3. 在四边形ABCD中，$AC ⊥ BD$，$AB=7$，$CD=11$，$BC=13$，则$AD=$______。

3.1

【分析】已知四边形ABCD中AC⊥BD，对角线交点将两条对角线分成四条线段，形成四个直角三角形。设这四条线段的长度，利用勾股定理分别表示各边的平方，通过对边平方和的等式关系推导AD的长度。
【解析】设AC与BD交于点O，由AC⊥BD得四个三角形均为直角三角形。设AO=a，BO=b，CO=c，DO=d，根据勾股定理：
AB² = a² + b² = 7² = 49，
BC² = b² + c² = 13² = 169，
CD² = c² + d² = 11² = 121，
AD² = a² + d²；
将AB² + CD² = (a² + b²) + (c² + d²) = 49 + 121 = 170，
同时BC² + AD² = (b² + c²) + (a² + d²) = 170，
代入BC=13得：169 + AD² = 170，
解得AD²=1，因边长为正，故AD=1。
【答案】1
【知识点】勾股定理、四边形对角线性质
【点评】本题核心是利用对角线垂直的四边形对边平方和相等的性质，通过勾股定理建立等式简化计算，关键是设对角线分线段转化为平方和关系。
【难度系数】0.5

4.如图,在矩形ABCD中,E为矩形ABCD内部一点,若$EB=2,ED=5$,则$EA^2 + EC^2$的值为 ()

A.23
B.25
C.27
D.29

4.D 【解析】如图,过点E作$EE'// BC$交CD于点F,且$EE'=BC$,联结$E'C,E'D$。因为四边形ABCD为矩形,所以$BC⊥CD$,$AD// BC$,$AD=BC$,所以$EE'// AD$且$EE'=AD$,所以四边形$AEE'D,BEE'C$均为平行四边形,所以$EA=E'D$,$EB=E'C$。因为$EE'// BC$,所以$EE'⊥CD$。根据“垂美四边形”模型,得$DE'^2+EC^2=ED^2+E'C^2$,即$EA^2+EC^2=ED^2+EB^2=29$。

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过构造辅助线，结合矩形、平行四边形的性质，利用“垂美四边形”的性质转化线段平方关系。首先，过点E作平行于BC的辅助线，构造平行四边形将EA、EB转化为对应线段，再利用垂美四边形“对角线互相垂直时，两组对边的平方和相等”的性质，把所求的$EA^2 + EC^2$转化为已知的$ED^2 + EB^2$，进而计算结果。
【解析】
如图，过点E作$EE' // BC$交CD于点F，且$EE' = BC$，联结$E'C$、$E'D$。
因为四边形ABCD是矩形，所以$BC ⊥ CD$，$AD // BC$，$AD = BC$，因此$EE' // AD$且$EE' = AD$，故四边形$AEE'D$、$BEE'C$均为平行四边形，可得$EA = E'D$，$EB = E'C$。
又因为$EE' // BC$，$BC ⊥ CD$，所以$EE' ⊥ CD$，即四边形$DE'CE$是垂美四边形（对角线互相垂直的四边形）。
根据垂美四边形的性质：对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，即$DE'^2 + EC^2 = ED^2 + E'C^2$。
将$EA = E'D$，$EB = E'C$代入上式，得$EA^2 + EC^2 = ED^2 + EB^2$。
已知$EB = 2$，$ED = 5$，所以$EA^2 + EC^2 = 5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、平行四边形的判定与性质、垂美四边形的性质
【点评】
本题通过构造垂美四边形，结合矩形和平行四边形的性质，将所求的线段平方和转化为已知线段的平方和，简化了计算，解题关键是掌握垂美四边形的性质并合理构造辅助线。
【难度系数】
0.5

5.定义:把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形。
(1)概念理解:如图1,在四边形ABCD中,如果$AB=AD,CB=CD$,那么四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由。
(2)性质探究:如图2,垂美四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC,AD之间有怎样的数量关系?写出你的猜想,并说明理由。

(3)问题解决:如图3,分别以$Rt△ ACB$的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,联结CE,BG,GE。
①求证:$△ GAB≌△ CAE$。
②若$AC=2,AB=5$,则$GE=$。

5.(1)解:四边形ABCD是垂美四边形。理由如下:因为$AB=AD$,所以点A在线段BD的垂直平分线上。因为$CB=CD$,所以点C在线段BD的垂直平分线上,所以直线AC是线段BD的垂直平分线,所以$AC⊥BD$,所以四边形ABCD是垂美四边形。
(2)解:$AB^2+CD^2=BC^2+AD^2$。理由如下:如图1,设AC与BD交于点E。因为$AC⊥BD$,所以$∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°$。由勾股定理,得$AD^2+BC^2=AE^2+DE^2+BE^2+CE^2$,$AB^2+CD^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$,所以$AB^2+CD^2=BC^2+AD^2$。
(3) ① 证明 : 因为 $∠CAG=∠BAE=90°$, 所以 $∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC$,即$∠GAB=∠CAE$。在$△GAB$和$△CAE$中,因为$\begin{cases} AG=AC, \\ ∠GAB=∠CAE, \\ AB=AE, \end{cases}$所以$△GAB≌△CAE(\mathrm{SAS})$。
②$\sqrt{37}$ 【解析】如图2,联结CG,BE。因为$△GAB≌△CAE$,所以$∠ABG=∠AEC$。又因为$∠AEC+∠AME=90°$,$∠BMC=∠AME$,所以 $∠ABG+∠BMC=90°$,所以 $∠BNC=90°$,即 $CE⊥BG$,所以四边形CGEB是垂美四边形,所以$CG^2+BE^2=CB^2+GE^2$。因为 $AC=2$,$AB=5$, 所以 $CB=\sqrt{21}$,$CG=2\sqrt{2}$,$BE=5\sqrt{2}$, 所以 $GE^2=CG^2+BE^2-CB^2=37$, 所以 $GE=\sqrt{37}$。

【分析】
本题围绕“垂美四边形”的定义展开，需结合线段垂直平分线性质、勾股定理、全等三角形判定等知识逐步推导：(1)判断是否为垂美四边形，需证对角线垂直，利用“到线段两端距离相等的点在垂直平分线上”，由AB=AD、CB=CD得A、C在BD垂直平分线上，故AC⊥BD；(2)探究对边平方关系，设对角线交点，用勾股定理表示各边平方，整理得结论；(3)①证全等需找SAS条件，利用正方形的边相等和角相等推导；②利用全等得角关系推出四边形为垂美四边形，再用垂美四边形性质计算GE。
【解析】
(1) 四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：
∵ AB=AD，
∴ 点A在线段BD的垂直平分线上；
∵ CB=CD，
∴ 点C在线段BD的垂直平分线上；
∴ 直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴ AC⊥BD，
∴ 四边形ABCD是垂美四边形。
(2) 猜想：$AB^2+CD^2=BC^2+AD^2$，理由如下：
设AC与BD交于点E，
∵ AC⊥BD，
∴ ∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理：$AD^2=AE^2+DE^2$，$BC^2=BE^2+CE^2$，故$AD^2+BC^2=AE^2+DE^2+BE^2+CE^2$；
同理，$AB^2=AE^2+BE^2$，$CD^2=CE^2+DE^2$，故$AB^2+CD^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$；
∴ $AB^2+CD^2=BC^2+AD^2$。
(3) ① 证明：
∵ 四边形ACFG和ABDE是正方形，
∴ AG=AC，AB=AE，∠CAG=∠BAE=90°，
∴ ∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中：
$\{\begin{array}{l} AG=AC \\ ∠GAB=∠CAE \\ AB=AE \end{array} $
∴ △GAB≌△CAE（SAS）。
② 解：
联结CG、BE，
∵ △GAB≌△CAE，
∴ ∠ABG=∠AEC，
设CE与BG交于点N，
∵ ∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMC，
∴ ∠ABG+∠BMC=90°，
∴ ∠BNC=90°，即CE⊥BG，
∴ 四边形CGEB是垂美四边形，由(2)的性质得：$CG^2+BE^2=CB^2+GE^2$，
在Rt△ACB中，AC=2，AB=5，
∴ $CB=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$，
正方形ACFG中，$CG=\sqrt{AC^2+AG^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
正方形ABDE中，$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
代入得：$(2\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 = (\sqrt{21})^2 + GE^2$，即$8+50=21+GE^2$，
解得$GE^2=37$，
∴ $GE=\sqrt{37}$。
【答案】
(1) 是；(2) $AB^2+CD^2=BC^2+AD^2$；(3) ① 证明见解析；② $\sqrt{37}$
【知识点】
线段垂直平分线性质、勾股定理、全等三角形判定
【点评】
本题以“垂美四边形”为载体，综合考查几何定义的理解、性质推导与应用，需结合多个几何知识点，逻辑推导要求较高，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5