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9.【例4】如图,画出下列三角形所有的角平分线. 
答案
解:如图,线段 CE,AF,BD 即为所求.
解析
【分析】
要解决这道作图题，首先要明确三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。每个三角形有3个内角，对应有3条角平分线。解题时我们只需要分别对三个内角作平分线，找到平分线与对边的交点，再连接角的顶点和对应交点，得到的3条线段就是该三角形所有的角平分线，注意三角形的角平分线是线段，不要画成超出三角形的射线。
【解析】
1. 明确三角形角平分线的定义：三角形的角平分线是顶点在三角形的内角顶点上，平分该内角的线段与对边相交，内角顶点与交点的连线就是三角形的角平分线，每个三角形共有3条角平分线。
2. 作∠BAC的角平分线，与BC边交于点F，得到线段AF，即∠A对应的角平分线；
3. 作∠ABC的角平分线，与AC边交于点D，得到线段BD，即∠B对应的角平分线；
4. 作∠ACB的角平分线，与AB边交于点E，得到线段CE，即∠C对应的角平分线。
以上三条线段就是三角形的所有角平分线。
【答案】
解:如图,线段 CE,AF,BD 即为所求.
【知识点】
三角形角平分线的概念，角平分线的画法
【点评】
本题属于基础作图题，核心是区分三角形的角平分线和普通角的平分线：三角形的角平分线是线段，普通角的平分线是射线，作图时需确保线段的两个端点分别为三角形的内角顶点和该角对边上的交点。
【难度系数】
0.8
要解决这道作图题，首先要明确三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。每个三角形有3个内角，对应有3条角平分线。解题时我们只需要分别对三个内角作平分线，找到平分线与对边的交点，再连接角的顶点和对应交点，得到的3条线段就是该三角形所有的角平分线，注意三角形的角平分线是线段，不要画成超出三角形的射线。
【解析】
1. 明确三角形角平分线的定义：三角形的角平分线是顶点在三角形的内角顶点上，平分该内角的线段与对边相交，内角顶点与交点的连线就是三角形的角平分线，每个三角形共有3条角平分线。
2. 作∠BAC的角平分线，与BC边交于点F，得到线段AF，即∠A对应的角平分线；
3. 作∠ABC的角平分线，与AC边交于点D，得到线段BD，即∠B对应的角平分线；
4. 作∠ACB的角平分线，与AB边交于点E，得到线段CE，即∠C对应的角平分线。
以上三条线段就是三角形的所有角平分线。
【答案】
解:如图,线段 CE,AF,BD 即为所求.
【知识点】
三角形角平分线的概念，角平分线的画法
【点评】
本题属于基础作图题，核心是区分三角形的角平分线和普通角的平分线：三角形的角平分线是线段，普通角的平分线是射线，作图时需确保线段的两个端点分别为三角形的内角顶点和该角对边上的交点。
【难度系数】
0.8
10. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则 ∠1= ∠
2
，∠3= $\frac{1}{2}$∠ABC
，∠ACB=2∠ACF
=2∠BCF
。答案
10. 2 ABC ACF BCF
解析
【分析】
解题思路：解决本题的核心是牢记三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，角平分线会把对应内角分成两个大小相等的小角，即小角等于原角的$\frac{1}{2}$，原角等于小角的2倍。
步骤1：对应第一个空：AD是∠BAC的角平分线，它将∠BAC分成两个相等的角∠1和∠2，因此∠1=∠2；
步骤2：对应第二个空：BE是∠ABC的角平分线，它将∠ABC分成两个相等的小角，∠3是其中一个小角，因此$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ABC$；
步骤3：对应后两个空：CF是∠ACB的角平分线，它将∠ACB分成两个相等的小角∠ACF和∠BCF，因此$∠ ACB=2∠ ACF=2∠ BCF$。
【解析】
根据三角形角平分线的定义逐一推导：
1. 因为AD是△ABC中∠BAC的角平分线，所以AD平分∠BAC，可得$\boldsymbol{∠1=∠2}$；
2. 因为BE是△ABC中∠ABC的角平分线，所以BE平分∠ABC，可得$\boldsymbol{∠3=\frac{1}{2}∠ABC}$；
3. 因为CF是△ABC中∠ACB的角平分线，所以CF平分∠ACB，可得$\boldsymbol{∠ACB=2∠ACF=2∠BCF}$。
【答案】
2；ABC；ACF；BCF
【知识点】
角平分线定义；三角形的角平分线；角的倍分运算
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对三角形角平分线定义的理解和应用，只要掌握角平分线将原角分为两个相等小角的核心特点，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路：解决本题的核心是牢记三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，角平分线会把对应内角分成两个大小相等的小角，即小角等于原角的$\frac{1}{2}$，原角等于小角的2倍。
步骤1：对应第一个空：AD是∠BAC的角平分线，它将∠BAC分成两个相等的角∠1和∠2，因此∠1=∠2；
步骤2：对应第二个空：BE是∠ABC的角平分线，它将∠ABC分成两个相等的小角，∠3是其中一个小角，因此$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ABC$；
步骤3：对应后两个空：CF是∠ACB的角平分线，它将∠ACB分成两个相等的小角∠ACF和∠BCF，因此$∠ ACB=2∠ ACF=2∠ BCF$。
【解析】
根据三角形角平分线的定义逐一推导：
1. 因为AD是△ABC中∠BAC的角平分线，所以AD平分∠BAC，可得$\boldsymbol{∠1=∠2}$；
2. 因为BE是△ABC中∠ABC的角平分线，所以BE平分∠ABC，可得$\boldsymbol{∠3=\frac{1}{2}∠ABC}$；
3. 因为CF是△ABC中∠ACB的角平分线，所以CF平分∠ACB，可得$\boldsymbol{∠ACB=2∠ACF=2∠BCF}$。
【答案】
2；ABC；ACF；BCF
【知识点】
角平分线定义；三角形的角平分线；角的倍分运算
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对三角形角平分线定义的理解和应用，只要掌握角平分线将原角分为两个相等小角的核心特点，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
1. 如图，AE是△ABC的中线，已知EC=8，DE=3，则BD=
5
。答案
1. 5
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，因此中线会平分对边。已知AE是△ABC的中线，可得点E是BC的中点，所以BE的长度等于EC的长度，已知EC=8，就能得到BE的长度，再观察线段BD、BE、DE的位置关系，BD=BE-DE，代入已知DE的长度即可算出结果。
【解析】
解：
∵AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点，即BE=EC，
∵EC=8，
∴BE=8，
又
∵DE=3，
∴BD=BE-DE=8-3=5。
【答案】
5
【知识点】
三角形中线的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角形中线性质的理解和简单的线段和差运算，掌握三角形中线平分对边的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，因此中线会平分对边。已知AE是△ABC的中线，可得点E是BC的中点，所以BE的长度等于EC的长度，已知EC=8，就能得到BE的长度，再观察线段BD、BE、DE的位置关系，BD=BE-DE，代入已知DE的长度即可算出结果。
【解析】
解：
∵AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点，即BE=EC，
∵EC=8，
∴BE=8，
又
∵DE=3，
∴BD=BE-DE=8-3=5。
【答案】
5
【知识点】
三角形中线的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角形中线性质的理解和简单的线段和差运算，掌握三角形中线平分对边的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2.如图，AD为$△ ABC$的角平分线，$DE// AB$交AC于点E.若$∠ BAC = 100°$，则$∠ ADE =$
50
°.答案
2. 50
解析
【分析】
解题时可按两步推导：第一步，利用角平分线的定义求出∠BAD的度数，已知AD是△ABC的角平分线，会将∠BAC分成两个相等的角，结合∠BAC的度数即可算出∠BAD；第二步，根据平行线的性质求解∠ADE，DE平行于AB，∠ADE和∠BAD是一组内错角，两直线平行内错角相等，即可得到∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=100°，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$，
∵$DE// AB$，
∴$∠ ADE=∠ BAD$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ ADE=50°$。
【答案】
50
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，考查角平分线定义和平行线性质的综合应用，解题逻辑清晰，只要熟记相关性质即可顺利推导求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按两步推导：第一步，利用角平分线的定义求出∠BAD的度数，已知AD是△ABC的角平分线，会将∠BAC分成两个相等的角，结合∠BAC的度数即可算出∠BAD；第二步，根据平行线的性质求解∠ADE，DE平行于AB，∠ADE和∠BAD是一组内错角，两直线平行内错角相等，即可得到∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=100°，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$，
∵$DE// AB$，
∴$∠ ADE=∠ BAD$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ ADE=50°$。
【答案】
50
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，考查角平分线定义和平行线性质的综合应用，解题逻辑清晰，只要熟记相关性质即可顺利推导求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，CE，CF分别是$△ ABC$的角平分线和中线，则下列各式中错误的是（
A.$AB=2BF$
B.$∠ ACE=\dfrac{1}{2}∠ ACB$
C.$S_{△ BFC}=S_{△ EFC}+S_{△ ACE}$
D.$AE=BE$
D
）A.$AB=2BF$
B.$∠ ACE=\dfrac{1}{2}∠ ACB$
C.$S_{△ BFC}=S_{△ EFC}+S_{△ ACE}$
D.$AE=BE$
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合三角形中线和角平分线的定义及性质，逐一判断每个选项的正误：首先回忆两个核心概念：1.三角形的中线：连接三角形顶点和对边中点的线段，中线平分对边，且将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）；2.三角形的角平分线：将三角形的一个内角平分为两个相等的角的线段。再结合选项依次验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：已知CF是△ABC的中线，说明F是AB的中点，因此$AB=2BF$，A选项表述正确。
2. 分析选项B：已知CE是△ABC的角平分线，说明CE平分$∠ ACB$，因此$∠ ACE=∠ BCE=\dfrac{1}{2}∠ ACB$，B选项表述正确。
3. 分析选项C：因为CF是△ABC的中线，中线分三角形为两个面积相等的部分，因此$S_{△ BFC}=S_{△ AFC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}$；又因为△AFC的面积可拆分为△EFC和△ACE的面积之和，即$S_{△ AFC}=S_{△ EFC}+S_{△ ACE}$，因此$S_{△ BFC}=S_{△ EFC}+S_{△ ACE}$，C选项表述正确。
4. 分析选项D：CE是角平分线，仅能说明它平分$∠ ACB$，只有当△ABC是等腰三角形（$AC=BC$）时，CE才同时是AB边上的中线，才有$AE=BE$，题目未给出△ABC为等腰三角形的条件，因此AE不一定等于BE，D选项表述错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确区分三角形中线和角平分线的性质，不要混淆二者的功能，注意“三线合一”的性质仅在等腰三角形中成立，不可随意套用在普通三角形中。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要结合三角形中线和角平分线的定义及性质，逐一判断每个选项的正误：首先回忆两个核心概念：1.三角形的中线：连接三角形顶点和对边中点的线段，中线平分对边，且将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）；2.三角形的角平分线：将三角形的一个内角平分为两个相等的角的线段。再结合选项依次验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：已知CF是△ABC的中线，说明F是AB的中点，因此$AB=2BF$，A选项表述正确。
2. 分析选项B：已知CE是△ABC的角平分线，说明CE平分$∠ ACB$，因此$∠ ACE=∠ BCE=\dfrac{1}{2}∠ ACB$，B选项表述正确。
3. 分析选项C：因为CF是△ABC的中线，中线分三角形为两个面积相等的部分，因此$S_{△ BFC}=S_{△ AFC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}$；又因为△AFC的面积可拆分为△EFC和△ACE的面积之和，即$S_{△ AFC}=S_{△ EFC}+S_{△ ACE}$，因此$S_{△ BFC}=S_{△ EFC}+S_{△ ACE}$，C选项表述正确。
4. 分析选项D：CE是角平分线，仅能说明它平分$∠ ACB$，只有当△ABC是等腰三角形（$AC=BC$）时，CE才同时是AB边上的中线，才有$AE=BE$，题目未给出△ABC为等腰三角形的条件，因此AE不一定等于BE，D选项表述错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确区分三角形中线和角平分线的性质，不要混淆二者的功能，注意“三线合一”的性质仅在等腰三角形中成立，不可随意套用在普通三角形中。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在△ABC中,AE是∠BAD的平分线,AF是∠CAD的平分线,若∠BAC=88°,则∠1 + ∠2的度数是
44°
.答案
4. 44°
解析
【分析】
解题时先明确角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个大小相等的角。首先根据AE是∠BAD的平分线，可得∠1等于∠BAD的一半；再根据AF是∠CAD的平分线，可得∠2等于∠CAD的一半。将∠1和∠2相加后，可发现∠BAD与∠CAD的和就是已知的∠BAC，代入已知角度即可求出结果，无需单独计算∠1、∠2的度数，用整体思想计算更简便。
【解析】
解：
∵ AE平分∠BAD，
∴ $∠ 1 = \frac{1}{2}∠ BAD$，
∵ AF平分∠CAD，
∴ $∠ 2 = \frac{1}{2}∠ CAD$，
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}∠ BAD + \frac{1}{2}∠ CAD = \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ CAD)$，
又
∵ $∠ BAD + ∠ CAD = ∠ BAC = 88°$，
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2} × 88° = 44°$。
【答案】
44°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用角平分线的性质将所求角的和转化为已知角的一半，借助整体代入的思想即可快速求解，避免了不必要的分步计算。
【难度系数】
0.8
解题时先明确角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个大小相等的角。首先根据AE是∠BAD的平分线，可得∠1等于∠BAD的一半；再根据AF是∠CAD的平分线，可得∠2等于∠CAD的一半。将∠1和∠2相加后，可发现∠BAD与∠CAD的和就是已知的∠BAC，代入已知角度即可求出结果，无需单独计算∠1、∠2的度数，用整体思想计算更简便。
【解析】
解：
∵ AE平分∠BAD，
∴ $∠ 1 = \frac{1}{2}∠ BAD$，
∵ AF平分∠CAD，
∴ $∠ 2 = \frac{1}{2}∠ CAD$，
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}∠ BAD + \frac{1}{2}∠ CAD = \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ CAD)$，
又
∵ $∠ BAD + ∠ CAD = ∠ BAC = 88°$，
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2} × 88° = 44°$。
【答案】
44°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用角平分线的性质将所求角的和转化为已知角的一半，借助整体代入的思想即可快速求解，避免了不必要的分步计算。
【难度系数】
0.8
5. 如图, 在$△ ABC$中, $AD$是边$BC$上的中线, $△ ABD$的周长比$△ ADC$的周长多3,$AB$与$AC$的和为13,则$AB$的长为
8
.答案
5. 8
解析
【分析】
解题时首先结合三角形中线的性质，可知中线将BC分为相等的两段，即BD=CD。再分别写出△ABD和△ADC的周长表达式，对比两个周长可以发现，AD是公共边，BD和CD长度相等，两者的周长差实际就是AB与AC的长度差。最后结合已知的AB与AC的和，通过和差关系即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
△ABD的周长为：$AB+BD+AD$
△ADC的周长为：$AC+CD+AD$
由题意得△ABD的周长比△ADC的周长多3，因此：
$(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=3$
化简后可得：$AB-AC=3$ ①
又已知$AB+AC=13$ ②
将①+②得：$2AB=16$
解得：$AB=8$
【答案】
8
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算，和差问题求解
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是利用中线的性质消去周长中的相等线段，将周长差直接转化为AB和AC的边长差，简化计算过程，主要考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合三角形中线的性质，可知中线将BC分为相等的两段，即BD=CD。再分别写出△ABD和△ADC的周长表达式，对比两个周长可以发现，AD是公共边，BD和CD长度相等，两者的周长差实际就是AB与AC的长度差。最后结合已知的AB与AC的和，通过和差关系即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
△ABD的周长为：$AB+BD+AD$
△ADC的周长为：$AC+CD+AD$
由题意得△ABD的周长比△ADC的周长多3，因此：
$(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=3$
化简后可得：$AB-AC=3$ ①
又已知$AB+AC=13$ ②
将①+②得：$2AB=16$
解得：$AB=8$
【答案】
8
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算，和差问题求解
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是利用中线的性质消去周长中的相等线段，将周长差直接转化为AB和AC的边长差，简化计算过程，主要考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,已知点$D,E,F$分别为$BC,AD,CE$的中点,且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$,则阴影部分的面积为
1
$\mathrm{cm}^2$.答案
6. 1
解析
【分析】
解题时需利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分为两个等底同高、面积相等的三角形。我们可以逐步根据各中点的条件，推导相关三角形的面积关系：首先由D是BC中点，得到△ABD和△ACD的面积都是△ABC的一半；再由E是AD中点，算出△BCE的面积；最后由F是CE中点，得到阴影部分面积是△BCE的一半，即可求解。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，$ S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2 $。
∵点E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$ S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2 $，$ S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2 $，
∴$ S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2 $。
∵点F是CE的中点，
∴BF是△BCE的中线，
∴$ S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的利用三角形中线性质求解面积的题目，解题的关键是理解中线平分三角形面积的原理，逐步推导各部分面积的比例关系，整体逻辑清晰，没有复杂计算。
【难度系数】
0.7
解题时需利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分为两个等底同高、面积相等的三角形。我们可以逐步根据各中点的条件，推导相关三角形的面积关系：首先由D是BC中点，得到△ABD和△ACD的面积都是△ABC的一半；再由E是AD中点，算出△BCE的面积；最后由F是CE中点，得到阴影部分面积是△BCE的一半，即可求解。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，$ S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2 $。
∵点E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$ S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2 $，$ S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2 $，
∴$ S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2 $。
∵点F是CE的中点，
∴BF是△BCE的中线，
∴$ S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的利用三角形中线性质求解面积的题目，解题的关键是理解中线平分三角形面积的原理，逐步推导各部分面积的比例关系，整体逻辑清晰，没有复杂计算。
【难度系数】
0.7
7. (分类讨论)如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,BD为$△ ABC$的中线,且BD将$△ ABC$的周长分为12 cm和15 cm两部分,求它的底边长.
答案
7. 解:设 $AB = AC = x\ \mathrm{cm}$,则 $AD = CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$.
分两种情况讨论:
(1)若 $AB + AD = 12\ \mathrm{cm}$,则 $x + \frac{1}{2}x = 12$. 解得 $x = 8$.
$\therefore CD = \frac{1}{2}x = 4$.
$\therefore BC = 15 - 4 = 11(\mathrm{cm})$. 此时三角形三边为 $8\ \mathrm{cm},8\ \mathrm{cm},11\ \mathrm{cm}$,三角形存在.
(2)若 $AB + AD = 15\ \mathrm{cm}$,则 $x + \frac{1}{2}x = 15$. 解得 $x = 10$.
$\therefore CD = \frac{1}{2}x = 5$.
$\therefore BC = 12 - 5 = 7(\mathrm{cm})$. 此时三角形三边为 $10\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},7\ \mathrm{cm}$,三角形存在.
综上所述,$△ ABC$ 的底边长为 $11\ \mathrm{cm}$ 或 $7\ \mathrm{cm}$.
分两种情况讨论:
(1)若 $AB + AD = 12\ \mathrm{cm}$,则 $x + \frac{1}{2}x = 12$. 解得 $x = 8$.
$\therefore CD = \frac{1}{2}x = 4$.
$\therefore BC = 15 - 4 = 11(\mathrm{cm})$. 此时三角形三边为 $8\ \mathrm{cm},8\ \mathrm{cm},11\ \mathrm{cm}$,三角形存在.
(2)若 $AB + AD = 15\ \mathrm{cm}$,则 $x + \frac{1}{2}x = 15$. 解得 $x = 10$.
$\therefore CD = \frac{1}{2}x = 5$.
$\therefore BC = 12 - 5 = 7(\mathrm{cm})$. 此时三角形三边为 $10\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},7\ \mathrm{cm}$,三角形存在.
综上所述,$△ ABC$ 的底边长为 $11\ \mathrm{cm}$ 或 $7\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
本题是等腰三角形结合中线的周长计算问题，解题思路如下：1. 首先明确BD是三角形的中线，因此AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，已知AB=AC，可设腰长为$x$ cm，用含$x$的式子表示AD、CD的长度；2. 题中仅说明周长被分为12 cm和15 cm两部分，未明确哪部分对应AB+AD的和，因此需要分两种情况分类讨论；3. 每种情况解出腰长后计算对应底边长，最后要验证三边长是否满足三角形三边关系，排除无法构成三角形的情况，得到最终结果。
【解析】
设 $AB = AC = x\ \mathrm{cm}$，
∵BD为$△ ABC$的中线，
∴$AD = CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
(1)若 $AB + AD = 12\ \mathrm{cm}$，则 $x + \frac{1}{2}x = 12$，
解得 $x = 8$，
∴$CD = \frac{1}{2}x = 4\ \mathrm{cm}$，
∴$BC = 15 - 4 = 11(\mathrm{cm})$，
此时三角形三边为 $8\ \mathrm{cm},8\ \mathrm{cm},11\ \mathrm{cm}$，满足$8+8＞11$，可构成三角形；
(2)若 $AB + AD = 15\ \mathrm{cm}$，则 $x + \frac{1}{2}x = 15$，
解得 $x = 10$，
∴$CD = \frac{1}{2}x = 5\ \mathrm{cm}$，
∴$BC = 12 - 5 = 7(\mathrm{cm})$，
此时三角形三边为 $10\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},7\ \mathrm{cm}$，满足$10+7＞10$，可构成三角形。
【答案】
$△ ABC$的底边长为$11\ \mathrm{cm}$或$7\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中线的定义，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的典型题型，解题有两个易错点：一是忽略分类讨论，漏掉其中一种情况；二是求出边长后未验证是否满足三角形三边关系，导致出现错解，解题时要注意在分类讨论后验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形结合中线的周长计算问题，解题思路如下：1. 首先明确BD是三角形的中线，因此AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，已知AB=AC，可设腰长为$x$ cm，用含$x$的式子表示AD、CD的长度；2. 题中仅说明周长被分为12 cm和15 cm两部分，未明确哪部分对应AB+AD的和，因此需要分两种情况分类讨论；3. 每种情况解出腰长后计算对应底边长，最后要验证三边长是否满足三角形三边关系，排除无法构成三角形的情况，得到最终结果。
【解析】
设 $AB = AC = x\ \mathrm{cm}$，
∵BD为$△ ABC$的中线，
∴$AD = CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
(1)若 $AB + AD = 12\ \mathrm{cm}$，则 $x + \frac{1}{2}x = 12$，
解得 $x = 8$，
∴$CD = \frac{1}{2}x = 4\ \mathrm{cm}$，
∴$BC = 15 - 4 = 11(\mathrm{cm})$，
此时三角形三边为 $8\ \mathrm{cm},8\ \mathrm{cm},11\ \mathrm{cm}$，满足$8+8＞11$，可构成三角形；
(2)若 $AB + AD = 15\ \mathrm{cm}$，则 $x + \frac{1}{2}x = 15$，
解得 $x = 10$，
∴$CD = \frac{1}{2}x = 5\ \mathrm{cm}$，
∴$BC = 12 - 5 = 7(\mathrm{cm})$，
此时三角形三边为 $10\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},7\ \mathrm{cm}$，满足$10+7＞10$，可构成三角形。
【答案】
$△ ABC$的底边长为$11\ \mathrm{cm}$或$7\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中线的定义，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的典型题型，解题有两个易错点：一是忽略分类讨论，漏掉其中一种情况；二是求出边长后未验证是否满足三角形三边关系，导致出现错解，解题时要注意在分类讨论后验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
