【例2】如图,在△ABC中,AB= AC,D,E分别是AC,AB上的点,且AD= AE,连接BD,CE交于点P,连接AP.求证：AP所在直线垂直平分BC.

证明：∵AB= AC,∠BAD= ∠CAE,AD= AE,∴△BAD≌△CAE(),
∴∠ADB= ∠AEC,∴∠BEC= ∠CDB.
∵AB-AE= AC-AD,∴BE= CD.∵∠BPE= ∠CPD,
∴△BEP≌△CDP(),∴PB= PC,
∴点P在线段BC的垂直平分线上.
又∵AB= AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上,
∴AP所在直线垂直平分BC.

[答案]证明：∵AB= AC,∠BAD= ∠CAE,AD= AE,∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ADB= ∠AEC,∴∠BEC= ∠CDB.
∵AB-AE= AC-AD,∴BE= CD.∵∠BPE= ∠CPD,
∴△BEP≌△CDP(AAS),∴PB= PC,
∴点P在线段BC的垂直平分线上.
又∵AB= AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上,
∴AP所在直线垂直平分BC.

【练2】如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB= AD,CB= CD.求证：AC垂直平分BD.

证明:

练2 证明:∵AB=AD,CB=CD,
∴点A,C在线段BD的垂直平分线上,
∴AC垂直平分BD.