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24. (2024·宁波市余姚市期末)如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC上的点，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，A'B'交AD于点N，作BM⊥A'B'于点M，交EF于点H，联结B'H。
(1)求证：BM//FB'。
(2)四边形BFB'H是什么特殊四边形？请说明理由。
(3)①若B，M，D三点在一条直线上，求证：DN=√2 AN。
②若N为AD的中点，求DB' : B'C的值。
(1)求证：BM//FB'。
(2)四边形BFB'H是什么特殊四边形？请说明理由。
(3)①若B，M，D三点在一条直线上，求证：DN=√2 AN。
②若N为AD的中点，求DB' : B'C的值。
答案
(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以∠ABC=90°。由折叠的性质,得∠A'B'F=∠ABC=90°,即FB'⊥A'B'。又因为BM⊥A'B',所以BM//FB'。
(2)解:四边形BFB'H是菱形。理由如下:由折叠的性质,得∠BFH=∠B'FH,BF=B'F,BH=B'H。因为BM//FB',所以∠BHF=∠B'FH,所以∠BHF=∠BFH,所以BH=BF,所以BH=BF=B'F=B'H,所以四边形BFB'H是菱形。
(3)①证明:如图,联结BB',ND,MD。因为四边形BFB'H是菱形,所以∠MBB'=∠CBB'。因为∠BMB'=∠CB'B,BB'=BB',所以△MBB'≌△CBB'(AAS),所以MB'=CB',BM=BC。因为BC=BA,所以BM=BA。因为∠A=∠BMN=90°,BN=BN,所以Rt△BAN≌Rt△BMN(HL),所以AN=MN。因为B,M,D三点在一条直线上,所以∠NDM=45°,所以DN=√2 MN,所以DN=√2 AN。
②解:因为N为AD的中点,设AN=DN=x,B'C=y,则DC=AD=2x,NM=x,B'M=y,DB'=2x-y,B'N=x+y。在Rt△NDB'中,DN²+DB'²=B'N²,即x²+(2x-y)²=(x+y)²,解得y=2/3 x,所以DB':B'C=2。
解析
【分析】
本题是正方形折叠的几何综合题，需结合正方形、折叠的性质，利用平行线判定、菱形判定、全等三角形、勾股定理等知识解题。
(1) 要证BM//FB'，需根据正方形的直角和折叠后对应角相等，得出FB'⊥A'B'，BM⊥A'B'，依据“垂直于同一直线的两直线平行”即可证明；
(2) 判断四边形BFB'H的形状，先由折叠得到边和角的关系，结合平行线的内错角相等，推导出四边相等，从而确定四边形为菱形；
(3) ① 当B、M、D共线时，通过联结辅助线，证明三角形全等得到边的关系，再结合等腰直角三角形的性质，推导DN与AN的数量关系；② 当N为AD中点时，设未知数，利用勾股定理建立方程，求解得到DB'与B'C的比值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC=90°。
由折叠的性质，得∠A'B'F=∠ABC=90°，即FB'⊥A'B'。
又
∵ BM⊥A'B'，
∴ BM//FB'。
(2) 解：四边形BFB'H是菱形，理由如下：
由折叠的性质，得∠BFH=∠B'FH，BF=B'F，BH=B'H。
∵ BM//FB'，
∴ ∠BHF=∠B'FH，
∴ ∠BHF=∠BFH，
∴ BH=BF，
∴ BH=BF=B'F=B'H，
∴ 四边形BFB'H是菱形。
(3) ① 证明：
如图，联结BB'，ND，MD。
∵ 四边形BFB'H是菱形，
∴ ∠MBB'=∠CBB'。
在△MBB'和△CBB'中：
$\{\begin{array}{l}∠BMB'=∠CB'B \\∠MBB'=∠CBB' \\BB'=BB'\end{array} $
∴ △MBB'≌△CBB'(AAS)，
∴ MB'=CB'，BM=BC。
∵ BC=BA，
∴ BM=BA。
在Rt△BAN和Rt△BMN中：
$\{\begin{array}{l}BA=BM \\BN=BN\end{array} $
∴ Rt△BAN≌Rt△BMN(HL)，
∴ AN=MN。
∵ B，M，D三点在一条直线上，∠NDM=45°，
∴ △NDM是等腰直角三角形，
∴ DN=√2 MN，
∴ DN=√2 AN。
② 解：
∵ N为AD的中点，设AN=DN=x，B'C=y，
则DC=AD=2x，NM=x，B'M=y，DB'=DC - B'C=2x - y，B'N=NM + B'M=x + y。
在Rt△NDB'中，由勾股定理得：DN² + DB'² = B'N²，
即 $x² + (2x - y)² = (x + y)²$，
展开化简得：$4x² -6xy=0$，即 $y=\frac{2}{3}x$，
∴ DB'=2x - $\frac{2}{3}x$=$\frac{4}{3}x$，
∴ DB' : B'C = $\frac{4}{3}x$ : $\frac{2}{3}x$ = 2。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 四边形BFB'H是菱形，理由见上述解析；
(3) ① 证明见上述解析；② DB' : B'C的值为2；
【知识点】
正方形性质，折叠性质，菱形判定，全等三角形，勾股定理
【点评】
本题是正方形折叠的综合几何题，融合了多个核心几何知识点，需要学生熟练掌握折叠的性质，具备较强的逻辑推理和几何分析能力，是一道区分度较高的中档几何题。
【难度系数】
0.5
本题是正方形折叠的几何综合题，需结合正方形、折叠的性质，利用平行线判定、菱形判定、全等三角形、勾股定理等知识解题。
(1) 要证BM//FB'，需根据正方形的直角和折叠后对应角相等，得出FB'⊥A'B'，BM⊥A'B'，依据“垂直于同一直线的两直线平行”即可证明；
(2) 判断四边形BFB'H的形状，先由折叠得到边和角的关系，结合平行线的内错角相等，推导出四边相等，从而确定四边形为菱形；
(3) ① 当B、M、D共线时，通过联结辅助线，证明三角形全等得到边的关系，再结合等腰直角三角形的性质，推导DN与AN的数量关系；② 当N为AD中点时，设未知数，利用勾股定理建立方程，求解得到DB'与B'C的比值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC=90°。
由折叠的性质，得∠A'B'F=∠ABC=90°，即FB'⊥A'B'。
又
∵ BM⊥A'B'，
∴ BM//FB'。
(2) 解：四边形BFB'H是菱形，理由如下：
由折叠的性质，得∠BFH=∠B'FH，BF=B'F，BH=B'H。
∵ BM//FB'，
∴ ∠BHF=∠B'FH，
∴ ∠BHF=∠BFH，
∴ BH=BF，
∴ BH=BF=B'F=B'H，
∴ 四边形BFB'H是菱形。
(3) ① 证明：
如图，联结BB'，ND，MD。
∵ 四边形BFB'H是菱形，
∴ ∠MBB'=∠CBB'。
在△MBB'和△CBB'中：
$\{\begin{array}{l}∠BMB'=∠CB'B \\∠MBB'=∠CBB' \\BB'=BB'\end{array} $
∴ △MBB'≌△CBB'(AAS)，
∴ MB'=CB'，BM=BC。
∵ BC=BA，
∴ BM=BA。
在Rt△BAN和Rt△BMN中：
$\{\begin{array}{l}BA=BM \\BN=BN\end{array} $
∴ Rt△BAN≌Rt△BMN(HL)，
∴ AN=MN。
∵ B，M，D三点在一条直线上，∠NDM=45°，
∴ △NDM是等腰直角三角形，
∴ DN=√2 MN，
∴ DN=√2 AN。
② 解：
∵ N为AD的中点，设AN=DN=x，B'C=y，
则DC=AD=2x，NM=x，B'M=y，DB'=DC - B'C=2x - y，B'N=NM + B'M=x + y。
在Rt△NDB'中，由勾股定理得：DN² + DB'² = B'N²，
即 $x² + (2x - y)² = (x + y)²$，
展开化简得：$4x² -6xy=0$，即 $y=\frac{2}{3}x$，
∴ DB'=2x - $\frac{2}{3}x$=$\frac{4}{3}x$，
∴ DB' : B'C = $\frac{4}{3}x$ : $\frac{2}{3}x$ = 2。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 四边形BFB'H是菱形，理由见上述解析；
(3) ① 证明见上述解析；② DB' : B'C的值为2；
【知识点】
正方形性质，折叠性质，菱形判定，全等三角形，勾股定理
【点评】
本题是正方形折叠的综合几何题，融合了多个核心几何知识点，需要学生熟练掌握折叠的性质，具备较强的逻辑推理和几何分析能力，是一道区分度较高的中档几何题。
【难度系数】
0.5
