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引入 下面是证明三角形的内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.
三角形的内角和定理:三角形的内角和等于$180°$.
已知:如图,$△ ABC$. 求证:$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$.
(方法一)证明:如图,过点$A$作$DE // BC$.
(方法二)证明:如图,过点$C$作$CD // AB$.
三角形的内角和定理:三角形的内角和等于$180°$.
已知:如图,$△ ABC$. 求证:$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$.
(方法一)证明:如图,过点$A$作$DE // BC$.
(方法二)证明:如图,过点$C$作$CD // AB$.
答案
方法一:$\therefore ∠ B = ∠ DAB, ∠ C = ∠ EAC.$
$\because$ 点 $D,A,E$ 在同一条直线上,
$\therefore ∠ DAB + ∠ BAC + ∠ EAC = 180°.$
$\therefore ∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°,$
即三角形的内角和为 $180°.$
(方法二):$\therefore ∠ A = ∠ ACD, ∠ B + ∠ BCD = 180°.$
$\therefore ∠ B + ∠ ACB + ∠ A = 180°,$即三角形的内角和为 $180°.$
$\because$ 点 $D,A,E$ 在同一条直线上,
$\therefore ∠ DAB + ∠ BAC + ∠ EAC = 180°.$
$\therefore ∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°,$
即三角形的内角和为 $180°.$
(方法二):$\therefore ∠ A = ∠ ACD, ∠ B + ∠ BCD = 180°.$
$\therefore ∠ B + ∠ ACB + ∠ A = 180°,$即三角形的内角和为 $180°.$
解析
【分析】
要证明三角形三个内角的和为$180°$，可结合已学的“平角为$180°$”“平行线的同旁内角互补”这两类和为$180°$的结论，通过作平行线将三角形的三个内角进行等量转移，凑成和为$180°$的角即可。本题已经给出辅助线的作法，只需结合平行线的性质完成角的等量代换即可推导得出结论。
【解析】
方法一
过点$A$作$DE // BC$，
$\because DE // BC$，根据两直线平行，内错角相等，
$\therefore ∠B = ∠DAB$，$∠C = ∠EAC$。
$\because$ 点$D,A,E$在同一条直线上，符合平角的定义，
$\therefore ∠DAB + ∠BAC + ∠EAC = 180°$。
通过等量代换，将$∠DAB$替换为$∠B$，$∠EAC$替换为$∠C$，
$\therefore ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°$，即三角形内角和为$180°$。
方法二
过点$C$作$CD // AB$，
$\because CD // AB$，根据两直线平行，内错角相等可得$∠A = ∠ACD$，根据两直线平行，同旁内角互补可得$∠B + ∠BCD = 180°$。
又$\because ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD$，通过等量代换将$∠ACD$替换为$∠A$，
$\therefore ∠B + ∠ACB + ∠A = 180°$，即三角形内角和为$180°$。
【答案】
方法一:$\therefore ∠ B = ∠ DAB, ∠ C = ∠ EAC.$
$\because$ 点 $D,A,E$ 在同一条直线上,
$\therefore ∠ DAB + ∠ BAC + ∠ EAC = 180°.$
$\therefore ∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°,$
即三角形的内角和为 $180°.$
方法二:$\therefore ∠ A = ∠ ACD, ∠ B + ∠ BCD = 180°.$
$\therefore ∠ B + ∠ ACB + ∠ A = 180°,$即三角形的内角和为 $180°.$
【知识点】
平行线的性质、平角的定义、等量代换
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础证明题，核心是利用平行线实现角的等量转化，将分散的三个内角凑成和为$180°$的角，体现了几何证明中常用的转化思想，也是辅助线构造的典型范例，有助于理解几何证明的逻辑思路。
【难度系数】
0.8
要证明三角形三个内角的和为$180°$，可结合已学的“平角为$180°$”“平行线的同旁内角互补”这两类和为$180°$的结论，通过作平行线将三角形的三个内角进行等量转移，凑成和为$180°$的角即可。本题已经给出辅助线的作法，只需结合平行线的性质完成角的等量代换即可推导得出结论。
【解析】
方法一
过点$A$作$DE // BC$，
$\because DE // BC$，根据两直线平行，内错角相等，
$\therefore ∠B = ∠DAB$，$∠C = ∠EAC$。
$\because$ 点$D,A,E$在同一条直线上，符合平角的定义，
$\therefore ∠DAB + ∠BAC + ∠EAC = 180°$。
通过等量代换，将$∠DAB$替换为$∠B$，$∠EAC$替换为$∠C$，
$\therefore ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°$，即三角形内角和为$180°$。
方法二
过点$C$作$CD // AB$，
$\because CD // AB$，根据两直线平行，内错角相等可得$∠A = ∠ACD$，根据两直线平行，同旁内角互补可得$∠B + ∠BCD = 180°$。
又$\because ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD$，通过等量代换将$∠ACD$替换为$∠A$，
$\therefore ∠B + ∠ACB + ∠A = 180°$，即三角形内角和为$180°$。
【答案】
方法一:$\therefore ∠ B = ∠ DAB, ∠ C = ∠ EAC.$
$\because$ 点 $D,A,E$ 在同一条直线上,
$\therefore ∠ DAB + ∠ BAC + ∠ EAC = 180°.$
$\therefore ∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°,$
即三角形的内角和为 $180°.$
方法二:$\therefore ∠ A = ∠ ACD, ∠ B + ∠ BCD = 180°.$
$\therefore ∠ B + ∠ ACB + ∠ A = 180°,$即三角形的内角和为 $180°.$
【知识点】
平行线的性质、平角的定义、等量代换
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础证明题，核心是利用平行线实现角的等量转化，将分散的三个内角凑成和为$180°$的角，体现了几何证明中常用的转化思想，也是辅助线构造的典型范例，有助于理解几何证明的逻辑思路。
【难度系数】
0.8
1.【例1】如图,已知$△ ABC$.
(1)若$∠ A=55°,∠ B=60°$,则$∠ C=$
(2)若$∠ A=∠ C=70°$,则$∠ B=$
(3)若$∠ A=30°$,则$∠ B+∠ C=$
2.(人教八上$\mathrm{P}_{16}$习题$\mathrm{T}_{1}$改编)求出下列各图形中$x$的值.
(1)$x=$
(3)$x=$
(1)若$∠ A=55°,∠ B=60°$,则$∠ C=$
65°
;(2)若$∠ A=∠ C=70°$,则$∠ B=$
40°
;(3)若$∠ A=30°$,则$∠ B+∠ C=$
150°
.2.(人教八上$\mathrm{P}_{16}$习题$\mathrm{T}_{1}$改编)求出下列各图形中$x$的值.
(1)$x=$
35
;(2)$x=$60
;(3)$x=$
45
.答案
1. (1) 65° (2) 40° (3) 150°
2. (1) 35 (2) 60 (3) 45
2. (1) 35 (2) 60 (3) 45
解析
【分析】
这组题目均围绕三角形内角和定理设计，解题核心是牢记三角形三个内角的和等于180°。解题思路为：已知三角形任意两个内角的度数，直接用180°减去这两个角的度数和，即可求出第三个角的度数；已知一个内角的度数，用180°减去已知角的度数，就能得到另外两个内角的度数和；求未知角x时，根据内角和定理列等式计算即可。
【解析】
所有题目均依据三角形内角和为180°计算：
1.
(1) $∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 55° - 60° = 65°$
(2) $∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 70° - 70° = 40°$
(3) $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 30° = 150°$
2. 结合图形给出的另外两个内角度数，代入内角和公式计算：
(1) $x = 180° -$ 另外两个内角和 $= 35$
(2) $x = 180° -$ 另外两个内角和 $= 60$
(3) $x = 180° -$ 另外两个内角和 $= 45$
【答案】
1. (1) $65°$ (2) $40°$ (3) $150°$
2. (1) $35$ (2) $60$ (3) $45$
【知识点】
三角形内角和定理、角度计算
【点评】
本题属于三角形内角和的基础练习题，侧重考查对基础定理的识记与简单应用，计算量小，掌握定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
这组题目均围绕三角形内角和定理设计，解题核心是牢记三角形三个内角的和等于180°。解题思路为：已知三角形任意两个内角的度数，直接用180°减去这两个角的度数和，即可求出第三个角的度数；已知一个内角的度数，用180°减去已知角的度数，就能得到另外两个内角的度数和；求未知角x时，根据内角和定理列等式计算即可。
【解析】
所有题目均依据三角形内角和为180°计算：
1.
(1) $∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 55° - 60° = 65°$
(2) $∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 70° - 70° = 40°$
(3) $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 30° = 150°$
2. 结合图形给出的另外两个内角度数，代入内角和公式计算：
(1) $x = 180° -$ 另外两个内角和 $= 35$
(2) $x = 180° -$ 另外两个内角和 $= 60$
(3) $x = 180° -$ 另外两个内角和 $= 45$
【答案】
1. (1) $65°$ (2) $40°$ (3) $150°$
2. (1) $35$ (2) $60$ (3) $45$
【知识点】
三角形内角和定理、角度计算
【点评】
本题属于三角形内角和的基础练习题，侧重考查对基础定理的识记与简单应用，计算量小，掌握定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3.【例2】如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=80°,∠ B=60°,AD⊥ BC$,垂足为$D$,$AE$平分$∠ DAC$,则$∠ AEC$的度数是多少？
4.如图,已知$AD$是$△ ABC$的角平分线,$CE$是$△ ABC$的高,$AD$与$CE$相交于点$P$,$∠ BAC=66°,∠ BCE=40°$,求$∠ ADC$和$∠ APC$的度数.
4.如图,已知$AD$是$△ ABC$的角平分线,$CE$是$△ ABC$的高,$AD$与$CE$相交于点$P$,$∠ BAC=66°,∠ BCE=40°$,求$∠ ADC$和$∠ APC$的度数.
答案
3. 解:$\because ∠ BAC = 80°, ∠ B = 60°,$
$\therefore ∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 40°.$
$\because AD ⊥ BC,\therefore ∠ ADC = 90°.$
$\therefore ∠ DAC = 180° - ∠ ADC - ∠ C = 50°.$
$\because AE$ 平分$∠ DAC,\therefore ∠ EAC = \frac{1}{2}∠ DAC = 25°.$
$\therefore ∠ AEC = 180° - ∠ EAC - ∠ C = 115°.$
4. 解:$\because CE$ 是$△ ABC$ 的高,$\therefore ∠ BEC = ∠ AEC = 90°.$
$\because$ 在 $△ AEC$ 中,$∠ BAC = 66°,$
$\therefore ∠ ACE = 180° - ∠ AEC - ∠ EAC = 24°.$
又$\because ∠ BCE = 40°,\therefore ∠ ACD = ∠ ACE + ∠ BCE = 64°.$
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线,$∠ BAC = 66°,$
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 33°.$
$\therefore$ 在 $△ ACD$ 中,$∠ ADC = 180° - ∠ CAD - ∠ ACD = 83°.$
$\therefore$ 在 $△ ACP$ 中,$∠ APC = 180° - ∠ CAP - ∠ ACP = 123°.$
$\therefore ∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 40°.$
$\because AD ⊥ BC,\therefore ∠ ADC = 90°.$
$\therefore ∠ DAC = 180° - ∠ ADC - ∠ C = 50°.$
$\because AE$ 平分$∠ DAC,\therefore ∠ EAC = \frac{1}{2}∠ DAC = 25°.$
$\therefore ∠ AEC = 180° - ∠ EAC - ∠ C = 115°.$
4. 解:$\because CE$ 是$△ ABC$ 的高,$\therefore ∠ BEC = ∠ AEC = 90°.$
$\because$ 在 $△ AEC$ 中,$∠ BAC = 66°,$
$\therefore ∠ ACE = 180° - ∠ AEC - ∠ EAC = 24°.$
又$\because ∠ BCE = 40°,\therefore ∠ ACD = ∠ ACE + ∠ BCE = 64°.$
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线,$∠ BAC = 66°,$
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 33°.$
$\therefore$ 在 $△ ACD$ 中,$∠ ADC = 180° - ∠ CAD - ∠ ACD = 83°.$
$\therefore$ 在 $△ ACP$ 中,$∠ APC = 180° - ∠ CAP - ∠ ACP = 123°.$
解析
【分析】
第3题：求解∠AEC的度数可依据三角形内角和定理，需先得到△AEC中∠C和∠EAC的度数。首先利用△ABC的内角和为180°计算出∠C；再由AD⊥BC可得∠ADC=90°，在△ADC中用内角和求出∠DAC；接着根据角平分线的定义得到∠EAC的度数；最后代入△AEC的内角和公式即可算出∠AEC。
第4题：求∠ADC和∠APC的度数仍以三角形内角和为核心推导：①求∠ADC：先由CE是△ABC的高得∠AEC=90°，在△AEC中求出∠ACE，结合已知∠BCE得到∠ACD；再根据AD是角平分线求出∠CAD，最后在△ADC中用内角和计算出∠ADC。②求∠APC：在△APC中，已知∠CAP与∠ACP的度数，直接用三角形内角和即可算出结果。
【解析】
3. 解:$\because ∠ BAC = 80°, ∠ B = 60°,$
$\therefore ∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 40°.$
$\because AD ⊥ BC,\therefore ∠ ADC = 90°.$
$\therefore ∠ DAC = 180° - ∠ ADC - ∠ C = 50°.$
$\because AE$ 平分$∠ DAC,\therefore ∠ EAC = \frac{1}{2}∠ DAC = 25°.$
$\therefore ∠ AEC = 180° - ∠ EAC - ∠ C = 115°.$
4. 解:$\because CE$ 是$△ ABC$ 的高,$\therefore ∠ BEC = ∠ AEC = 90°.$
$\because$ 在 $△ AEC$ 中,$∠ BAC = 66°,$
$\therefore ∠ ACE = 180° - ∠ AEC - ∠ EAC = 24°.$
又$\because ∠ BCE = 40°,\therefore ∠ ACD = ∠ ACE + ∠ BCE = 64°.$
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线,$∠ BAC = 66°,$
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 33°.$
$\therefore$ 在 $△ ACD$ 中,$∠ ADC = 180° - ∠ CAD - ∠ ACD = 83°.$
$\therefore$ 在 $△ ACP$ 中,$∠ APC = 180° - ∠ CAP - ∠ ACP = 123°.$
【答案】
3. $\boldsymbol{∠AEC=115°}$；4. $\boldsymbol{∠ADC=83°}$，$\boldsymbol{∠APC=123°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
这两道题是三角形角度计算的常规基础题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理，结合角平分线、高的性质逐步推导未知角的度数，梳理清楚各角之间的数量关系，保证每一步推导都有几何依据即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
第3题：求解∠AEC的度数可依据三角形内角和定理，需先得到△AEC中∠C和∠EAC的度数。首先利用△ABC的内角和为180°计算出∠C；再由AD⊥BC可得∠ADC=90°，在△ADC中用内角和求出∠DAC；接着根据角平分线的定义得到∠EAC的度数；最后代入△AEC的内角和公式即可算出∠AEC。
第4题：求∠ADC和∠APC的度数仍以三角形内角和为核心推导：①求∠ADC：先由CE是△ABC的高得∠AEC=90°，在△AEC中求出∠ACE，结合已知∠BCE得到∠ACD；再根据AD是角平分线求出∠CAD，最后在△ADC中用内角和计算出∠ADC。②求∠APC：在△APC中，已知∠CAP与∠ACP的度数，直接用三角形内角和即可算出结果。
【解析】
3. 解:$\because ∠ BAC = 80°, ∠ B = 60°,$
$\therefore ∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 40°.$
$\because AD ⊥ BC,\therefore ∠ ADC = 90°.$
$\therefore ∠ DAC = 180° - ∠ ADC - ∠ C = 50°.$
$\because AE$ 平分$∠ DAC,\therefore ∠ EAC = \frac{1}{2}∠ DAC = 25°.$
$\therefore ∠ AEC = 180° - ∠ EAC - ∠ C = 115°.$
4. 解:$\because CE$ 是$△ ABC$ 的高,$\therefore ∠ BEC = ∠ AEC = 90°.$
$\because$ 在 $△ AEC$ 中,$∠ BAC = 66°,$
$\therefore ∠ ACE = 180° - ∠ AEC - ∠ EAC = 24°.$
又$\because ∠ BCE = 40°,\therefore ∠ ACD = ∠ ACE + ∠ BCE = 64°.$
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线,$∠ BAC = 66°,$
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 33°.$
$\therefore$ 在 $△ ACD$ 中,$∠ ADC = 180° - ∠ CAD - ∠ ACD = 83°.$
$\therefore$ 在 $△ ACP$ 中,$∠ APC = 180° - ∠ CAP - ∠ ACP = 123°.$
【答案】
3. $\boldsymbol{∠AEC=115°}$；4. $\boldsymbol{∠ADC=83°}$，$\boldsymbol{∠APC=123°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
这两道题是三角形角度计算的常规基础题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理，结合角平分线、高的性质逐步推导未知角的度数，梳理清楚各角之间的数量关系，保证每一步推导都有几何依据即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
