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1. 下列各式是二次根式的是 （
A.$\sqrt{a^2 + 1}$
B.$\sqrt{-7}$
C.$\sqrt{a}$
D.$\sqrt[3]{3}$
A
）A.$\sqrt{a^2 + 1}$
B.$\sqrt{-7}$
C.$\sqrt{a}$
D.$\sqrt[3]{3}$
答案
1.A
解析
【分析】首先明确二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。接下来逐一分析选项是否满足这两个条件，从而确定正确答案。
【解析】根据二次根式的定义逐一判断各选项：
选项A：$\sqrt{a^2 + 1}$，根指数为2，被开方数是$a^2 + 1$，因为$a^2≥0$，所以$a^2 +1≥1＞0$，满足被开方数非负，符合二次根式定义；
选项B：$\sqrt{-7}$，被开方数是-7，属于负数，不满足被开方数非负的要求，不是二次根式；
选项C：$\sqrt{a}$，被开方数是$a$，当$a＜0$时被开方数为负，不满足条件，因此不一定是二次根式；
选项D：$\sqrt[3]{3}$，根指数为3，属于三次根式，不是二次根式。
综上，只有选项A是二次根式。
【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【点评】本题考查二次根式的基本概念，属于基础题型，解题关键是牢记二次根式的定义，准确判断根指数和被开方数的取值范围，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】根据二次根式的定义逐一判断各选项：
选项A：$\sqrt{a^2 + 1}$，根指数为2，被开方数是$a^2 + 1$，因为$a^2≥0$，所以$a^2 +1≥1＞0$，满足被开方数非负，符合二次根式定义；
选项B：$\sqrt{-7}$，被开方数是-7，属于负数，不满足被开方数非负的要求，不是二次根式；
选项C：$\sqrt{a}$，被开方数是$a$，当$a＜0$时被开方数为负，不满足条件，因此不一定是二次根式；
选项D：$\sqrt[3]{3}$，根指数为3，属于三次根式，不是二次根式。
综上，只有选项A是二次根式。
【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【点评】本题考查二次根式的基本概念，属于基础题型，解题关键是牢记二次根式的定义，准确判断根指数和被开方数的取值范围，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
2.(2025·杭州市八县区期末)要使二次根式$\sqrt{x - 1}$有意义,下列选项中$x$可取的数是 (
A.1
B.0
C.$-1$
D.$-2$
A
)A.1
B.0
C.$-1$
D.$-2$
答案
2.A
解析
【分析】要确定使二次根式有意义的x的取值，需先明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须为非负数（即大于等于0）。据此列出关于x的不等式，解出x的范围后，再对比各选项中的数值，选出符合范围的即可。
【解析】二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是$a≥0$，因此对于$\sqrt{x - 1}$，需满足被开方数$x - 1≥0$，解不等式得$x≥1$。逐一分析选项：A选项$x=1$，满足$1≥1$，符合条件；B选项$x=0$，$0＜1$，不符合；C选项$x=-1$，$-1＜1$，不符合；D选项$x=-2$，$-2＜1$，不符合。
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【点评】本题考查二次根式有意义的基础条件，属于简单题，只需牢记“被开方数非负”即可快速解题，适合基础薄弱的学生巩固知识点。
【难度系数】0.9
【解析】二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是$a≥0$，因此对于$\sqrt{x - 1}$，需满足被开方数$x - 1≥0$，解不等式得$x≥1$。逐一分析选项：A选项$x=1$，满足$1≥1$，符合条件；B选项$x=0$，$0＜1$，不符合；C选项$x=-1$，$-1＜1$，不符合；D选项$x=-2$，$-2＜1$，不符合。
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【点评】本题考查二次根式有意义的基础条件，属于简单题，只需牢记“被开方数非负”即可快速解题，适合基础薄弱的学生巩固知识点。
【难度系数】0.9
3. (2025·丽水市莲都区期末)计算：$\sqrt{2025}=$ （
A.25
B.35
C.45
D.55
C
）A.25
B.35
C.45
D.55
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查算术平方根的计算，解题思路是：算术平方根的定义是若一个非负数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，因此需要找到哪个数的平方等于2025，可通过计算各选项的平方来验证，从而得出结果。
【解析】
根据算术平方根的定义，需找到满足$x^2=2025$的非负数x：
选项A：$25^2=625≠2025$，不符合；
选项B：$35^2=1225≠2025$，不符合；
选项C：$45^2=2025$，符合要求；
选项D：$55^2=3025≠2025$，不符合；
因此$\sqrt{2025}=45$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根，有理数的乘方
【点评】
本题是基础的算术平方根计算题，通过计算选项的平方即可快速得出结果，主要考查对算术平方根定义的理解和简单计算能力，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平方根的计算，解题思路是：算术平方根的定义是若一个非负数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，因此需要找到哪个数的平方等于2025，可通过计算各选项的平方来验证，从而得出结果。
【解析】
根据算术平方根的定义，需找到满足$x^2=2025$的非负数x：
选项A：$25^2=625≠2025$，不符合；
选项B：$35^2=1225≠2025$，不符合；
选项C：$45^2=2025$，符合要求；
选项D：$55^2=3025≠2025$，不符合；
因此$\sqrt{2025}=45$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根，有理数的乘方
【点评】
本题是基础的算术平方根计算题，通过计算选项的平方即可快速得出结果，主要考查对算术平方根定义的理解和简单计算能力，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
4.(2025·宁波市南三县期末)以下二次根式是最简二次根式的是 (
A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
B
)A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
答案
4.B
解析
【分析】要判断最简二次根式，需牢记其两个核心条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来逐一分析各选项是否满足这两个条件即可得出答案。
【解析】根据最简二次根式的定义，对各选项逐一判断：
选项A：$\sqrt{4}=2$，被开方数4是能开得尽方的因数，不符合最简二次根式条件，排除；
选项B：$\sqrt{6}$，被开方数6的因数为2和3，均为整数且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，符合要求；
选项C：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数8含能开得尽方的因数4，不符合，排除；
选项D：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$的被开方数是分数，需化简为$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，不满足“被开方数是整数”的条件，排除。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【点评】本题考查最简二次根式的判定，属于基础概念题，核心是掌握最简二次根式的两个判定条件，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】根据最简二次根式的定义，对各选项逐一判断：
选项A：$\sqrt{4}=2$，被开方数4是能开得尽方的因数，不符合最简二次根式条件，排除；
选项B：$\sqrt{6}$，被开方数6的因数为2和3，均为整数且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，符合要求；
选项C：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数8含能开得尽方的因数4，不符合，排除；
选项D：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$的被开方数是分数，需化简为$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，不满足“被开方数是整数”的条件，排除。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【点评】本题考查最简二次根式的判定，属于基础概念题，核心是掌握最简二次根式的两个判定条件，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
5. (2025·杭州市滨江区期末)下列等式成立的是 (
A.$3+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
B.$\sqrt{(-3)^2}=3$
C.$\sqrt{1\dfrac{1}{4}}=1\dfrac{1}{2}$
D.$\sqrt{6}÷\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$
B
)A.$3+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
B.$\sqrt{(-3)^2}=3$
C.$\sqrt{1\dfrac{1}{4}}=1\dfrac{1}{2}$
D.$\sqrt{6}÷\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$
答案
5.B
解析
【分析】
本题需根据二次根式的加减、性质、乘除运算法则，逐个分析选项，判断等式左右两边是否相等，从而确定正确答案。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：3与√3不是同类二次根式，不能合并，左边为3+√3，右边为3√3，两者不相等，等式不成立；
选项B：根据二次根式的性质√a²=|a|，则√(-3)²=|-3|=3，等式成立；
选项C：先将带分数化为假分数，1$\dfrac{1}{4}$=$\dfrac{5}{4}$，则$\sqrt{1\dfrac{1}{4}}$=$\sqrt{\dfrac{5}{4}}$=$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，而1$\dfrac{1}{2}$=$\dfrac{3}{2}$，两者不相等，等式不成立；
选项D：二次根式除法中，除以$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$等价于乘以$\sqrt{3}$，则$\sqrt{6}÷\dfrac{1}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{6}×\sqrt{3}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，而非$\sqrt{2}$，等式不成立。
综上，只有选项B的等式成立。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式的除法运算
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，需熟练掌握二次根式的运算法则，注意同类二次根式才能合并、带分数化简需先化假分数、二次根式除法的转化等易错点，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题需根据二次根式的加减、性质、乘除运算法则，逐个分析选项，判断等式左右两边是否相等，从而确定正确答案。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：3与√3不是同类二次根式，不能合并，左边为3+√3，右边为3√3，两者不相等，等式不成立；
选项B：根据二次根式的性质√a²=|a|，则√(-3)²=|-3|=3，等式成立；
选项C：先将带分数化为假分数，1$\dfrac{1}{4}$=$\dfrac{5}{4}$，则$\sqrt{1\dfrac{1}{4}}$=$\sqrt{\dfrac{5}{4}}$=$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，而1$\dfrac{1}{2}$=$\dfrac{3}{2}$，两者不相等，等式不成立；
选项D：二次根式除法中，除以$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$等价于乘以$\sqrt{3}$，则$\sqrt{6}÷\dfrac{1}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{6}×\sqrt{3}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，而非$\sqrt{2}$，等式不成立。
综上，只有选项B的等式成立。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式的除法运算
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，需熟练掌握二次根式的运算法则，注意同类二次根式才能合并、带分数化简需先化假分数、二次根式除法的转化等易错点，难度适中。
【难度系数】
0.7
6.若$\sqrt{2}=a,\sqrt{35}=b$,则$\sqrt{7000}$可以表示为 （
A.$10\sqrt{ab}$
B.$100\sqrt{ab}$
C.$10ab$
D.$100ab$
C
）A.$10\sqrt{ab}$
B.$100\sqrt{ab}$
C.$10ab$
D.$100ab$
答案
6.C
解析
【分析】
要将$\sqrt{7000}$用已知的$\sqrt{2}=a$、$\sqrt{35}=b$表示，需先对被开方数7000进行因数分解，使其包含与$\sqrt{2}$、$\sqrt{35}$相关的因数，再利用二次根式的乘法法则化简，转化为含$a$、$b$的形式，最后对应选项选出答案。
【解析】
解：先对$\sqrt{7000}$的被开方数分解因数：
$7000 = 100 × 2 × 35$，
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），可得：
$\sqrt{7000} = \sqrt{100 × 2 × 35} = \sqrt{100} × \sqrt{2} × \sqrt{35}$，
已知$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{35}=b$，且$\sqrt{100}=10$，代入得：
$\sqrt{7000} = 10 × a × b = 10ab$，
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的乘法法则
【点评】
本题考查二次根式的化简，核心是利用二次根式的乘法法则拆分被开方数，将其转化为已知根式的乘积形式，难度适中，掌握二次根式基本性质即可解答。
【难度系数】
0.6
要将$\sqrt{7000}$用已知的$\sqrt{2}=a$、$\sqrt{35}=b$表示，需先对被开方数7000进行因数分解，使其包含与$\sqrt{2}$、$\sqrt{35}$相关的因数，再利用二次根式的乘法法则化简，转化为含$a$、$b$的形式，最后对应选项选出答案。
【解析】
解：先对$\sqrt{7000}$的被开方数分解因数：
$7000 = 100 × 2 × 35$，
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），可得：
$\sqrt{7000} = \sqrt{100 × 2 × 35} = \sqrt{100} × \sqrt{2} × \sqrt{35}$，
已知$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{35}=b$，且$\sqrt{100}=10$，代入得：
$\sqrt{7000} = 10 × a × b = 10ab$，
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的乘法法则
【点评】
本题考查二次根式的化简，核心是利用二次根式的乘法法则拆分被开方数，将其转化为已知根式的乘积形式，难度适中，掌握二次根式基本性质即可解答。
【难度系数】
0.6
7. 二次根式$\sqrt{x^3y}\ (y＜0)$化简结果正确的是 （
A.$x\sqrt{x^2y}$
B.$-x\sqrt{x^2y}$
C.$x\sqrt{xy}$
D.$-x\sqrt{xy}$
D
）A.$x\sqrt{x^2y}$
B.$-x\sqrt{x^2y}$
C.$x\sqrt{xy}$
D.$-x\sqrt{xy}$
答案
7.D
解析
【分析】
要化简二次根式$\sqrt{x^3y}\ (y＜0)$，需先根据二次根式有意义的条件确定$x$的符号，再利用二次根式的性质化简。首先，二次根式的被开方数必须是非负数，因此$x^3y ≥ 0$；结合已知$y＜0$，可推出$x^3 ≤ 0$，即$x ≤ 0$。接下来将被开方数分解为$x^2 · xy$，利用二次根式的拆分性质，结合$x$的符号处理绝对值，即可得到结果。
【解析】
1. 确定$x$的符号：
因为二次根式的被开方数非负，所以$x^3y ≥ 0$。
已知$y＜0$，则$x^3 ≤ 0$，即$x ≤ 0$。
2. 化简二次根式：
对被开方数变形：$x^3y = x^2 · xy$，其中$x^2 ≥ 0$，根据二次根式乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{x^3y} = \sqrt{x^2 · xy} = \sqrt{x^2} · \sqrt{xy} = |x| · \sqrt{xy}$。
由于$x ≤ 0$，根据绝对值的性质$|x|=-x$，代入得：
$\sqrt{x^3y} = -x\sqrt{xy}$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简；二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式的化简，核心是利用二次根式的性质和被开方数非负的条件确定字母符号，易错点是处理根号外因式的符号时出错，需牢记$\sqrt{a^2}=|a|$的性质。
【难度系数】
0.6
要化简二次根式$\sqrt{x^3y}\ (y＜0)$，需先根据二次根式有意义的条件确定$x$的符号，再利用二次根式的性质化简。首先，二次根式的被开方数必须是非负数，因此$x^3y ≥ 0$；结合已知$y＜0$，可推出$x^3 ≤ 0$，即$x ≤ 0$。接下来将被开方数分解为$x^2 · xy$，利用二次根式的拆分性质，结合$x$的符号处理绝对值，即可得到结果。
【解析】
1. 确定$x$的符号：
因为二次根式的被开方数非负，所以$x^3y ≥ 0$。
已知$y＜0$，则$x^3 ≤ 0$，即$x ≤ 0$。
2. 化简二次根式：
对被开方数变形：$x^3y = x^2 · xy$，其中$x^2 ≥ 0$，根据二次根式乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{x^3y} = \sqrt{x^2 · xy} = \sqrt{x^2} · \sqrt{xy} = |x| · \sqrt{xy}$。
由于$x ≤ 0$，根据绝对值的性质$|x|=-x$，代入得：
$\sqrt{x^3y} = -x\sqrt{xy}$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简；二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式的化简，核心是利用二次根式的性质和被开方数非负的条件确定字母符号，易错点是处理根号外因式的符号时出错，需牢记$\sqrt{a^2}=|a|$的性质。
【难度系数】
0.6
8. 已知实数$a$在数轴上的位置如图所示，则化简：$|a - 2| + \sqrt{(a - 4)^2}$的结果为（
A.$2$
B.$-2$
C.$2a - 6$
D.$-2a + 6$
A
）A.$2$
B.$-2$
C.$2a - 6$
D.$-2a + 6$
答案
8.A
解析
【分析】
要化简式子$|a - 2| + \sqrt{(a - 4)^2}$，首先需根据数轴确定$a$的取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的化简规则逐步计算。
【解析】
由数轴可知$2 ＜ a ＜ 4$，因此：
1. 对于$|a - 2|$：因为$a ＞ 2$，所以$a - 2 ＞ 0$，根据“正数的绝对值是它本身”，得$|a - 2| = a - 2$；
2. 对于$\sqrt{(a - 4)^2}$：根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式转化为$|a - 4|$；又因为$a ＜ 4$，所以$a - 4 ＜ 0$，根据“负数的绝对值是它的相反数”，得$|a - 4| = 4 - a$；
将两部分结果相加：$(a - 2) + (4 - a) = 2$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简、数轴的应用
【点评】
本题结合数轴考查二次根式与绝对值的化简，核心是根据数轴确定数的范围，判断绝对值内式子的正负，属于基础题型，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.6
要化简式子$|a - 2| + \sqrt{(a - 4)^2}$，首先需根据数轴确定$a$的取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的化简规则逐步计算。
【解析】
由数轴可知$2 ＜ a ＜ 4$，因此：
1. 对于$|a - 2|$：因为$a ＞ 2$，所以$a - 2 ＞ 0$，根据“正数的绝对值是它本身”，得$|a - 2| = a - 2$；
2. 对于$\sqrt{(a - 4)^2}$：根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式转化为$|a - 4|$；又因为$a ＜ 4$，所以$a - 4 ＜ 0$，根据“负数的绝对值是它的相反数”，得$|a - 4| = 4 - a$；
将两部分结果相加：$(a - 2) + (4 - a) = 2$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简、数轴的应用
【点评】
本题结合数轴考查二次根式与绝对值的化简，核心是根据数轴确定数的范围，判断绝对值内式子的正负，属于基础题型，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.6
9.若$△ ABC$三边长分别为$\sqrt{2},2\sqrt{2},\sqrt{10}$,则$△ ABC$的面积为（
A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$
A
）A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
9.A 【解析】因为△ABC三边长分别为$\sqrt{2},2\sqrt{2},\sqrt{10},(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=(\sqrt{10})^2$,所以△ABC是直角边长为$\sqrt{2},2\sqrt{2}$的直角三角形,所以△ABC的面积为$\frac{1}{2} × \sqrt{2} × 2\sqrt{2}=2$。
解析
【分析】要计算△ABC的面积，首先需判断三角形的形状，已知三边长度，可利用勾股定理的逆定理验证是否为直角三角形；若为直角三角形，其面积等于两直角边长度乘积的一半，据此可求出面积。
【解析】先计算三边的平方：$(\sqrt{2})^2=2$，$(2\sqrt{2})^2=8$，$(\sqrt{10})^2=10$；因为$2+8=10$，即较短两边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，直角边长为$\sqrt{2}$和$2\sqrt{2}$；因此△ABC的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=\frac{1}{2}×2×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理、直角三角形面积计算
【点评】本题属于基础题，主要考查勾股定理逆定理的应用，通过判断三角形为直角三角形简化面积计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】先计算三边的平方：$(\sqrt{2})^2=2$，$(2\sqrt{2})^2=8$，$(\sqrt{10})^2=10$；因为$2+8=10$，即较短两边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，直角边长为$\sqrt{2}$和$2\sqrt{2}$；因此△ABC的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=\frac{1}{2}×2×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理、直角三角形面积计算
【点评】本题属于基础题，主要考查勾股定理逆定理的应用，通过判断三角形为直角三角形简化面积计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.7
