观察代数式结构，发现可利用平方差公式简化计算，从而快速得出结果。
【解析】
解：由$x=2-\sqrt{3}$，先计算$x^2$：
$x^2=(2-\sqrt{3})^2=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=4 -4\sqrt{3} +3=7-4\sqrt{3}$
将$x$和$x^2$代入原式：
原式$=(7+4\sqrt{3})x^2 + (2+\sqrt{3})x + \sqrt{3}$
$=(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) + \sqrt{3}$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$计算：
第一项：$7^2 - (4\sqrt{3})^2=49 - 16×3=49-48=1$
第二项：$2^2 - (\sqrt{3})^2=4 -3=1$
所以原式$=1 +1 +\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$
【答案】
$2+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的运算、平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的化简与运算，核心是利用平方差公式简化计算，避免直接代入的复杂运算，需熟练掌握完全平方公式和平方差公式的应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
已知$x=2-\sqrt{3}$，直接代入代数式计算会因根式运算复杂易出错，因此先计算$x^2$的值，再观察代数式结构，发现可利用平方差公式简化计算，从而快速得出结果。
【解析】
解：由$x=2-\sqrt{3}$，先计算$x^2$：
$x^2=(2-\sqrt{3})^2=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=4 -4\sqrt{3} +3=7-4\sqrt{3}$
将$x$和$x^2$代入原式：
原式$=(7+4\sqrt{3})x^2 + (2+\sqrt{3})x + \sqrt{3}$
$=(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) + \sqrt{3}$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$计算：
第一项：$7^2 - (4\sqrt{3})^2=49 - 16×3=49-48=1$
第二项：$2^2 - (\sqrt{3})^2=4 -3=1$
所以原式$=1 +1 +\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$
【答案】
$2+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的运算、平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的化简与运算，核心是利用平方差公式简化计算，避免直接代入的复杂运算，需熟练掌握完全平方公式和平方差公式的应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
19.(8分)(2025·丽水市莲都区期末)一个直角三角形的斜边长为$a+4$,一条直角边长为$a$。
(1)用含$a$的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长。
(2)当$a=4$时,这个直角三角形的面积是多少?
(1)用含$a$的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长。
(2)当$a=4$时,这个直角三角形的面积是多少?
答案
19.(1)解:因为一个直角三角形的斜边长为$a+4$,一条直角边长为$a$,所以另一条直角边的长为$\sqrt{(a+4)^2-a^2}=\sqrt{a^2+8a+16-a^2}=\sqrt{8a+16}=2\sqrt{2a+4}$。
(2)解:当$a=4$时,$2\sqrt{2a+4}=4\sqrt{3}$,所以这个直角三角形的面积是$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
(2)解:当$a=4$时,$2\sqrt{2a+4}=4\sqrt{3}$,所以这个直角三角形的面积是$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要解决该问题，首先利用直角三角形的勾股定理求未知直角边：直角三角形中，斜边平方等于两直角边平方和，因此未知直角边的长度为斜边平方减去已知直角边平方的算术平方根，再对二次根式化简；第二问代入a的值算出未知直角边，再用直角三角形面积公式计算面积。
【解析】
(1) 根据勾股定理，直角三角形另一条直角边的长为：
$\sqrt{(a+4)^2 - a^2}$
展开并化简根号内的式子：
$\sqrt{a^2 + 8a + 16 - a^2} = \sqrt{8a + 16}$
进一步化简二次根式：
$\sqrt{8(a + 2)} = \sqrt{4×2(a + 2)} = 2\sqrt{2a + 4}$
(2) 当$a=4$时，先计算另一条直角边的长度：
$2\sqrt{2×4 + 4} = 2\sqrt{12} = 2×2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
再根据直角三角形面积公式（面积=$\frac{1}{2}×$一条直角边×另一条直角边），计算面积：
$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$
【答案】
(1) 另一条直角边的长为$2\sqrt{2a + 4}$；(2) 直角三角形的面积是$8\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理、二次根式化简、直角三角形面积计算
【点评】
本题考查直角三角形的勾股定理应用、二次根式化简及面积计算，属于基础题型，解题步骤清晰，是学生需熟练掌握的核心知识点。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先利用直角三角形的勾股定理求未知直角边：直角三角形中，斜边平方等于两直角边平方和，因此未知直角边的长度为斜边平方减去已知直角边平方的算术平方根，再对二次根式化简；第二问代入a的值算出未知直角边，再用直角三角形面积公式计算面积。
【解析】
(1) 根据勾股定理，直角三角形另一条直角边的长为：
$\sqrt{(a+4)^2 - a^2}$
展开并化简根号内的式子：
$\sqrt{a^2 + 8a + 16 - a^2} = \sqrt{8a + 16}$
进一步化简二次根式：
$\sqrt{8(a + 2)} = \sqrt{4×2(a + 2)} = 2\sqrt{2a + 4}$
(2) 当$a=4$时，先计算另一条直角边的长度：
$2\sqrt{2×4 + 4} = 2\sqrt{12} = 2×2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
再根据直角三角形面积公式（面积=$\frac{1}{2}×$一条直角边×另一条直角边），计算面积：
$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$
【答案】
(1) 另一条直角边的长为$2\sqrt{2a + 4}$；(2) 直角三角形的面积是$8\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理、二次根式化简、直角三角形面积计算
【点评】
本题考查直角三角形的勾股定理应用、二次根式化简及面积计算，属于基础题型，解题步骤清晰，是学生需熟练掌握的核心知识点。
【难度系数】
0.7
