登录
8. 如图,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在CD,AD,BC上,且$FG ⊥ BE$,垂足为O。
(1)求证:$BE=FG$。
(2)若O是BE的中点,且$BC=8,EC=3$,求AF的长。
(1)求证:$BE=FG$。
(2)若O是BE的中点,且$BC=8,EC=3$,求AF的长。
答案
8.(1)证明:如图1
,过点A作$AM// FG$交BE于点N,交BC于点M。在正方形ABCD中,$AD// BC$,$AB=BC$,$∠ABC=∠C=90°$。因为$FG⊥BE$,所以$∠FOB=90°$。因为$AM// FG$,所以$∠ANB=∠FOB=90°$,所以$∠AMB+∠EBC=90°$。因为$∠C=90°$,所以$∠BEC+∠EBC=90°$,所以$∠AMB=∠BEC$。在 $△ABM$ 和 $△BCE$ 中 , 因为 $\begin{cases} ∠AMB=∠BEC, \\ ∠ABM=∠C, \\ AB=BC, \end{cases}$所以$△ABM≌△BCE(\mathrm{AAS})$,所以$AM=BE$。因为$AD// BC$,所以$AF// MG$。因为$AM// FG$,所以四边形AMGF为平行四边形,所以$AM=FG$,所以$BE=FG$。(2)解:如图2
,联结BF,EF。因为$FG⊥BE$,O是BE的中点,所以$BF=FE$。在正方形ABCD中,$AD=AB=DC=BC=8$。因为$EC=3$,所以$DE=5$。设$AF=x$,则$DF=8-x$。在$\mathrm{Rt}△ABF$中,由勾股定理,得$BF^2=AB^2+AF^2=8^2+x^2$。在$\mathrm{Rt}△DEF$中,由勾股定理,得$FE^2=DF^2+DE^2=(8-x)^2+5^2$。因为$BF=FE$,所以$BF^2=FE^2$,即$8^2+x^2=(8-x)^2+5^2$,解得$x=\frac{25}{16}$,所以$AF=\frac{25}{16}$。解析
【分析】
(1) 要证明BE=FG，可通过构造平行四边形和全等三角形转化线段。利用正方形对边平行的性质，作辅助线AM平行于FG，将FG转化为AM，再证明△ABM与△BCE全等，得到AM=BE，从而证得BE=FG。
(2) 已知O是BE中点且FG⊥BE，根据垂直平分线的性质可得BF=FE，再结合正方形边长，设AF=x，用勾股定理分别表示BF²和FE²，通过列方程求解x，即得AF的长。
【解析】
(1) 证明：如图1，过点A作AM//FG交BE于点N，交BC于点M。
在正方形ABCD中，AD//BC，AB=BC，∠ABC=∠C=90°。
∵ FG⊥BE，
∴ ∠FOB=90°。
∵ AM//FG，
∴ ∠ANB=∠FOB=90°，
∴ ∠AMB + ∠EBC=90°。
又
∵ ∠C=90°，
∴ ∠BEC + ∠EBC=90°，
∴ ∠AMB=∠BEC。
在△ABM和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠AMB=∠BEC, \\∠ABM=∠C, \\AB=BC,\end{array} $
∴ △ABM≌△BCE（AAS），
∴ AM=BE。
∵ AD//BC，即AF//MG，又AM//FG，
∴ 四边形AMGF为平行四边形，
∴ AM=FG，
∴ BE=FG。
(2) 解：如图2，联结BF，EF。
∵ FG⊥BE，O是BE的中点，
∴ FG是BE的垂直平分线，
∴ BF=FE。
在正方形ABCD中，AD=AB=DC=BC=8，
∵ EC=3，
∴ DE=DC - EC=8 - 3=5。
设AF=x，则DF=AD - AF=8 - x。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF²=AB² + AF²=8² + x²=64 + x²。
在Rt△DEF中，由勾股定理得：FE²=DF² + DE²=(8 - x)² + 5²=(8 - x)² + 25。
∵ BF=FE，
∴ BF²=FE²，即：
64 + x²=(8 - x)² + 25
展开右边得：64 + x²=64 - 16x + x² + 25
化简得：16x=25 → x=$\frac{25}{16}$
∴ AF=$\frac{25}{16}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{25}{16}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是正方形中的几何证明与计算，第一问通过构造平行四边形和全等三角形转化线段，体现了几何辅助线的构造技巧；第二问利用垂直平分线性质结合勾股定理建立方程，考查方程思想的应用，整体难度中等，需熟练掌握正方形性质及几何定理的综合运用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明BE=FG，可通过构造平行四边形和全等三角形转化线段。利用正方形对边平行的性质，作辅助线AM平行于FG，将FG转化为AM，再证明△ABM与△BCE全等，得到AM=BE，从而证得BE=FG。
(2) 已知O是BE中点且FG⊥BE，根据垂直平分线的性质可得BF=FE，再结合正方形边长，设AF=x，用勾股定理分别表示BF²和FE²，通过列方程求解x，即得AF的长。
【解析】
(1) 证明：如图1，过点A作AM//FG交BE于点N，交BC于点M。
在正方形ABCD中，AD//BC，AB=BC，∠ABC=∠C=90°。
∵ FG⊥BE，
∴ ∠FOB=90°。
∵ AM//FG，
∴ ∠ANB=∠FOB=90°，
∴ ∠AMB + ∠EBC=90°。
又
∵ ∠C=90°，
∴ ∠BEC + ∠EBC=90°，
∴ ∠AMB=∠BEC。
在△ABM和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠AMB=∠BEC, \\∠ABM=∠C, \\AB=BC,\end{array} $
∴ △ABM≌△BCE（AAS），
∴ AM=BE。
∵ AD//BC，即AF//MG，又AM//FG，
∴ 四边形AMGF为平行四边形，
∴ AM=FG，
∴ BE=FG。
(2) 解：如图2，联结BF，EF。
∵ FG⊥BE，O是BE的中点，
∴ FG是BE的垂直平分线，
∴ BF=FE。
在正方形ABCD中，AD=AB=DC=BC=8，
∵ EC=3，
∴ DE=DC - EC=8 - 3=5。
设AF=x，则DF=AD - AF=8 - x。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF²=AB² + AF²=8² + x²=64 + x²。
在Rt△DEF中，由勾股定理得：FE²=DF² + DE²=(8 - x)² + 5²=(8 - x)² + 25。
∵ BF=FE，
∴ BF²=FE²，即：
64 + x²=(8 - x)² + 25
展开右边得：64 + x²=64 - 16x + x² + 25
化简得：16x=25 → x=$\frac{25}{16}$
∴ AF=$\frac{25}{16}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{25}{16}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是正方形中的几何证明与计算，第一问通过构造平行四边形和全等三角形转化线段，体现了几何辅助线的构造技巧；第二问利用垂直平分线性质结合勾股定理建立方程，考查方程思想的应用，整体难度中等，需熟练掌握正方形性质及几何定理的综合运用。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°,则BC
=
CD(填“＞”“＜”或“=”)。答案
9.= 【解析】如图
,过点C分别作$CE⊥AB$交AB的延长线于点E,作$CF⊥AD$于点F。因为AC平分$∠BAD$,所以$CE=CF$。因为$∠ABC+∠CBE=180°$,$∠ABC+∠D=180°$,所以$∠D=∠CBE$。在$△BCE$和$△DCF$中,因为$\begin{cases} ∠CBE=∠D, \\ ∠E=∠CFD=90°, \\ CE=CF, \end{cases}$所以$△BCE≌△DCF(\mathrm{AAS})$,所以$BC=CD$。解析
【分析】要判断BC与CD的关系，已知AC平分∠BAD，可利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形。先过点C作AB延长线的垂线CE和AD的垂线CF，由角平分线性质得到CE=CF；再根据∠B与∠D互补，结合邻补角的关系推出∠CBE=∠D，进而证明△BCE和△DCF全等，即可得出BC与CD的数量关系。
【解析】如图，过点C分别作$CE⊥AB$交AB的延长线于点E，作$CF⊥AD$于点F。
∵AC平分∠BAD，$CE⊥AB$，$CF⊥AD$，
∴$CE=CF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$∠ABC + ∠CBE = 180°$，又$∠ABC + ∠D = 180°$，
∴$∠CBE = ∠D$（同角的补角相等）。
在$△BCE$和$△DCF$中，
$\begin{cases}∠CBE = ∠D, \\∠E = ∠CFD = 90°, \\CE = CF,\end{cases}$
∴$△BCE ≌ △DCF(\mathrm{AAS})$，
∴$BC = CD$。
【答案】=
【知识点】角平分线性质、全等三角形判定与性质
【点评】本题通过作角平分线的垂线段构造全等三角形，利用补角相等转化角，是证明线段相等的常用方法，辅助线的构造是解题关键，属于中等难度的几何证明题。
【难度系数】0.5
【解析】如图，过点C分别作$CE⊥AB$交AB的延长线于点E，作$CF⊥AD$于点F。
∵AC平分∠BAD，$CE⊥AB$，$CF⊥AD$，
∴$CE=CF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$∠ABC + ∠CBE = 180°$，又$∠ABC + ∠D = 180°$，
∴$∠CBE = ∠D$（同角的补角相等）。
在$△BCE$和$△DCF$中，
$\begin{cases}∠CBE = ∠D, \\∠E = ∠CFD = 90°, \\CE = CF,\end{cases}$
∴$△BCE ≌ △DCF(\mathrm{AAS})$，
∴$BC = CD$。
【答案】=
【知识点】角平分线性质、全等三角形判定与性质
【点评】本题通过作角平分线的垂线段构造全等三角形，利用补角相等转化角，是证明线段相等的常用方法，辅助线的构造是解题关键，属于中等难度的几何证明题。
【难度系数】0.5
10. 为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法。已知：在四边形$ABCD$中，$AC$平分$∠ BAD$，$∠ B + ∠ D = 180°$。
(1)如图1，当$∠ B = 90°$时，求证：$CB = CD$。
(2)如图2，当$∠ B ＜ 90°$时，
①求证：$CB = CD$。
②若$AB = 13\ \mathrm{cm}$，$AD = 6\ \mathrm{cm}$，$∠ B = 45°$，则点$C$到$AB$的距离是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$。
(1)如图1，当$∠ B = 90°$时，求证：$CB = CD$。
(2)如图2，当$∠ B ＜ 90°$时，
①求证：$CB = CD$。
②若$AB = 13\ \mathrm{cm}$，$AD = 6\ \mathrm{cm}$，$∠ B = 45°$，则点$C$到$AB$的距离是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$。
答案
10.(1)证明:因为$∠B+∠D=180°$,$∠B=90°$,所以$∠D=90°$。因为AC平分$∠BAD$,$BC⊥AB$,$CD⊥AD$,所以$CB=CD$。
(2)①证明:如图
,过点C分别作$CE⊥BA$于点E,作$CF⊥AD$交AD的延长线于点F。因为$∠B+∠ADC=180°$,$∠ADC+∠FDC=180°$,所以$∠B=∠FDC$。因为AC平分$∠BAD$,$CE⊥BA$,$CF⊥AD$,所以$CF=CE$。又因为$∠F=∠CEB=90°$,所以$△CDF≌△CBE(\mathrm{AAS})$,所以$CD=CB$。②3.5 【解析】由①知$CF=CE$,$∠F=∠CEA=90°$。因为AC平分$∠BAD$,所以$∠CAF=∠CAE$。又因为$AC=AC$,所以$△ACF≌△ACE(\mathrm{AAS})$,所以$AF=AE$。因为$△CDF≌△CBE$,所以$DF=BE$,所以$AD+DF=AB-BE$,即$AD+BE=AB-BE$。因为$AB=13\ \mathrm{cm}$,$AD=6\ \mathrm{cm}$,所以$BE=3.5\ \mathrm{cm}$。因为$∠B=45°$,所以$∠BCE=45°=∠B$,所以$CE=BE=3.5\ \mathrm{cm}$,所以点C到AB的距离是3.5 cm。
解析
【分析】
本题采用从特殊到一般的思路解题：(1) 特殊情况中，先由∠B+∠D=180°和∠B=90°推出∠D=90°，结合AC平分∠BAD，利用角平分线的性质直接证明CB=CD；(2) 一般情况中，通过作辅助线构造直角三角形，利用同角的补角相等得到角相等，结合角平分线性质得到边相等，用AAS证明三角形全等得到CB=CD；计算距离时，先利用角平分线性质证明另一组三角形全等得到线段关系，再结合等腰直角三角形的性质求出距离。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠B + ∠D = 180°，∠B = 90°，
∴ ∠D = 180° - 90° = 90°，即CD⊥AD，CB⊥AB。
又
∵ AC平分∠BAD，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ CB = CD。
(2) ① 证明：过点C分别作CE⊥BA于点E，作CF⊥AD交AD的延长线于点F。
∵ ∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠FDC = 180°，
∴ ∠B = ∠FDC。
∵ AC平分∠BAD，CE⊥BA，CF⊥AD，
∴ CF = CE（角平分线的性质），且∠F = ∠CEB = 90°。
在△CDF和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠F = ∠CEB \\∠FDC = ∠B \\CF = CE\end{array} $
∴ △CDF ≌ △CBE（AAS），
∴ CD = CB。
② 解：由①知CF = CE，∠F = ∠CEA = 90°。
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠CAF = ∠CAE。
在△ACF和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}∠F = ∠CEA \\∠CAF = ∠CAE \\AC = AC\end{array} $
∴ △ACF ≌ △ACE（AAS），
∴ AF = AE。
又
∵ △CDF ≌ △CBE，
∴ DF = BE。
∵ AF = AD + DF，AE = AB - BE，
∴ AD + DF = AB - BE，代入DF = BE得：AD + BE = AB - BE，
整理得：2BE = AB - AD。
已知AB = 13 cm，AD = 6 cm，
∴ BE = $\frac{AB - AD}{2}$ = $\frac{13 - 6}{2}$ = 3.5 cm。
∵ ∠B = 45°，CE⊥AB，
∴ △CEB是等腰直角三角形，
∴ CE = BE = 3.5 cm，即点C到AB的距离是3.5 cm。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ① 证明见解析；② 3.5
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题运用从特殊到一般的思想，通过构造辅助线，结合角平分线性质与全等三角形判定解决几何问题，辅助线构造是解题关键，考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
本题采用从特殊到一般的思路解题：(1) 特殊情况中，先由∠B+∠D=180°和∠B=90°推出∠D=90°，结合AC平分∠BAD，利用角平分线的性质直接证明CB=CD；(2) 一般情况中，通过作辅助线构造直角三角形，利用同角的补角相等得到角相等，结合角平分线性质得到边相等，用AAS证明三角形全等得到CB=CD；计算距离时，先利用角平分线性质证明另一组三角形全等得到线段关系，再结合等腰直角三角形的性质求出距离。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠B + ∠D = 180°，∠B = 90°，
∴ ∠D = 180° - 90° = 90°，即CD⊥AD，CB⊥AB。
又
∵ AC平分∠BAD，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ CB = CD。
(2) ① 证明：过点C分别作CE⊥BA于点E，作CF⊥AD交AD的延长线于点F。
∵ ∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠FDC = 180°，
∴ ∠B = ∠FDC。
∵ AC平分∠BAD，CE⊥BA，CF⊥AD，
∴ CF = CE（角平分线的性质），且∠F = ∠CEB = 90°。
在△CDF和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠F = ∠CEB \\∠FDC = ∠B \\CF = CE\end{array} $
∴ △CDF ≌ △CBE（AAS），
∴ CD = CB。
② 解：由①知CF = CE，∠F = ∠CEA = 90°。
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠CAF = ∠CAE。
在△ACF和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}∠F = ∠CEA \\∠CAF = ∠CAE \\AC = AC\end{array} $
∴ △ACF ≌ △ACE（AAS），
∴ AF = AE。
又
∵ △CDF ≌ △CBE，
∴ DF = BE。
∵ AF = AD + DF，AE = AB - BE，
∴ AD + DF = AB - BE，代入DF = BE得：AD + BE = AB - BE，
整理得：2BE = AB - AD。
已知AB = 13 cm，AD = 6 cm，
∴ BE = $\frac{AB - AD}{2}$ = $\frac{13 - 6}{2}$ = 3.5 cm。
∵ ∠B = 45°，CE⊥AB，
∴ △CEB是等腰直角三角形，
∴ CE = BE = 3.5 cm，即点C到AB的距离是3.5 cm。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ① 证明见解析；② 3.5
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题运用从特殊到一般的思想，通过构造辅助线，结合角平分线性质与全等三角形判定解决几何问题，辅助线构造是解题关键，考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
