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1. 用三角尺作$△ ABC$的边AB上的高线，下列三角尺的摆放位置正确的是（
B
）答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个选项的三角尺摆放位置是作AB边上的高线，首先回忆三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高线。作AB边上的高线需要满足两个要求：一是高线要经过AB边所对的顶点C，二是高线要与AB边所在直线垂直。用三角尺作垂线的规则是：一条直角边和AB重合，另一条直角边经过点C，据此逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，作△ABC边AB上的高线，需过点C作AB所在直线的垂线：
选项A：三角尺的直角边未与AB重合，且经过的顶点是A，不符合作AB边上高的要求，错误；
选项B：三角尺的一条直角边与AB重合，另一条直角边经过点C，符合作AB边上高的要求，正确；
选项C：三角尺经过的顶点是A，不是AB边所对的顶点C，不符合要求，错误；
选项D：三角尺经过的顶点是B，不是AB边所对的顶点C，不符合要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高线；垂线的作法
【点评】
本题考查三角形高线的识别与作法，属于基础类题目，解题的核心是明确某条边上的高线必须同时满足“过这条边所对的顶点”“与这条边垂直”两个条件。
【难度系数】
0.85
要判断哪个选项的三角尺摆放位置是作AB边上的高线，首先回忆三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高线。作AB边上的高线需要满足两个要求：一是高线要经过AB边所对的顶点C，二是高线要与AB边所在直线垂直。用三角尺作垂线的规则是：一条直角边和AB重合，另一条直角边经过点C，据此逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，作△ABC边AB上的高线，需过点C作AB所在直线的垂线：
选项A：三角尺的直角边未与AB重合，且经过的顶点是A，不符合作AB边上高的要求，错误；
选项B：三角尺的一条直角边与AB重合，另一条直角边经过点C，符合作AB边上高的要求，正确；
选项C：三角尺经过的顶点是A，不是AB边所对的顶点C，不符合要求，错误；
选项D：三角尺经过的顶点是B，不是AB边所对的顶点C，不符合要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高线；垂线的作法
【点评】
本题考查三角形高线的识别与作法，属于基础类题目，解题的核心是明确某条边上的高线必须同时满足“过这条边所对的顶点”“与这条边垂直”两个条件。
【难度系数】
0.85
2. 三角形三条高的交点在三角形的 （
A.内部
B.边上
C.外部
D.以上均有可能
D
）A.内部
B.边上
C.外部
D.以上均有可能
答案
2. D
解析
【分析】
解题时需结合不同类型三角形的高的位置特征分类讨论：首先明确三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，分别推导每类三角形三条高的交点位置，再对应选项判断即可。
【解析】
我们分三类三角形讨论三条高的交点位置：
1. 若为锐角三角形：三条高都在三角形内部，因此三条高的交点在三角形内部，对应选项A的情况；
2. 若为直角三角形：两条直角边本身就是三角形的高，第三条高在三角形内部，三条高的交点就是直角顶点，位于三角形的边上，对应选项B的情况；
3. 若为钝角三角形：钝角所对边上的高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，因此三条高的交点在三角形外部，对应选项C的情况。
综上，三种情况都有可能，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高；三角形按角分类
【点评】
本题考查不同类型三角形高的交点位置，易错点是容易仅考虑锐角三角形的情况而漏选，解题的关键是对三类三角形的高的特征分类梳理，全面考虑所有可能性。
【难度系数】
0.8
解题时需结合不同类型三角形的高的位置特征分类讨论：首先明确三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，分别推导每类三角形三条高的交点位置，再对应选项判断即可。
【解析】
我们分三类三角形讨论三条高的交点位置：
1. 若为锐角三角形：三条高都在三角形内部，因此三条高的交点在三角形内部，对应选项A的情况；
2. 若为直角三角形：两条直角边本身就是三角形的高，第三条高在三角形内部，三条高的交点就是直角顶点，位于三角形的边上，对应选项B的情况；
3. 若为钝角三角形：钝角所对边上的高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，因此三条高的交点在三角形外部，对应选项C的情况。
综上，三种情况都有可能，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高；三角形按角分类
【点评】
本题考查不同类型三角形高的交点位置，易错点是容易仅考虑锐角三角形的情况而漏选，解题的关键是对三类三角形的高的特征分类梳理，全面考虑所有可能性。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$AD ⊥ BC$于点$D$，则图中以$AD$为高的三角形有
6
个.答案
3. 6
解析
【分析】
解题思路：首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该三角形的高。已知AD垂直BC，因此所有以A为顶点、底边在BC所在直线上的三角形，高都为AD。接下来只需数出BC边上共有多少条不同的线段，每条线段对应一个以A为顶点的三角形，即可得到符合条件的三角形个数。计数线段时按顺序数，避免重复或遗漏：4个点共能组成3+2+1=6条线段，对应6个三角形。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
已知$AD ⊥ BC$于点$D$，因此所有以$A$为顶点，且有一条边在直线$BC$上的三角形，$AD$均为其高。
直线$BC$上共有$B、D、E、C$4个点，可组成的线段有：$BD、BE、BC、DE、DC、EC$，共6条，对应$△ ABD、△ ABE、△ ABC、△ ADE、△ ADC、△ AEC$，共6个三角形。
【答案】
6
【知识点】
三角形的高的定义；线段计数
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握三角形高的定义，通过有序计数线段的方式统计三角形个数，能有效避免漏数或重复计数的错误。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该三角形的高。已知AD垂直BC，因此所有以A为顶点、底边在BC所在直线上的三角形，高都为AD。接下来只需数出BC边上共有多少条不同的线段，每条线段对应一个以A为顶点的三角形，即可得到符合条件的三角形个数。计数线段时按顺序数，避免重复或遗漏：4个点共能组成3+2+1=6条线段，对应6个三角形。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
已知$AD ⊥ BC$于点$D$，因此所有以$A$为顶点，且有一条边在直线$BC$上的三角形，$AD$均为其高。
直线$BC$上共有$B、D、E、C$4个点，可组成的线段有：$BD、BE、BC、DE、DC、EC$，共6条，对应$△ ABD、△ ABE、△ ABC、△ ADE、△ ADC、△ AEC$，共6个三角形。
【答案】
6
【知识点】
三角形的高的定义；线段计数
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握三角形高的定义，通过有序计数线段的方式统计三角形个数，能有效避免漏数或重复计数的错误。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AD，AE，AF分别是$△ ABC$的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（
A.$BC=2CD$
B.$∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$
C.$∠ AFB=90°$
D.$S_{△ ABC}=2S_{△ ABE}$
D
）A.$BC=2CD$
B.$∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$
C.$∠ AFB=90°$
D.$S_{△ ABC}=2S_{△ ABE}$
答案
4. D
解析
【分析】
本题需要结合三角形中线、角平分线、高的定义及性质，逐一分析每个选项的正误，最终选出错误的选项。首先回忆三类线段的核心性质：中线连接顶点与对边中点，可等分对边、等分三角形面积；角平分线平分对应内角；高与对边垂直，对应夹角为90°，再逐个验证选项即可。
【解析】
我们根据三角形中线、角平分线、高的性质逐一判断：
1. 对选项A：AD是△ABC的中线，因此D是BC的中点，即$CD=BD=\frac{1}{2}BC$，可得$BC=2CD$，该选项说法正确，不符合题意。
2. 对选项B：AE是△ABC的角平分线，因此AE平分$∠BAC$，即$∠BAE=∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC$，该选项说法正确，不符合题意。
3. 对选项C：AF是△ABC的高，因此$AF⊥BC$，可得$∠AFB=∠AFC=90°$，该选项说法正确，不符合题意。
4. 对选项D：只有三角形的中线能将三角形分为面积相等的两部分，即$S_{△ABC}=2S_{△ABD}$，而AE是角平分线，E不是BC的中点，$BE≠\frac{1}{2}BC$，因此$S_{△ABC}≠2S_{△ABE}$，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题考查三角形三类重要线段的基础性质，核心是区分不同线段的特点，不要混淆中线和角平分线的作用，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题需要结合三角形中线、角平分线、高的定义及性质，逐一分析每个选项的正误，最终选出错误的选项。首先回忆三类线段的核心性质：中线连接顶点与对边中点，可等分对边、等分三角形面积；角平分线平分对应内角；高与对边垂直，对应夹角为90°，再逐个验证选项即可。
【解析】
我们根据三角形中线、角平分线、高的性质逐一判断：
1. 对选项A：AD是△ABC的中线，因此D是BC的中点，即$CD=BD=\frac{1}{2}BC$，可得$BC=2CD$，该选项说法正确，不符合题意。
2. 对选项B：AE是△ABC的角平分线，因此AE平分$∠BAC$，即$∠BAE=∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC$，该选项说法正确，不符合题意。
3. 对选项C：AF是△ABC的高，因此$AF⊥BC$，可得$∠AFB=∠AFC=90°$，该选项说法正确，不符合题意。
4. 对选项D：只有三角形的中线能将三角形分为面积相等的两部分，即$S_{△ABC}=2S_{△ABD}$，而AE是角平分线，E不是BC的中点，$BE≠\frac{1}{2}BC$，因此$S_{△ABC}≠2S_{△ABE}$，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题考查三角形三类重要线段的基础性质，核心是区分不同线段的特点，不要混淆中线和角平分线的作用，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图,若$AB=CD=2\ \mathrm{cm}$, $AE=3\ \mathrm{cm}$, 则$S_{△ AEC}=$
3
$\mathrm{cm}^2$, $CE=$3
$\mathrm{cm}$. 答案
5. 3 3
解析
【分析】
本题可通过灵活运用三角形面积公式求解，思路如下：
1. 求△AEC的面积：观察图形可得CD垂直于AE所在直线，即CD是△AEC中AE边上的高，已知AE和CD的长度，直接代入三角形面积公式即可算出面积。
2. 求CE的长度：得到△AEC的面积后，观察可知AB垂直于CE所在直线，即AB是△AEC中CE边上的高，再次代入面积公式，就能反求出CE的长度。
【解析】
1. 计算$S_{△ AEC}$：
由图中直角标识可知$CD⊥ AD$，因此$CD$是$△ AEC$中$AE$边上的高。
已知$AE=3\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}× AE× CD=\frac{1}{2}×3×2=3\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算$CE$的长度：
由图中直角标识可知$AB⊥ BD$，因此$AB$是$△ AEC$中$CE$边上的高。
将$S_{△ AEC}=3\ \mathrm{cm}^2$，$AB=2\ \mathrm{cm}$代入面积公式：
$3=\frac{1}{2}× CE×2$
解得$CE=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3$；$3$
【知识点】
三角形面积公式，三角形的高的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形面积公式的灵活运用，解题核心是找准不同底边对应的高，掌握这一要点就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
本题可通过灵活运用三角形面积公式求解，思路如下：
1. 求△AEC的面积：观察图形可得CD垂直于AE所在直线，即CD是△AEC中AE边上的高，已知AE和CD的长度，直接代入三角形面积公式即可算出面积。
2. 求CE的长度：得到△AEC的面积后，观察可知AB垂直于CE所在直线，即AB是△AEC中CE边上的高，再次代入面积公式，就能反求出CE的长度。
【解析】
1. 计算$S_{△ AEC}$：
由图中直角标识可知$CD⊥ AD$，因此$CD$是$△ AEC$中$AE$边上的高。
已知$AE=3\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}× AE× CD=\frac{1}{2}×3×2=3\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算$CE$的长度：
由图中直角标识可知$AB⊥ BD$，因此$AB$是$△ AEC$中$CE$边上的高。
将$S_{△ AEC}=3\ \mathrm{cm}^2$，$AB=2\ \mathrm{cm}$代入面积公式：
$3=\frac{1}{2}× CE×2$
解得$CE=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3$；$3$
【知识点】
三角形面积公式，三角形的高的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形面积公式的灵活运用，解题核心是找准不同底边对应的高，掌握这一要点就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=6,BC=8$.
(1)分别画出$AB,BC$边上的高$CD$和$AE$;
(2)若$AE=5$,求$CD$的长.
(1)分别画出$AB,BC$边上的高$CD$和$AE$;
(2)若$AE=5$,求$CD$的长.
答案
6. 解:(1)如图,
中,CD,AE即为所画的高.(2)由(1)知CD,AE分别是AB,BC边上的高.
$\therefore S_{△ ABC} =\dfrac{1}{2}AB· CD =\dfrac{1}{2}BC· AE$.
$\therefore AB· CD = BC· AE$.
$\because AB=6,BC=8,AE=5$,
$\therefore 6CD=8× 5.\ \therefore CD=\dfrac{20}{3}$.
解析
【分析】
(1) 画三角形指定边上的高需依据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线段，该线段就是对应边上的高。画AB边上的高时，过点C向AB所在直线作垂线，垂足为D，CD即为所求；画BC边上的高时，过点A向BC所在直线作垂线，垂足为E，AE即为所求。
(2) 求CD的长度可使用等面积法：同一个三角形的面积是固定的，既可以用AB为底、CD为高计算，也可以用BC为底、AE为高计算，两个面积表达式相等，代入已知数值即可求出CD的长。
【解析】
(1) 按照三角形高的画法作图，所得CD、AE即为AB、BC边上的高，如图所示。
(2) 由三角形面积公式可知：
$S_{△ ABC} =\dfrac{1}{2}AB· CD =\dfrac{1}{2}BC· AE$
等式两边同时乘2得：$AB· CD = BC· AE$
将$AB=6,BC=8,AE=5$代入上式：
$6CD=8× 5$
计算得：$CD=\dfrac{40}{6}=\dfrac{20}{3}$
【答案】
(1) 如图中，CD,AE即为所画的高。
(2) $CD=\dfrac{20}{3}$
【知识点】
三角形高的定义，三角形面积公式，等面积法
【点评】
本题考查三角形高的画法和等面积法的应用，等面积法是求解三角形内高线长度的常用方法，熟练掌握该技巧可大幅提升此类题目的解题效率。
【难度系数】
0.8
(1) 画三角形指定边上的高需依据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线段，该线段就是对应边上的高。画AB边上的高时，过点C向AB所在直线作垂线，垂足为D，CD即为所求；画BC边上的高时，过点A向BC所在直线作垂线，垂足为E，AE即为所求。
(2) 求CD的长度可使用等面积法：同一个三角形的面积是固定的，既可以用AB为底、CD为高计算，也可以用BC为底、AE为高计算，两个面积表达式相等，代入已知数值即可求出CD的长。
【解析】
(1) 按照三角形高的画法作图，所得CD、AE即为AB、BC边上的高，如图所示。
(2) 由三角形面积公式可知：
$S_{△ ABC} =\dfrac{1}{2}AB· CD =\dfrac{1}{2}BC· AE$
等式两边同时乘2得：$AB· CD = BC· AE$
将$AB=6,BC=8,AE=5$代入上式：
$6CD=8× 5$
计算得：$CD=\dfrac{40}{6}=\dfrac{20}{3}$
【答案】
(1) 如图
中，CD,AE即为所画的高。(2) $CD=\dfrac{20}{3}$
【知识点】
三角形高的定义，三角形面积公式，等面积法
【点评】
本题考查三角形高的画法和等面积法的应用，等面积法是求解三角形内高线长度的常用方法，熟练掌握该技巧可大幅提升此类题目的解题效率。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在$△ ABC$中,AD是中线,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F,若$AB=6$,$AC=4$,则$\frac{DE}{DF}$的值为
$\dfrac{2}{3}$
。答案
7. $\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。观察到DE、DF分别是两个小三角形AB、AC边上的高，因此可以通过两个小三角形面积相等建立等式，代入AB和AC的长度即可求出DE与DF的比值。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，即△ABD和△ACD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF$，
∴$\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AC· DF$，化简得$AB· DE=AC· DF$。
将$AB=6$，$AC=4$代入得：$6DE=4DF$，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是利用中线分得的两个三角形面积相等的性质，结合面积公式建立两条高的数量关系，这种面积法是解决此类高的比值问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。观察到DE、DF分别是两个小三角形AB、AC边上的高，因此可以通过两个小三角形面积相等建立等式，代入AB和AC的长度即可求出DE与DF的比值。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，即△ABD和△ACD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF$，
∴$\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AC· DF$，化简得$AB· DE=AC· DF$。
将$AB=6$，$AC=4$代入得：$6DE=4DF$，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是利用中线分得的两个三角形面积相等的性质，结合面积公式建立两条高的数量关系，这种面积法是解决此类高的比值问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
8. (分类讨论)已知AD是$△ ABC$的高，$∠ BAD = 70°$，$∠ CAD = 20°$，求$∠ BAC$的度数.
答案
8. 解:①如图1,
当高AD在$△ ABC$的内部时,$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 70° + 20° = 90°$.
②如图2,
当高AD在$△ ABC$的外部时,$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 70° - 20° = 50°$.
综上所述,$∠ BAC$的度数为$90°$或$50°$.
解析
【分析】
解题时首先要明确：三角形的高位置不唯一，锐角三角形的高都在三角形内部，钝角三角形有2条高在三角形外部。本题仅说明AD是△ABC的高，未明确三角形的形状，因此需要分类讨论：
①当高AD在△ABC内部时，∠BAD和∠CAD都属于∠BAC的组成部分，用两角相加即可求出∠BAC；
②当高AD在△ABC外部时，∠CAD在∠BAD的外侧，∠BAC是两角的差，用∠BAD减去∠CAD即可得到结果，最后汇总两种情况的答案即可。
【解析】
解：①如图1,当高AD在$△ ABC$的内部时,
$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 70° + 20° = 90°$.
②如图2,当高AD在$△ ABC$的外部时,
$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 70° - 20° = 50°$.
综上所述,$∠ BAC$的度数为$90°$或$50°$.
【答案】
$∠ BAC$的度数为$90°$或$50°$
【知识点】
三角形高的性质、分类讨论思想、角的和差计算
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅得出90°这一个结果，解题时要结合三角形高的位置特点，全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确：三角形的高位置不唯一，锐角三角形的高都在三角形内部，钝角三角形有2条高在三角形外部。本题仅说明AD是△ABC的高，未明确三角形的形状，因此需要分类讨论：
①当高AD在△ABC内部时，∠BAD和∠CAD都属于∠BAC的组成部分，用两角相加即可求出∠BAC；
②当高AD在△ABC外部时，∠CAD在∠BAD的外侧，∠BAC是两角的差，用∠BAD减去∠CAD即可得到结果，最后汇总两种情况的答案即可。
【解析】
解：①如图1,
当高AD在$△ ABC$的内部时,$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 70° + 20° = 90°$.
②如图2,
当高AD在$△ ABC$的外部时,$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 70° - 20° = 50°$.
综上所述,$∠ BAC$的度数为$90°$或$50°$.
【答案】
$∠ BAC$的度数为$90°$或$50°$
【知识点】
三角形高的性质、分类讨论思想、角的和差计算
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅得出90°这一个结果，解题时要结合三角形高的位置特点，全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
