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10.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为$\sqrt{21}\ \mathrm{cm}$,宽为4 cm)的盒子底部(如图2),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,则图2中两块阴影部分的周长和是
(
A.$4\sqrt{21}\ \mathrm{cm}$
B.$16\ \mathrm{cm}$
C.$2(\sqrt{21}+4)\mathrm{cm}$
D.$4(\sqrt{21}-4)\mathrm{cm}$
(
B
)A.$4\sqrt{21}\ \mathrm{cm}$
B.$16\ \mathrm{cm}$
C.$2(\sqrt{21}+4)\mathrm{cm}$
D.$4(\sqrt{21}-4)\mathrm{cm}$
答案
10.B 【解析】设小长方形卡片的长为$x$ cm,宽为$y$ cm。由题意,得$x+2y=\sqrt{21}$,则题图2中两块阴影部分的周长和是$2\sqrt{21}+2(4-2y)+2(4-x)=2\sqrt{21}+16-4y-2x=2\sqrt{21}+16-2(x+2y)=2\sqrt{21}+16-2\sqrt{21}=16(\mathrm{cm})$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们先设小长方形卡片的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。从图2可知，盒子底面的长等于小长方形的长加两个宽，即$x + 2y = \sqrt{21}$。接下来，我们分别表示两块阴影部分的周长，将周长和化简后，代入$x + 2y = \sqrt{21}$整体计算，即可得到结果。
【解析】
设小长方形卡片的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据图2中盒子底面的长与小长方形长、宽的关系，可得：
$x + 2y = \sqrt{21}$。
两块阴影部分的周长和为：
$\begin{aligned}&2\sqrt{21} + 2(4 - 2y) + 2(4 - x)\\=&2\sqrt{21} + 8 - 4y + 8 - 2x\\=&2\sqrt{21} + 16 - 2(x + 2y)\end{aligned}$
将$x + 2y = \sqrt{21}$代入上式：
$2\sqrt{21} + 16 - 2×\sqrt{21} = 16\ (\mathrm{cm})$
【答案】
B
【知识点】
整式的加减、代数式求值
【点评】
本题通过设未知数建立图形边长的等量关系，将阴影周长和转化为可整体代入的代数式，关键是利用$x + 2y = \sqrt{21}$整体化简，避免单独求$x$、$y$的值，简化计算过程，体现了整体思想的应用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们先设小长方形卡片的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。从图2可知，盒子底面的长等于小长方形的长加两个宽，即$x + 2y = \sqrt{21}$。接下来，我们分别表示两块阴影部分的周长，将周长和化简后，代入$x + 2y = \sqrt{21}$整体计算，即可得到结果。
【解析】
设小长方形卡片的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据图2中盒子底面的长与小长方形长、宽的关系，可得：
$x + 2y = \sqrt{21}$。
两块阴影部分的周长和为：
$\begin{aligned}&2\sqrt{21} + 2(4 - 2y) + 2(4 - x)\\=&2\sqrt{21} + 8 - 4y + 8 - 2x\\=&2\sqrt{21} + 16 - 2(x + 2y)\end{aligned}$
将$x + 2y = \sqrt{21}$代入上式：
$2\sqrt{21} + 16 - 2×\sqrt{21} = 16\ (\mathrm{cm})$
【答案】
B
【知识点】
整式的加减、代数式求值
【点评】
本题通过设未知数建立图形边长的等量关系，将阴影周长和转化为可整体代入的代数式，关键是利用$x + 2y = \sqrt{21}$整体化简，避免单独求$x$、$y$的值，简化计算过程，体现了整体思想的应用。
【难度系数】
0.5
11. (2025·湖州市吴兴区期末)当$x=1$时，二次根式$\sqrt{4-2x}$的值为________。
答案
11.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
要计算当$x=1$时二次根式$\sqrt{4-2x}$的值，只需将$x=1$代入二次根式的被开方数中，先计算被开方数的结果，再根据二次根式的定义得出最终值。
【解析】
将$x=1$代入$\sqrt{4-2x}$，得：
$\sqrt{4 - 2×1} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的代入求值
【点评】
本题考查二次根式的基础计算，属于简单题型，直接代入数值计算即可，主要考查学生对二次根式概念的基本应用。
【难度系数】
0.9
要计算当$x=1$时二次根式$\sqrt{4-2x}$的值，只需将$x=1$代入二次根式的被开方数中，先计算被开方数的结果，再根据二次根式的定义得出最终值。
【解析】
将$x=1$代入$\sqrt{4-2x}$，得：
$\sqrt{4 - 2×1} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的代入求值
【点评】
本题考查二次根式的基础计算，属于简单题型，直接代入数值计算即可，主要考查学生对二次根式概念的基本应用。
【难度系数】
0.9
12. (2025·杭州市上城区期末)比较大小：π______$\sqrt{7}$(填“＞”“＜”或“=”)。
答案
12.＞
解析
【分析】要比较π和√7的大小，由于两者均为正数，可利用“正数中，平方大的数更大”的性质，通过计算两者平方的大小来推导原数的大小关系。
【解析】因为π和√7都是正数，对于正数a、b，若$a^2 ＞ b^2$，则$a ＞ b$。计算得：$π^2 \approx (3.1415926...)^2 \approx 9.8696$，$(\sqrt{7})^2 = 7$，由于$9.8696 ＞ 7$，因此$π ＞ \sqrt{7}$。
【答案】＞
【知识点】实数大小比较，无理数的平方运算
【点评】本题考查实数大小的比较，利用正数平方的性质简化比较过程，属于基础题型，解题思路清晰易懂。
【难度系数】0.8
【解析】因为π和√7都是正数，对于正数a、b，若$a^2 ＞ b^2$，则$a ＞ b$。计算得：$π^2 \approx (3.1415926...)^2 \approx 9.8696$，$(\sqrt{7})^2 = 7$，由于$9.8696 ＞ 7$，因此$π ＞ \sqrt{7}$。
【答案】＞
【知识点】实数大小比较，无理数的平方运算
【点评】本题考查实数大小的比较，利用正数平方的性质简化比较过程，属于基础题型，解题思路清晰易懂。
【难度系数】0.8
13.(2025·杭州市钱塘区期末)如图,从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形,则图中阴影部分面积为
24
。答案
13.24
解析
【分析】要计算阴影部分面积，可通过大正方形面积减去两个小正方形面积推导，也可直接利用公式：阴影部分面积=2×两个小正方形边长的乘积。先根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，再代入计算即可。
【解析】设面积为8的小正方形边长为$a$，面积为18的小正方形边长为$b$。根据正方形面积公式$S=边长^2$，可得$a=\sqrt{8}$，$b=\sqrt{18}$。观察图形可知，大正方形边长为$a+b$，因此阴影部分面积=大正方形面积 - 两个小正方形面积，即：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(a+b)^2 - a^2 - b^2\\&=2ab\\&=2×\sqrt{8}×\sqrt{18}\\&=2×\sqrt{8×18}\\&=2×\sqrt{144}\\&=2×12\\&=24\end{aligned}$
【答案】24
【知识点】正方形面积、二次根式运算
【点评】本题结合几何图形面积计算与二次根式运算，关键是推导阴影面积的表达式，属于基础几何应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】设面积为8的小正方形边长为$a$，面积为18的小正方形边长为$b$。根据正方形面积公式$S=边长^2$，可得$a=\sqrt{8}$，$b=\sqrt{18}$。观察图形可知，大正方形边长为$a+b$，因此阴影部分面积=大正方形面积 - 两个小正方形面积，即：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(a+b)^2 - a^2 - b^2\\&=2ab\\&=2×\sqrt{8}×\sqrt{18}\\&=2×\sqrt{8×18}\\&=2×\sqrt{144}\\&=2×12\\&=24\end{aligned}$
【答案】24
【知识点】正方形面积、二次根式运算
【点评】本题结合几何图形面积计算与二次根式运算，关键是推导阴影面积的表达式，属于基础几何应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
14.实数$a$满足$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a$，则$a - 2025^2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
14.2026
解析
【分析】
首先根据二次根式有意义的条件确定$a$的取值范围，再利用绝对值的性质化简绝对值，最后通过移项、平方运算求出$a - 2025^2$的值。具体步骤：1. 由二次根式被开方数非负，得$a≥2026$；2. 根据$a$的范围化简绝对值$|2025 - a|$；3. 代入原方程化简后，通过平方得到$a$与$2025^2$的关系，进而求出结果。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{a - 2026}$有意义，则被开方数满足：
$a - 2026 ≥ 0$，即$a ≥ 2026$
此时$2025 - a ＜ 0$，根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，得：
$|2025 - a| = a - 2025$
将其代入原方程$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a$，得：
$a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = a$
移项化简：$\sqrt{a - 2026} = 2025$
两边同时平方：$a - 2026 = 2025^2$
整理得：$a - 2025^2 = 2026$
【答案】
2026
【知识点】
二次根式有意义的条件、绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的求值题，核心是利用二次根式的意义确定$a$的范围，从而正确化简绝对值，通过简单的代数变形即可求解，注重基础知识点的应用，属于常规题型。
【难度系数】
0.5
首先根据二次根式有意义的条件确定$a$的取值范围，再利用绝对值的性质化简绝对值，最后通过移项、平方运算求出$a - 2025^2$的值。具体步骤：1. 由二次根式被开方数非负，得$a≥2026$；2. 根据$a$的范围化简绝对值$|2025 - a|$；3. 代入原方程化简后，通过平方得到$a$与$2025^2$的关系，进而求出结果。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{a - 2026}$有意义，则被开方数满足：
$a - 2026 ≥ 0$，即$a ≥ 2026$
此时$2025 - a ＜ 0$，根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，得：
$|2025 - a| = a - 2025$
将其代入原方程$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a$，得：
$a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = a$
移项化简：$\sqrt{a - 2026} = 2025$
两边同时平方：$a - 2026 = 2025^2$
整理得：$a - 2025^2 = 2026$
【答案】
2026
【知识点】
二次根式有意义的条件、绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的求值题，核心是利用二次根式的意义确定$a$的范围，从而正确化简绝对值，通过简单的代数变形即可求解，注重基础知识点的应用，属于常规题型。
【难度系数】
0.5
15.已知$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}},b=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$,则$3a^2 - 10ab + 3b^2$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
15.32 【解析】因为$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$,$b=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$,所以$a+b=4$,$ab=1$,所以$3a^2-10ab+3b^2=3(a+b)^2-16ab=3×4^2-16=32$。
解析
【分析】首先对a、b进行分母有理化得到最简形式，再计算a+b与ab的值；接着将所求代数式变形为含有(a+b)和ab的式子，利用整体代入法简化计算，避免直接计算a²、b²的复杂过程。
【解析】解：先对a、b进行分母有理化：
a = $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$；
b = $\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$；
计算a+b和ab：
$a+b=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$，
$ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$；
对所求代数式变形：
$3a^2 -10ab +3b^2 = 3(a^2 + b^2) -10ab = 3[(a+b)^2 -2ab] -10ab = 3(a+b)^2 -16ab$；
代入a+b=4，ab=1：
原式=$3×4^2 -16×1=3×16 -16=48-16=32$。
【答案】32
【知识点】分母有理化，代数式求值，完全平方公式
【点评】本题考查二次根式的分母有理化与代数式的整体代入求值，通过变形将所求式子转化为已知a+b和ab的形式，简化计算，是代数运算中常用的技巧，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】解：先对a、b进行分母有理化：
a = $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$；
b = $\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$；
计算a+b和ab：
$a+b=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$，
$ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$；
对所求代数式变形：
$3a^2 -10ab +3b^2 = 3(a^2 + b^2) -10ab = 3[(a+b)^2 -2ab] -10ab = 3(a+b)^2 -16ab$；
代入a+b=4，ab=1：
原式=$3×4^2 -16×1=3×16 -16=48-16=32$。
【答案】32
【知识点】分母有理化，代数式求值，完全平方公式
【点评】本题考查二次根式的分母有理化与代数式的整体代入求值，通过变形将所求式子转化为已知a+b和ab的形式，简化计算，是代数运算中常用的技巧，难度适中。
【难度系数】0.6
16. (2024·绍兴市诸暨市期末)如图是一张等腰直角三角形纸片，$AC=BC=56\ \mathrm{cm}$，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为$7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$。
答案
16.$(1960\sqrt{2} - 1470)$ 【解析】如图，
因为$△ ABC$是等腰直角三角形,所以$∠ B=45°$。因为阴影部分的长方形纸条的宽都为$7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,且长方形的四个角都是直角,所以$△ BED$是等腰直角三角形,所以$BE=DE=7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。因为$MD// CB$,所以$∠ GDM=45°$,所以$△ GDM$是等腰直角三角形,$GM=DM=7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。同理可得,右边5个空白三角形都是直角边长为$7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$的等腰直角三角形,而$△ ANL$是边长为$AN=AC-CN=56-7\sqrt{2}×5=(56-35\sqrt{2})\mathrm{cm}$的等腰直角三角形,所以阴影部分长方形纸条的总面积为$\frac{1}{2}×56×56-\frac{1}{2}×7\sqrt{2}×7\sqrt{2}×5-\frac{1}{2}×(56-35\sqrt{2})×(56-35\sqrt{2})=(1960\sqrt{2}-1470)\mathrm{cm}^2$。解析
【分析】
要计算阴影部分的总面积，可利用转化思想：阴影部分面积等于等腰直角三角形ABC的面积减去所有空白小等腰直角三角形的面积。首先根据等腰直角三角形的性质，确定空白小三角形均为等腰直角三角形，结合已知纸条宽（即小三角形直角边长），分别计算大三角形面积和空白三角形总面积，最后作差得到结果。
【解析】
1. 计算等腰直角$△ ABC$的面积：
因为$△ ABC$是等腰直角三角形，$AC=BC=56\ \mathrm{cm}$，所以其面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 56 × 56 = 1568\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算空白小三角形的总面积：
右侧5个空白小等腰直角三角形的直角边长均为纸条宽$7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，单个面积为$\frac{1}{2} × (7\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} × 98 = 49\ \mathrm{cm}^2$，5个总面积为$5 × 49 = 245\ \mathrm{cm}^2$。
左侧空白大等腰直角三角形的直角边长为$AN = AC - 5 × 7\sqrt{2} = 56 - 35\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，其面积为：
$\frac{1}{2} × (56 - 35\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} × (56^2 - 2 × 56 × 35\sqrt{2} + (35\sqrt{2})^2) = \frac{1}{2} × (3136 - 3920\sqrt{2} + 2450) = 2793 - 1960\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$。
空白部分总面积为：$245 + (2793 - 1960\sqrt{2}) = 3038 - 1960\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算阴影部分总面积：
$S_{阴影} = S_{△ ABC} - S_{空白} = 1568 - (3038 - 1960\sqrt{2}) = 1960\sqrt{2} - 1470\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$1960\sqrt{2} - 1470$
【知识点】
等腰直角三角形性质、三角形面积计算、完全平方公式
【点评】
本题通过转化思想将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，核心是利用等腰直角三角形的角度特征确定空白三角形的形状和边长，计算时需注意完全平方公式的展开，侧重几何与代数运算的结合，整体思路清晰。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分的总面积，可利用转化思想：阴影部分面积等于等腰直角三角形ABC的面积减去所有空白小等腰直角三角形的面积。首先根据等腰直角三角形的性质，确定空白小三角形均为等腰直角三角形，结合已知纸条宽（即小三角形直角边长），分别计算大三角形面积和空白三角形总面积，最后作差得到结果。
【解析】
1. 计算等腰直角$△ ABC$的面积：
因为$△ ABC$是等腰直角三角形，$AC=BC=56\ \mathrm{cm}$，所以其面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 56 × 56 = 1568\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算空白小三角形的总面积：
右侧5个空白小等腰直角三角形的直角边长均为纸条宽$7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，单个面积为$\frac{1}{2} × (7\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} × 98 = 49\ \mathrm{cm}^2$，5个总面积为$5 × 49 = 245\ \mathrm{cm}^2$。
左侧空白大等腰直角三角形的直角边长为$AN = AC - 5 × 7\sqrt{2} = 56 - 35\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，其面积为：
$\frac{1}{2} × (56 - 35\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} × (56^2 - 2 × 56 × 35\sqrt{2} + (35\sqrt{2})^2) = \frac{1}{2} × (3136 - 3920\sqrt{2} + 2450) = 2793 - 1960\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$。
空白部分总面积为：$245 + (2793 - 1960\sqrt{2}) = 3038 - 1960\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算阴影部分总面积：
$S_{阴影} = S_{△ ABC} - S_{空白} = 1568 - (3038 - 1960\sqrt{2}) = 1960\sqrt{2} - 1470\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$1960\sqrt{2} - 1470$
【知识点】
等腰直角三角形性质、三角形面积计算、完全平方公式
【点评】
本题通过转化思想将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，核心是利用等腰直角三角形的角度特征确定空白三角形的形状和边长，计算时需注意完全平方公式的展开，侧重几何与代数运算的结合，整体思路清晰。
【难度系数】
0.5
