1. 三角形的高:从三角形的一个向它所对的所在直线画垂线，和之间的线段叫作三角形的高线(简称三角形的高)。

1. 顶点 边 顶点 垂足

【分析】
这道题考查三角形高的基础定义，解题时只需回忆三角形高的概念内容，对应空缺位置依次匹配定义中的要素即可。三角形高的定义核心包含起点、作图对象、线段两个端点三个部分，对应空缺位置就能填出正确内容。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线（简称三角形的高）。因此四个空依次填入对应内容即可。
【答案】
顶点 边 顶点 垂足
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是三角形相关线段知识点的基础考查内容，只要熟练记忆教材中的定义就能准确作答。
【难度系数】
0.9

2.【例1】如图,画出下列三角形所有的高,并填空.

(1)锐角三角形高的交点在三角形部;
(2)直角三角形高的交点在三角形;
(3)钝角三角形高的交点在三角形部.
(填“内”“外”或“上”)

2. 解:如图，画出的所有高见。(1) 内 (2) 上 (3) 外

【分析】
解题时先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。接下来分别对三类三角形作高后观察交点位置：①锐角三角形的三条高都落在三角形内部，可直接观察交点位置；②直角三角形的两条直角边本身互为对边的高，三条高的交点就是直角顶点，判断其位置即可；③钝角三角形的两条锐角对边的高需要作在对边的延长线上，延长三条高找到交点，判断交点位置。
【解析】
首先按照三角形高的定义完成三类三角形的高的绘制：
(1) 锐角三角形的三条高均在三角形内部，因此三条高的交点在三角形内部；
(2) 直角三角形的两条直角边就是对应的高，三条高的交点为直角顶点，位于三角形的边上，因此交点在三角形上；
(3) 钝角三角形有两条高在三角形外部，三条高延长后的交点在三角形外部。
【答案】
如图，画出的所有高见。(1) 内 (2) 上 (3) 外
【知识点】
三角形高的定义、三角形垂心的位置特征
【点评】
本题是三角形高相关的基础概念题，通过作图观察总结三类三角形高的交点位置规律，是三角形相关知识的基础内容，熟练掌握该知识点可为后续三角形面积计算、几何证明等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.9

3. 如图.
(1) 在$△ ABC$中，$BC$边上的高是，$AB$边上的高是；
(2) 在$△ BCE$中，$BE$边上的高是，$EC$边上的高是；
(3) 在$△ ACD$中，$AC$边上的高是，$CD$边上的高是.

3. (1) AF CE (2) CE BE (3) CD AC

【分析】
解题的核心依据是三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是该边上的高。找高的步骤可分为两步：①先确定要找高的对应边，找到这条边所对的三角形顶点；②判断从该顶点向对应边作的垂线段是哪条，该线段即为所求高。另外注意直角三角形的两条直角边互相垂直，互为对方边上的高。
【解析】
根据三角形高的定义逐一判断：
(1) 在$△ ABC$中，BC边的对顶点是A，过A向BC作的垂线段为AF，故BC边上的高是AF；AB边的对顶点是C，过C向AB作的垂线段为CE，故AB边上的高是CE。
(2) 在$△ BCE$中，$∠ BEC=90°$，即$CE⊥ BE$。BE边的对顶点是C，向BE作的垂线段为CE，故BE边上的高是CE；EC边的对顶点是B，向EC作的垂线段为BE，故EC边上的高是BE。
(3) 在$△ ACD$中，$∠ ACD=90°$，即$AC⊥ CD$。AC边的对顶点是D，向AC作的垂线段为CD，故AC边上的高是CD；CD边的对顶点是A，向CD作的垂线段为AC，故CD边上的高是AC。
【答案】
(1) AF；CE (2) CE；BE (3) CD；AC
【知识点】
三角形高的定义、直角三角形高的识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对三角形高的定义的理解和运用，易错点是忽略直角三角形两条直角边互为对边的高，掌握定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.85

4.【例2】如图，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，若BC=7，AD=4，则$S_{△ ABC}=$。

4. 14

【分析】
要计算△ABC的面积，首先回忆三角形的面积计算公式：三角形的面积等于底乘对应高的一半。本题中已经给出底边BC的长度，以及BC边上的高AD的长度，直接将两个数值代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
根据三角形面积公式：$S_{△}=\frac{1}{2}×底×底边上的高$
已知底边$BC=7$，BC边上的高$AD=4$，代入公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×7×4=14$
【答案】
14
【知识点】
三角形面积公式、三角形的高
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形面积公式的应用，解题的关键是准确匹配底边和对应底边上的高，代入数值计算即可，计算难度很低。
【难度系数】
0.9

5. 如图，CD是$△ ABC$的边AB上的高. (1)若$AB = 5$，$CD = 8$，则$S_{△ ABC} =$； (2)若$AB = 5$，$S_{△ ABC} = 15$，则$CD =$.

5. (1) 20 (2) 6

【分析】
解题时首先回忆三角形的面积计算公式：三角形的面积等于底与该底对应高乘积的一半。第(1)问已知底AB的长度和AB边上的高CD的长度，直接代入面积公式正向计算即可；第(2)问已知三角形面积和底AB的长度，将面积公式变形为“高=2×面积÷底”，代入数值逆向求解就能得到CD的长度。
【解析】
(1) 根据三角形面积公式 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 底 × 对应高$，将AB作为底，CD是AB边上的高，代入$AB=5$，$CD=8$得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × 5 × 8 = 20$
(2) 对三角形面积公式变形可得求高的公式：$CD=\frac{2S_{△ ABC}}{AB}$，代入$S_{△ ABC}=15$，$AB=5$得：
$CD=\frac{2 × 15}{5} = 6$
【答案】
(1) 20；(2) 6
【知识点】
三角形面积计算；公式变形求值
【点评】
本题是基础计算题，主要考查三角形面积公式的正向应用与逆向推导，计算时注意不要遗漏面积公式中的$\frac{1}{2}$，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

6.【例3】如图,在$△ ABC$中,$∠ C = 90°,AC = 8$,$BC = 6,AB = 10$.
(1)画出$△ ABC$中$AB$边上的高$CD$;
(2)求$CD$的长.

6. 解:(1)如图,线段CD即为所求，见。
(2)由题意,得 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CD$.
$\therefore \frac{1}{2} × 8 × 6 = \frac{1}{2} × 10 · CD$.
解得 $CD = 4.8$. $\therefore CD$ 的长为 4.8.

【分析】
(1) 要画AB边上的高，根据三角形高的定义，从顶点C向AB边作垂线，垂足记为D，线段CD即为所求的AB边上的高。
(2) 求CD的长度可采用等面积法：直角三角形ABC的面积既可以用两条直角边AC、BC乘积的一半计算，也可以用斜边AB和斜边上的高CD乘积的一半计算，两个面积表达式相等，代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB，垂足为D，线段CD就是△ABC中AB边上的高。
(2) 已知△ABC中∠C=90°，根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CD$
将AC=8，BC=6，AB=10代入上式：
$\frac{1}{2} × 8 × 6 = \frac{1}{2} × 10 · CD$
化简得：$48 = 10CD$
解得：$CD = 4.8$
【答案】
(1)如图,线段CD即为所求，见。
(2)CD的长为4.8。
【知识点】
三角形高的定义、三角形面积计算、等面积法
【点评】
本题是三角形相关的基础题型，重点考查三角形高的作图方法和等面积法的应用，等面积法是几何计算中求解线段长度的常用方法，熟练掌握可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8

7.(人教八上$P_{10}$习题$T_7$改编)如图,AD,CE分别是$△ ABC$的高,$AB=7$,$BC=10$,$CE=8$,求AD的长.

7. 解:$\because AD,CE$分别是$△ ABC$的高,
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CE = \frac{1}{2}BC · AD$.
$\because AB = 7,BC = 10,CE = 8$,
$\therefore \frac{1}{2} × 7 × 8 = \frac{1}{2} × 10AD$. 解得 $AD = 5.6$.

【分析】
本题要求高AD的长度，已知三角形另一组底AB和对应的高CE，以及底BC的长度，我们可以利用“同一个三角形的面积固定，用不同的底和对应高计算的面积相等”的特点，即等面积法，建立关于AD的等式，代入已知数值即可求解AD的长度。
【解析】
解：$\because AD,CE$分别是$△ ABC$的高,
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CE = \frac{1}{2}BC · AD$。
$\because AB = 7,BC = 10,CE = 8$,
$\therefore \frac{1}{2} × 7 × 8 = \frac{1}{2} × 10AD$，
约去等式两边的$\frac{1}{2}$得$56=10AD$，
解得 $AD = 5.6$。
【答案】
AD的长为5.6
【知识点】
三角形的高；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是三角形面积相关的基础题型，核心考查等面积法的应用，解题的关键是理解同一个三角形用不同底和对应高计算得到的面积相等，以此建立等式求解未知线段，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8