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10.(2025·湖州市吴兴区期末)某学校举行了八年级学生演讲比赛,对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)。已知小明五项得分的算术平均数为87分,若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为10%,30%,20%,20%,20%,则小明五项得分的加权平均数为86分。那么以下结论中,正确的是 (
A.重新设置权重前,小明五项得分的总分是430分
B.重新设置权重前,小明的“内容”得分超过87分
C.重新设置权重前,小明的“内容”得分比“表达”得分高
D.重新设置权重前,小明的“内容”得分比“逻辑”得分高
C
)A.重新设置权重前,小明五项得分的总分是430分
B.重新设置权重前,小明的“内容”得分超过87分
C.重新设置权重前,小明的“内容”得分比“表达”得分高
D.重新设置权重前,小明的“内容”得分比“逻辑”得分高
答案
10.C 【解析】设“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”的得分分别为$a,b,c,d,e$。由题意,得算术平均数为87分,则$a+b+c+d+e=87×5=435$,故选项A错误;加权平均数为86分,则$10\%a+30\%b+20\%c+20\%d+20\%e=86$。将加权平均数方程两边同乘100,得$10a+30b+20c+20d+20e=8600$①;将算术平均数方程两边同乘20,得$20a+20b+20c+20d+20e=8700$②。由 ①$-$②,得$-10a+10b=-100$,即$b=a-10$,故选项C正确;根据已知条件无法判断选项B,D的正误。
解析
【分析】
要解决这道题，需先设五个方面的得分分别为$a$（内容）、$b$（表达）、$c$（逻辑）、$d$（台风）、$e$（互动），再根据算术平均数和加权平均数的定义列出对应方程，通过方程运算推导各得分间的关系，逐一判断选项正误。首先利用算术平均数求出五项总分，再结合加权平均数的公式列方程，两式相减可得到内容得分与表达得分的关系，进而确定正确选项，其余选项无法根据现有条件判断。
【解析】
设“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”的得分分别为$a$、$b$、$c$、$d$、$e$。
1. 由算术平均数为87分，得$\frac{a+b+c+d+e}{5}=87$，两边同乘5得：$a+b+c+d+e=87×5=435$，故选项A错误。
2. 由加权平均数为86分，权重分别为10%、30%、20%、20%、20%，得$10\%a + 30\%b + 20\%c + 20\%d + 20\%e = 86$，两边同乘100得：$10a + 30b + 20c + 20d + 20e = 8600$ ①。
3. 将算术平均数的方程两边同乘20得：$20a + 20b + 20c + 20d + 20e = 87×20 = 8700$ ②。
4. 用① - ②，得：$(10a +30b +20c +20d +20e) - (20a +20b +20c +20d +20e) = 8600 - 8700$，化简得：$-10a +10b = -100$，即$b = a -10$，说明内容得分比表达得分高10分，故选项C正确。
5. 现有条件无法判断“内容”得分是否超过87分（选项B），也无法判断“内容”得分与“逻辑”得分的高低（选项D），故B、D错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平均数、加权平均数
【点评】
本题考查算术平均数与加权平均数的实际应用，核心是根据题意建立方程，通过方程运算推导得分间的关系，进而判断选项，解题关键是正确列出并处理两个平均数对应的方程。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需先设五个方面的得分分别为$a$（内容）、$b$（表达）、$c$（逻辑）、$d$（台风）、$e$（互动），再根据算术平均数和加权平均数的定义列出对应方程，通过方程运算推导各得分间的关系，逐一判断选项正误。首先利用算术平均数求出五项总分，再结合加权平均数的公式列方程，两式相减可得到内容得分与表达得分的关系，进而确定正确选项，其余选项无法根据现有条件判断。
【解析】
设“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”的得分分别为$a$、$b$、$c$、$d$、$e$。
1. 由算术平均数为87分，得$\frac{a+b+c+d+e}{5}=87$，两边同乘5得：$a+b+c+d+e=87×5=435$，故选项A错误。
2. 由加权平均数为86分，权重分别为10%、30%、20%、20%、20%，得$10\%a + 30\%b + 20\%c + 20\%d + 20\%e = 86$，两边同乘100得：$10a + 30b + 20c + 20d + 20e = 8600$ ①。
3. 将算术平均数的方程两边同乘20得：$20a + 20b + 20c + 20d + 20e = 87×20 = 8700$ ②。
4. 用① - ②，得：$(10a +30b +20c +20d +20e) - (20a +20b +20c +20d +20e) = 8600 - 8700$，化简得：$-10a +10b = -100$，即$b = a -10$，说明内容得分比表达得分高10分，故选项C正确。
5. 现有条件无法判断“内容”得分是否超过87分（选项B），也无法判断“内容”得分与“逻辑”得分的高低（选项D），故B、D错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平均数、加权平均数
【点评】
本题考查算术平均数与加权平均数的实际应用，核心是根据题意建立方程，通过方程运算推导得分间的关系，进而判断选项，解题关键是正确列出并处理两个平均数对应的方程。
【难度系数】
0.5
11.(2025·宁波市南三县期末)某校甲、乙两班学生身高的方差分别为$S^{2}_{甲}=15,S^{2}_{乙}=8$,则________(填“甲”或“乙”)班身高更整齐。
答案
11.乙
解析
【分析】
要判断哪个班身高更整齐，需利用方差的意义：方差是衡量数据波动（离散）程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，数据就越整齐。接下来只需比较甲、乙两班的方差大小即可，已知甲班方差为15，乙班方差为8，比较后即可得出结论。
【解析】
方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据的波动程度越小，数据越整齐。已知$ S^{2}_{甲}=15 $，$ S^{2}_{乙}=8 $，因为$ 8 ＜ 15 $，即乙班的方差更小，所以乙班身高更整齐。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查对方差意义的基础应用，属于统计部分的基础题型，只要掌握“方差越小，数据越整齐”的核心知识点，即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断哪个班身高更整齐，需利用方差的意义：方差是衡量数据波动（离散）程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，数据就越整齐。接下来只需比较甲、乙两班的方差大小即可，已知甲班方差为15，乙班方差为8，比较后即可得出结论。
【解析】
方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据的波动程度越小，数据越整齐。已知$ S^{2}_{甲}=15 $，$ S^{2}_{乙}=8 $，因为$ 8 ＜ 15 $，即乙班的方差更小，所以乙班身高更整齐。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查对方差意义的基础应用，属于统计部分的基础题型，只要掌握“方差越小，数据越整齐”的核心知识点，即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
12.某奶茶品牌有两家门店,5月份这两家门店的日客流量分别为x人和y人,日人均消费金额分别为15元和18元。这两家门店所有顾客的日人均消费金额为$\underline{\qquad\qquad\qquad}$元。
答案
12.$\frac{15x + 18y}{x + y}$
解析
【分析】要求两家门店所有顾客的日人均消费金额，需明确“人均消费金额=总消费金额÷总客流量”这一核心关系。先分别计算两家门店的总日消费金额，再求和得到总消费；接着将两家门店的日客流量相加得到总客流量，最后用总消费除以总客流量即可得出结果。
【解析】解：第一家门店的总日消费金额为$15x$元，第二家门店的总日消费金额为$18y$元，因此两家门店的总日消费金额为$15x + 18y$元；两家门店的总日客流量为$x + y$人。根据人均消费金额的计算公式，可得两家门店所有顾客的日人均消费金额为$\frac{15x + 18y}{x + y}$元。
【答案】$\frac{15x + 18y}{x + y}$
【知识点】分式的应用、平均数的计算
【点评】本题结合实际场景考查分式的应用，核心是理解人均消费的计算逻辑，避免直接对两个人均消费取平均的错误，属于代数应用类基础题，需准确梳理各量间的关系。
【难度系数】0.5
【解析】解：第一家门店的总日消费金额为$15x$元，第二家门店的总日消费金额为$18y$元，因此两家门店的总日消费金额为$15x + 18y$元；两家门店的总日客流量为$x + y$人。根据人均消费金额的计算公式，可得两家门店所有顾客的日人均消费金额为$\frac{15x + 18y}{x + y}$元。
【答案】$\frac{15x + 18y}{x + y}$
【知识点】分式的应用、平均数的计算
【点评】本题结合实际场景考查分式的应用，核心是理解人均消费的计算逻辑，避免直接对两个人均消费取平均的错误，属于代数应用类基础题，需准确梳理各量间的关系。
【难度系数】0.5
13. (2025·金华市东阳市期末)在某次歌唱比赛中，小陈“演唱技巧”和“舞台表现”得分分别为9分，8分，若“演唱技巧”和“舞台表现”的权重分别是80%和20%，则小陈的最终得分为
8.8
分。答案
13.8.8
解析
【分析】本题考查加权平均数的计算，解题思路是明确各项得分及其对应权重，利用加权平均数公式计算最终得分：最终得分=各项得分×对应权重之和。
【解析】根据加权平均数的计算方法，小陈的最终得分=演唱技巧得分×演唱技巧权重 + 舞台表现得分×舞台表现权重，代入数据得：$9×80\% + 8×20\% = 9×0.8 + 8×0.2 = 7.2 + 1.6 = 8.8$（分）。
【答案】8.8
【知识点】加权平均数的计算
【点评】本题为加权平均数的基础应用题，属于统计模块的基础知识点，难度较低，只要掌握加权平均数的计算规则即可快速解答，是期末考的常见基础题型。
【难度系数】0.9
【解析】根据加权平均数的计算方法，小陈的最终得分=演唱技巧得分×演唱技巧权重 + 舞台表现得分×舞台表现权重，代入数据得：$9×80\% + 8×20\% = 9×0.8 + 8×0.2 = 7.2 + 1.6 = 8.8$（分）。
【答案】8.8
【知识点】加权平均数的计算
【点评】本题为加权平均数的基础应用题，属于统计模块的基础知识点，难度较低，只要掌握加权平均数的计算规则即可快速解答，是期末考的常见基础题型。
【难度系数】0.9
14. 某小组8名学生的数学考试成绩(单位:分)分别为88,98,87,92,92,90,91,96,老师决定将这些成绩分为两组,以便更好地分析学生的成绩分布,若按照以下分组方式:第一组{87,88,90,91,92,92},第二组{96,98},则组内离差平方和为
24
。答案
14.24
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，需先分别求出两组数据的平均值，再计算每组内每个数据与本组平均值的差的平方和，最后将两组结果相加。具体步骤为：1.计算第一组的平均值；2.计算第一组的离差平方和；3.计算第二组的平均值；4.计算第二组的离差平方和；5.两组结果相加得到总组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组数据的平均值：
第一组数据为87,88,90,91,92,92，总和为$87+88+90+91+92+92=540$，平均值$\bar{x_1}=\frac{540}{6}=90$。
2. 计算第一组的离差平方和：
$S_1=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2=9+4+0+1+4+4=22$。
3. 计算第二组数据的平均值：
第二组数据为96,98，总和为$96+98=194$，平均值$\bar{x_2}=\frac{194}{2}=97$。
4. 计算第二组的离差平方和：
$S_2=(96-97)^2+(98-97)^2=1+1=2$。
5. 总组内离差平方和：$S=S_1+S_2=22+2=24$。
【答案】
24
【知识点】
组内离差平方和、平均值计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算，核心是掌握离差平方和的计算方法，即每组数据与本组平均值的差的平方和，再求和，计算过程需仔细避免出错。
【难度系数】
0.3
要计算组内离差平方和，需先分别求出两组数据的平均值，再计算每组内每个数据与本组平均值的差的平方和，最后将两组结果相加。具体步骤为：1.计算第一组的平均值；2.计算第一组的离差平方和；3.计算第二组的平均值；4.计算第二组的离差平方和；5.两组结果相加得到总组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组数据的平均值：
第一组数据为87,88,90,91,92,92，总和为$87+88+90+91+92+92=540$，平均值$\bar{x_1}=\frac{540}{6}=90$。
2. 计算第一组的离差平方和：
$S_1=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2=9+4+0+1+4+4=22$。
3. 计算第二组数据的平均值：
第二组数据为96,98，总和为$96+98=194$，平均值$\bar{x_2}=\frac{194}{2}=97$。
4. 计算第二组的离差平方和：
$S_2=(96-97)^2+(98-97)^2=1+1=2$。
5. 总组内离差平方和：$S=S_1+S_2=22+2=24$。
【答案】
24
【知识点】
组内离差平方和、平均值计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算，核心是掌握离差平方和的计算方法，即每组数据与本组平均值的差的平方和，再求和，计算过程需仔细避免出错。
【难度系数】
0.3
15. 甲,乙两人各自记录了8次自己从家到学校所用的时间(单位:min):
甲:15,12,15,13,16,14,13,14;
乙:16,20,12,22,13,25,13,19。
从四分位数和箱线图比较,从家到学校所用时间较稳定的是
甲:15,12,15,13,16,14,13,14;
乙:16,20,12,22,13,25,13,19。
从四分位数和箱线图比较,从家到学校所用时间较稳定的是
甲
。答案
15.甲
解析
【分析】要判断谁的从家到学校的时间更稳定，需依据四分位数和箱线图的意义：数据的离散程度越小，稳定性越高。我们可通过计算两组数据的四分位距（反映中间50%数据的离散程度），结合数据分布特征比较离散程度，进而得出结论。
【解析】1. 对甲、乙的8次时间数据分别排序：
甲：12,13,13,14,14,15,15,16；
乙：12,13,13,16,19,20,22,25。
2. 计算四分位数（n=8时，四分位数位置公式：Q₁位置=(n+1)/4，Q₂位置=(n+1)/2，Q₃位置=3(n+1)/4）：
甲的四分位数：
Q₁位置=2.25，Q₁=13 + 0.25×(13-13)=13；
Q₂位置=4.5，Q₂=14 +0.5×(14-14)=14；
Q₃位置=6.75，Q₃=15 +0.75×(15-15)=15；
甲的四分位距IQR=Q₃-Q₁=15-13=2。
乙的四分位数：
Q₁位置=2.25，Q₁=13 +0.25×(13-13)=13；
Q₂位置=4.5，Q₂=16 +0.5×(19-16)=17.5；
Q₃位置=6.75，Q₃=20 +0.75×(22-20)=21.5；
乙的四分位距IQR=21.5-13=8.5。
3. 比较离散程度：甲的四分位距远小于乙，且乙存在明显极端值，说明甲的数据更集中，离散程度更小，因此时间更稳定。
【答案】甲
【知识点】四分位数、箱线图、数据稳定性
【点评】本题考查利用四分位数判断数据稳定性，核心是理解离散程度与稳定性的关联，通过计算四分位距即可快速比较，属于基础统计应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】1. 对甲、乙的8次时间数据分别排序：
甲：12,13,13,14,14,15,15,16；
乙：12,13,13,16,19,20,22,25。
2. 计算四分位数（n=8时，四分位数位置公式：Q₁位置=(n+1)/4，Q₂位置=(n+1)/2，Q₃位置=3(n+1)/4）：
甲的四分位数：
Q₁位置=2.25，Q₁=13 + 0.25×(13-13)=13；
Q₂位置=4.5，Q₂=14 +0.5×(14-14)=14；
Q₃位置=6.75，Q₃=15 +0.75×(15-15)=15；
甲的四分位距IQR=Q₃-Q₁=15-13=2。
乙的四分位数：
Q₁位置=2.25，Q₁=13 +0.25×(13-13)=13；
Q₂位置=4.5，Q₂=16 +0.5×(19-16)=17.5；
Q₃位置=6.75，Q₃=20 +0.75×(22-20)=21.5；
乙的四分位距IQR=21.5-13=8.5。
3. 比较离散程度：甲的四分位距远小于乙，且乙存在明显极端值，说明甲的数据更集中，离散程度更小，因此时间更稳定。
【答案】甲
【知识点】四分位数、箱线图、数据稳定性
【点评】本题考查利用四分位数判断数据稳定性，核心是理解离散程度与稳定性的关联，通过计算四分位距即可快速比较，属于基础统计应用题型。
【难度系数】0.5
16.(2024·绍兴市上虞区期末)已知一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$的平均数是5,则另一组数据$5x_{1}-5,5x_{2}-5,5x_{3}-5,5x_{4}-5$的平均数是
20
。答案
16.20 【解析】因为数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数是5,所以$x_1+x_2+x_3+x_4=5×4=20$,所以另一组数据$5x_1-5,5x_2-5,5x_3-5,5x_4-5$的平均数是$\frac{1}{4}×[(5x_1-5)+(5x_2-5)+(5x_3-5)+(5x_4-5)]=\frac{1}{4}×(5×20-20)=20$。
解析
【分析】要解决这个问题，需利用平均数的计算公式：一组数据的平均数等于该组数据的总和除以数据的个数。首先根据原数据的平均数求出原数据的总和，再将新数据的总和用原数据总和表示，最后除以数据个数得到新数据的平均数。
【解析】解：已知数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数是5，根据平均数公式可得：
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 5 × 4 = 20$
对于数据$5x_1 -5,5x_2 -5,5x_3 -5,5x_4 -5$，其平均数为：
$\begin{aligned}&\frac{1}{4}[(5x_1 -5)+(5x_2 -5)+(5x_3 -5)+(5x_4 -5)]\\=&\frac{1}{4}[5(x_1+x_2+x_3+x_4) - 5×4]\\=&\frac{1}{4}(5×20 -20)\\=&\frac{1}{4}×80\\=&20\end{aligned}$
【答案】20
【知识点】算术平均数，数据的线性变换
【点评】本题考查算术平均数的基础计算，核心是利用平均数的定义进行代数变形，属于基础题型，掌握平均数公式即可解答。
【难度系数】0.9
【解析】解：已知数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数是5，根据平均数公式可得：
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 5 × 4 = 20$
对于数据$5x_1 -5,5x_2 -5,5x_3 -5,5x_4 -5$，其平均数为：
$\begin{aligned}&\frac{1}{4}[(5x_1 -5)+(5x_2 -5)+(5x_3 -5)+(5x_4 -5)]\\=&\frac{1}{4}[5(x_1+x_2+x_3+x_4) - 5×4]\\=&\frac{1}{4}(5×20 -20)\\=&\frac{1}{4}×80\\=&20\end{aligned}$
【答案】20
【知识点】算术平均数，数据的线性变换
【点评】本题考查算术平均数的基础计算，核心是利用平均数的定义进行代数变形，属于基础题型，掌握平均数公式即可解答。
【难度系数】0.9
17.(8分)(2025·嘉兴市海宁市校级期末模拟)小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛,老师对这两名同学进行了5次测试,两人5次测试的成绩(满分10分)如下:
小聪:8,8,7,8,9;小明:10,9,7,5,9。
(1)填写下表:
(2)根据上面的计算,老师选择小聪代表班级参赛,理由是什么?
(3)如果再组织一次测试,小明得8分,那么小明成绩的方差
小聪:8,8,7,8,9;小明:10,9,7,5,9。
(1)填写下表:
(2)根据上面的计算,老师选择小聪代表班级参赛,理由是什么?
(3)如果再组织一次测试,小明得8分,那么小明成绩的方差
变小
(填“变大”“变小”或“不变”)。答案
17.(1)众数:8 中位数:9
(2)解:小聪和小明的平均成绩相同,但小聪的方差比小明的小,成绩更稳定,故选择小聪代表班级参赛。
(3)变小
(2)解:小聪和小明的平均成绩相同,但小聪的方差比小明的小,成绩更稳定,故选择小聪代表班级参赛。
(3)变小
解析
【分析】
首先解决第(1)问，需明确众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后中间位置的数（奇数个数据时为中间那个数）；第(2)问选择参赛选手需结合平均成绩和成绩稳定性，方差越小稳定性越好；第(3)问通过计算加入新数据后的方差，与原方差比较判断变化。
【解析】
(1) 小聪的成绩为8,8,7,8,9，其中8出现3次，次数最多，故众数为8；
小明的成绩排序为5,7,9,9,10，共5个数据，中间的数是9，故中位数为9；
(2) 小聪和小明的平均成绩均为8分，小聪的方差0.4小于小明的方差3.2，说明小聪的成绩更稳定，因此选择小聪代表班级参赛；
(3) 小明原5次成绩总和为10+9+7+5+9=40，平均成绩8分；加入8分后，6次成绩总和为48，平均成绩仍为8分。原方差$s^2=\frac{(10-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(5-8)^2+(9-8)^2}{5}=3.2$，新方差$s'^2=\frac{(10-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(5-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2}{6}=\frac{16}{6}\approx2.67$，2.67＜3.2，故方差变小。
【答案】
(1) 小聪众数：8；小明中位数：9；(2) 小聪和小明平均成绩相同，小聪的方差更小，成绩更稳定；(3) 变小
【知识点】
众数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与应用，需掌握各统计量的定义，理解方差反映数据稳定性的作用，是统计部分的基础题型。
【难度系数】
0.5
首先解决第(1)问，需明确众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后中间位置的数（奇数个数据时为中间那个数）；第(2)问选择参赛选手需结合平均成绩和成绩稳定性，方差越小稳定性越好；第(3)问通过计算加入新数据后的方差，与原方差比较判断变化。
【解析】
(1) 小聪的成绩为8,8,7,8,9，其中8出现3次，次数最多，故众数为8；
小明的成绩排序为5,7,9,9,10，共5个数据，中间的数是9，故中位数为9；
(2) 小聪和小明的平均成绩均为8分，小聪的方差0.4小于小明的方差3.2，说明小聪的成绩更稳定，因此选择小聪代表班级参赛；
(3) 小明原5次成绩总和为10+9+7+5+9=40，平均成绩8分；加入8分后，6次成绩总和为48，平均成绩仍为8分。原方差$s^2=\frac{(10-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(5-8)^2+(9-8)^2}{5}=3.2$，新方差$s'^2=\frac{(10-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(5-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2}{6}=\frac{16}{6}\approx2.67$，2.67＜3.2，故方差变小。
【答案】
(1) 小聪众数：8；小明中位数：9；(2) 小聪和小明平均成绩相同，小聪的方差更小，成绩更稳定；(3) 变小
【知识点】
众数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与应用，需掌握各统计量的定义，理解方差反映数据稳定性的作用，是统计部分的基础题型。
【难度系数】
0.5
