1.如图,在任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是 ()

A.当E,F,G,H是各边的中点,且$AC=BD$时,四边形EFGH为菱形
B.当E,F,G,H是各边的中点,且$AC⊥BD$时,四边形EFGH为矩形
C.当E,F,G,H不是各边的中点时,四边形EFGH可能为平行四边形
D.当E,F,G,H不是各边的中点时,四边形EFGH不可能为菱形

1.D

【分析】
要判断四边形EFGH的形状，需结合三角形中位线定理及平行四边形、菱形、矩形的判定定理分析各选项：先连接原四边形的对角线AC、BD，利用中位线定理分析中点四边形的形状，再判断非中点时四边形EFGH是否可能为平行四边形、菱形。
【解析】
连接AC、BD，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
选项A：若E、F、G、H是各边中点，则EH是△ABD的中位线，故$EH// BD$且$EH=\frac{1}{2}BD$；FG是△BCD的中位线，故$FG// BD$且$FG=\frac{1}{2}BD$，因此$EH// FG$且$EH=FG$，四边形EFGH是平行四边形。又EF是△ABC的中位线，$EF=\frac{1}{2}AC$，已知$AC=BD$，所以$EF=EH$，平行四边形EFGH为菱形，A正确。
选项B：同理，E、F、G、H是中点时，$EF// AC$，$EH// BD$，因$AC⊥BD$，故$EF⊥EH$，平行四边形EFGH为矩形，B正确。
选项C：当E、F、G、H不是各边中点时，若满足$\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}=\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}=k$（$k≠\frac{1}{2}$），由平行线分线段成比例可得$EH// BD$，$FG// BD$，即$EH// FG$；同理$EF// AC$，$HG// AC$，即$EF// HG$，故四边形EFGH是平行四边形，C正确。
选项D：由选项C知非中点时EFGH可为平行四边形，若此时$BD=AC$，则$EH=k· BD$，$EF=k· AC$，故$EH=EF$，平行四边形EFGH为菱形，因此非中点时EFGH也可能为菱形，D错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形判定；菱形判定
【点评】
本题考查中点四边形的性质及特殊四边形的判定，需灵活运用三角形中位线定理分析边的关系，易错点在于忽略非中点时也能构造菱形，需全面考虑不同情况。
【难度系数】
0.5

2. 阅读与思考:
我们知道,如图1,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次联结E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形,这个平行四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形,也称为瓦里尼翁平行四边形。瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切。
①当原四边形的对角线满足一定关系时,瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形。
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系。
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半,此结论可借助图1证明如下:
证明:如图2,联结AC,分别交EH,FG于点P,Q。
因为H,G分别为AD,CD的中点,所以HG$\underline{\underline{// }}\frac{1}{2}AC$。
因为E,F分别为AB,BC的中点,
所以$\underline{\underline{// }}$(填空1),
所以$\underline{\underline{// }}$(填空2),
所以四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形。
任务:
(1)填空1:$\underline{\underline{// }}\_\_\_\_\_\_\underline{\underline{// }}$。
(2)矩形的瓦里尼翁平行四边形是 ()
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
(3)菱形的瓦里尼翁平行四边形是 ()
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
(4)在图1中,分别联结AC,BD得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系,并证明你的结论。

2.(1)$EF\ \ \frac{1}{2}AC\ \ EF\ \ HG$ (2)B (3)C
(4)解:瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于$AC+BD$。证明:因为四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形,所以E,H,G,F分别是边AB,AD,CD,BC的中点,所以$EF=\frac{1}{2}AC$,$HG=\frac{1}{2}AC$,$EH=\frac{1}{2}BD$,$FG=\frac{1}{2}BD$,所以瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为$EF+FG+HG+EH=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD=AC+BD$。

【分析】
本题围绕四边形的中点四边形（瓦里尼翁平行四边形）展开，核心依据是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半。解题时，先利用各边中点的条件，结合中位线定理推导线段的平行与数量关系，进而解决填空、特殊四边形的中点四边形形状判断，以及周长与原四边形对角线的关系问题。
【解析】
(1) 因为E、F分别为AB、BC的中点，根据三角形中位线定理，可得$EF\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}AC$；又因为HG是CD、AD中点连线，故$HG\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}AC$，因此$EF\underline{\underline{//}}HG$，所以填空1为$EF$、$\frac{1}{2}AC$，填空2为$EF$、$HG$。
(2) 矩形的对角线相等，根据中位线定理，中点四边形的各边长度为原矩形对角线的一半，因此四边相等，故矩形的瓦里尼翁平行四边形是菱形，选B。
(3) 菱形的对角线互相垂直，根据中位线定理，中点四边形的边分别平行于原菱形的两条对角线，因此邻边互相垂直，故菱形的瓦里尼翁平行四边形是矩形，选C。
(4) 猜想：瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于$AC+BD$。
证明：因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，由三角形中位线定理得：$EF=\frac{1}{2}AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，$EH=\frac{1}{2}BD$，$FG=\frac{1}{2}BD$。
所以四边形EFGH的周长为：$EF+FG+HG+EH=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD=AC+BD$。
【答案】
(1) $EF$，$\frac{1}{2}AC$；$EF$，$HG$ (2) B (3) C (4) 瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于$AC+BD$
【知识点】
三角形中位线定理，中点四边形，特殊平行四边形判定
【点评】
本题考查中点四边形的性质，核心是三角形中位线定理的应用，结合特殊四边形对角线特点判断中点四边形形状，推导周长与原四边形对角线的关系，注重基础定理的理解与运用，难度适中。
【难度系数】
0.6