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6. 如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,
AE=DF=2,BE与AF相交于点G,H为BF的中点,联结GH,则
GH的长为
(
A.$2\sqrt{5}$
B.$\frac{\sqrt{34}}{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$\frac{8\sqrt{5}}{3}$
AE=DF=2,BE与AF相交于点G,H为BF的中点,联结GH,则
GH的长为
(
B
)A.$2\sqrt{5}$
B.$\frac{\sqrt{34}}{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$\frac{8\sqrt{5}}{3}$
答案
6.B 【解析】因为四边形ABCD是正方形,所以$AB=DA$,$∠BAE=∠ADF=90°$。在 $△BAE$ 和 $△ADF$ 中 , 因为 $\begin{cases} AB=DA, \\ ∠BAE=∠ADF, \\ AE=DF, \end{cases}$所以$△BAE≌△ADF(\mathrm{SAS})$,所以$∠ABE=∠DAF$。因为$∠ABE+∠BEA=90°$,所以$∠DAF+∠BEA=90°$,所以$∠AGE=90°$,所以$∠BGF=90°$。因为H为BF的中点,所以$GH=\frac{1}{2}BF$。又因为$BC=CD=5$,$DF=2$,$∠C=90°$,所以$CF=3$,所以$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$,所以$GH=\frac{1}{2}BF=\frac{\sqrt{34}}{2}$。
解析
【分析】
要解决本题，首先利用正方形的边和角的性质，结合已知线段长度证明三角形全等，推导得到直角，再利用直角三角形斜边中线定理，最后通过勾股定理计算BF的长度，从而求出GH的长。具体思路：1. 由正方形性质得AB=DA、∠BAE=∠ADF=90°，结合AE=DF，证明△BAE≌△ADF，推出角的关系得到∠BGF=90°；2. 利用直角三角形斜边中线定理，得GH等于BF的一半；3. 在Rt△BCF中，用勾股定理算出BF，进而得到GH的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=DA，∠BAE=∠ADF=90°，
在△BAE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l} AB=DA, \\ ∠BAE=∠ADF, \\ AE=DF, \end{array} $
∴ △BAE≌△ADF（SAS），
∴ ∠ABE=∠DAF，
∵ ∠ABE + ∠BEA = 90°，
∴ ∠DAF + ∠BEA = 90°，
∴ ∠AGE = 180° - (∠DAF + ∠BEA) = 90°，
∴ ∠BGF = 90°，即△BGF是直角三角形，
∵ H为BF的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线定理，得 $GH=\frac{1}{2}BF$，
又
∵ BC=CD=5，DF=2，∠C=90°，
∴ CF=CD - DF=5 - 2=3，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BC^2 + CF^2}=\sqrt{5^2 + 3^2}=\sqrt{34}$，
∴ $GH=\frac{1}{2}BF=\frac{\sqrt{34}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、全等三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是正方形背景下的几何计算问题，综合考查了全等三角形、直角三角形性质及勾股定理，解题关键是通过全等推导直角，利用斜边中线简化计算，需掌握多个几何知识点的结合应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用正方形的边和角的性质，结合已知线段长度证明三角形全等，推导得到直角，再利用直角三角形斜边中线定理，最后通过勾股定理计算BF的长度，从而求出GH的长。具体思路：1. 由正方形性质得AB=DA、∠BAE=∠ADF=90°，结合AE=DF，证明△BAE≌△ADF，推出角的关系得到∠BGF=90°；2. 利用直角三角形斜边中线定理，得GH等于BF的一半；3. 在Rt△BCF中，用勾股定理算出BF，进而得到GH的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=DA，∠BAE=∠ADF=90°，
在△BAE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l} AB=DA, \\ ∠BAE=∠ADF, \\ AE=DF, \end{array} $
∴ △BAE≌△ADF（SAS），
∴ ∠ABE=∠DAF，
∵ ∠ABE + ∠BEA = 90°，
∴ ∠DAF + ∠BEA = 90°，
∴ ∠AGE = 180° - (∠DAF + ∠BEA) = 90°，
∴ ∠BGF = 90°，即△BGF是直角三角形，
∵ H为BF的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线定理，得 $GH=\frac{1}{2}BF$，
又
∵ BC=CD=5，DF=2，∠C=90°，
∴ CF=CD - DF=5 - 2=3，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BC^2 + CF^2}=\sqrt{5^2 + 3^2}=\sqrt{34}$，
∴ $GH=\frac{1}{2}BF=\frac{\sqrt{34}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、全等三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是正方形背景下的几何计算问题，综合考查了全等三角形、直角三角形性质及勾股定理，解题关键是通过全等推导直角，利用斜边中线简化计算，需掌握多个几何知识点的结合应用。
【难度系数】
0.5
7. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O。有下列结论：①$AE=BF$；②$AE ⊥ BF$；③$AO=OE$；④$S_{△ AOB}=S_{\mathrm{四边形}DEOF}$；⑤$∠ BAE=∠ AFB$。其中正确的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
7.C 【解析】在正方形ABCD中,$∠BAF=∠D=90°$,$AB=AD=CD$。因为 $CE=DF$, 所以 $AD-DF=CD-CE$, 即 $AF=DE$。在$△ABF$和$△DAE$中,因为$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAF=∠D, \\ AF=DE, \end{cases}$所以$△ABF≌△DAE(\mathrm{SAS})$,所以 $AE=BF$,$∠ABF=∠DAE$,故 ①正确;因为$∠DAE+∠BAO=90°$,所以$∠ABF+∠BAO=90°$。在$△ABO$中,$∠AOB=180°-(∠ABF+∠BAO)=180°-90°=90°$,所以$AE⊥BF$,故②正确;假设$AO=OE$。因为$AE⊥BF$,所以$AB=BE$。因为在$\mathrm{Rt}△BCE$中,$BE＞BC$,所以$AB＞BC$,这与正方形的边长$AB=BC$相矛盾,所以假设不成立,$AO≠OE$,故③错误;因为$△ABF≌△DAE$,所以$S_{△ABF}=S_{△DAE}$,所以$S_{△ABF}-S_{△AOF}=S_{△DAE}-S_{△AOF}$,即$S_{△AOB}=S_{\mathrm{四边形}DEOF}$,故④正确;因为$∠AOB=90°$,所以$∠BAO+∠ABO=90°$。又因为$∠AFB+∠ABO=90°$,所以$∠BAO=∠AFB$,故⑤正确。
解析
【分析】
本题是正方形中的几何结论判断问题，解题思路为：先利用正方形的性质得到边、角的等量关系，结合已知CE=DF推出AF=DE；再通过SAS证明△ABF≌△DAE，根据全等三角形的性质逐一验证各结论；对错误结论可通过反证法或边长关系排除，最终确定正确结论的数量。
【解析】
在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD。
∵ CE=DF，
∴ AD-DF=CD-CE，即AF=DE。
在△ABF和△DAE中，
$\{\begin{array}{l} AB=AD \\ ∠BAF=∠D \\ AF=DE \end{array} $
∴ △ABF≌△DAE（SAS），
∴ AE=BF，∠ABF=∠DAE，故①正确；
∵ ∠DAE+∠BAO=90°，
∴ ∠ABF+∠BAO=90°，在△ABO中，∠AOB=180°-(∠ABF+∠BAO)=90°，
∴ AE⊥BF，故②正确；
假设AO=OE，
∵ AE⊥BF，
∴ AB=BE，在Rt△BCE中，BE＞BC，而正方形中AB=BC，矛盾，故AO≠OE，③错误；
∵ △ABF≌△DAE，
∴ S△ABF=S△DAE，
∴ S△ABF - S△AOF = S△DAE - S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；
∵ ∠AOB=90°，
∴ ∠BAO+∠ABO=90°，又∠AFB+∠ABO=90°，
∴ ∠BAO=∠AFB，即∠BAE=∠AFB，故⑤正确；
综上，正确的结论有①②④⑤，共4个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题综合考查正方形的性质与全等三角形的应用，需熟练运用相关定理逐一分析结论，反证法的使用是判断错误结论的关键，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
本题是正方形中的几何结论判断问题，解题思路为：先利用正方形的性质得到边、角的等量关系，结合已知CE=DF推出AF=DE；再通过SAS证明△ABF≌△DAE，根据全等三角形的性质逐一验证各结论；对错误结论可通过反证法或边长关系排除，最终确定正确结论的数量。
【解析】
在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD。
∵ CE=DF，
∴ AD-DF=CD-CE，即AF=DE。
在△ABF和△DAE中，
$\{\begin{array}{l} AB=AD \\ ∠BAF=∠D \\ AF=DE \end{array} $
∴ △ABF≌△DAE（SAS），
∴ AE=BF，∠ABF=∠DAE，故①正确；
∵ ∠DAE+∠BAO=90°，
∴ ∠ABF+∠BAO=90°，在△ABO中，∠AOB=180°-(∠ABF+∠BAO)=90°，
∴ AE⊥BF，故②正确；
假设AO=OE，
∵ AE⊥BF，
∴ AB=BE，在Rt△BCE中，BE＞BC，而正方形中AB=BC，矛盾，故AO≠OE，③错误；
∵ △ABF≌△DAE，
∴ S△ABF=S△DAE，
∴ S△ABF - S△AOF = S△DAE - S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；
∵ ∠AOB=90°，
∴ ∠BAO+∠ABO=90°，又∠AFB+∠ABO=90°，
∴ ∠BAO=∠AFB，即∠BAE=∠AFB，故⑤正确；
综上，正确的结论有①②④⑤，共4个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题综合考查正方形的性质与全等三角形的应用，需熟练运用相关定理逐一分析结论，反证法的使用是判断错误结论的关键，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
