1. 等腰三角形的判定:有两个角的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).
几何语言:如图,∵ ∠B = ∠C,∴ .

1. 相等 AC = AB

【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的判定定理内容，明确“等角对等边”的含义：第一步，先明确判定定理的核心条件是两个角相等，对应结论是该三角形为等腰三角形、相等的角对应的边相等；第二步，确定三角形中角和对边的对应关系，∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，结合等角对等边的规则，即可推出对应的边的等量关系。
【解析】
1. 等腰三角形的判定定理明确规定：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”，因此第一个空填“相等”。
2. 几何语言推导：在△ABC中，∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，根据“等角对等边”的判定规则，当∠B=∠C时，两个角对应的对边相等，因此可得AC=AB。
【答案】
相等；AC = AB
【知识点】
等腰三角形的判定；等角对等边
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础识记类题目，主要考查对判定定理内容的掌握和几何语言的规范运用，解题的关键是明确三角形中角与对应边的对应关系，避免出现边角匹配错误。
【难度系数】
0.9

2.【例1】如图,在$△ ABC$中,$∠ A = 40°$, $∠ B = 70°$. 求证:$AB = AC$.

2. 证明:
∵ ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (40° + 70°) = 70°,
∴ ∠C = ∠B.
∴ AB = AC.

【分析】
要证明AB=AC，可结合等腰三角形“等角对等边”的判定定理思考，只需先证明△ABC中∠B与∠C相等即可。已知∠A和∠B的度数，我们可以先利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数，再对比∠B和∠C的度数，即可推导出最终结论。
【解析】
证明：
∵ 三角形内角和为180°，
∴ ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (40° + 70°) = 70°，
∴ ∠C = ∠B，
根据等角对等边的判定定理，可得AB = AC。
【答案】
证明:
∵ ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (40° + 70°) = 70°,
∴ ∠C = ∠B.
∴ AB = AC.
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是利用三角形内角和求出未知角，再结合等腰三角形的判定定理得到边的等量关系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.9

3. 如图,点D在△ABC的边BC上,∠ADB = 60°,∠C = 30°.求证:△ADC是等腰三角形.

3. 证明:
∵ ∠ADB = 60°, ∠C = 30°,
∴ ∠DAC = ∠ADB - ∠C = 60° - 30° = 30°.
∴ ∠C = ∠DAC.
∴ AD = DC.
∴ △ADC 是等腰三角形.

【分析】
首先明确求证目标为证明△ADC是等腰三角形，回忆等腰三角形的判定规则：等角对等边，因此只需证明△ADC中有两个内角相等即可。观察图形可知∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ADB=∠C+∠DAC，代入已知的∠ADB、∠C的度数即可求出∠DAC的度数，对比∠C的度数确认相等后，即可推出对应边相等，完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠ADB = 60°, ∠C = 30°,
∴ ∠DAC = ∠ADB - ∠C = 60° - 30° = 30°,
∴ ∠C = ∠DAC,
∴ AD = DC,
∴ △ADC 是等腰三角形。
【答案】
证明:
∵ ∠ADB = 60°, ∠C = 30°,
∴ ∠DAC = ∠ADB - ∠C = 60° - 30° = 30°.
∴ ∠C = ∠DAC.
∴ AD = DC.
∴ △ADC 是等腰三角形.
【知识点】
三角形外角性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质和等腰三角形的判定方法，通过角的数量关系推导得到等角，进而完成证明，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.85

4.【例2】如图，CE是△ABC的角平分线，EF//BC交AC于点F. 求证：△FEC是等腰三角形.
5.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O. 求证：△OBC是等腰三角形.

4. 证明:
∵ CE 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠FCE = ∠BCE.
∵ EF//BC,
∴ ∠FEC = ∠BCE.
∴ ∠FCE = ∠FEC.
∴ FE = FC.
∴ △FEC 是等腰三角形.
5. 证明:在 Rt△ABC 与 Rt△DCB 中, $\begin{cases} AC = DB, \\ BC = CB, \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△DCB( HL ).
∴ ∠ACB = ∠DBC.
∴ OB = OC.
∴ △OBC 是等腰三角形.

【分析】
1. 第4题：要判定△FEC是等腰三角形，依据“等角对等边”的判定定理，只需证明三角形中有两个内角相等即可。结合已知的角平分线条件可得到一组等角，再利用平行线的内错角相等性质得到第二组等角，通过等量代换即可得到△FEC的两个内角相等，完成证明。
2. 第5题：要判定△OBC是等腰三角形，同样需先证明其两个底角相等。观察待证的两个角分别在两个直角三角形中，已知两个直角三角形的斜边公共，一组直角边相等，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到等角，进而推导得到等腰三角形。
【解析】
4. 证明:
∵ CE 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠FCE = ∠BCE.
∵ EF//BC,
∴ ∠FEC = ∠BCE.
∴ ∠FCE = ∠FEC.
∴ FE = FC.
∴ △FEC 是等腰三角形.
5. 证明:在 Rt△ABC 与 Rt△DCB 中,
$\begin{cases} AC = DB, \\ BC = CB, \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△DCB( HL ).
∴ ∠ACB = ∠DBC.
∴ OB = OC.
∴ △OBC 是等腰三角形.
【答案】
4. △FEC是等腰三角形；
5. △OBC是等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的判定、平行线的性质、直角三角形全等判定
【点评】
这两道题是等腰三角形判定的常规基础题，解题核心是通过已知条件推导待证三角形的内角相等，进而利用等角对等边完成判定，解题过程中需注意结合角平分线、平行线、全等三角形的性质寻找等角关系。
【难度系数】
0.8

6.【例3】如图，已知底边a及底边上的高b，求作等腰三角形.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

6. 解:如图所示,△ABC 即为所作.

【分析】
要作底边为a、底边上的高为b的等腰三角形，可结合等腰三角形的性质推导作图思路：等腰三角形底边上的高所在直线是底边的垂直平分线，因此先绘制长度等于a的线段作为底边，再作出底边的垂直平分线确定顶点所在的直线，最后在垂直平分线上截取到的底边距离等于b的点作为等腰三角形的顶点，连接顶点和底边两端点即可得到符合要求的图形。
【解析】
作图逻辑如下（不要求写作法，保留作图痕迹即可）：
1. 作线段AB，使AB的长度等于已知线段a；
2. 用尺规作线段AB的垂直平分线，与AB交于中点D；
3. 在AB的垂直平分线上截取线段DC，使DC=b且DC⊥AB，点C即为等腰三角形的顶点；
4. 连接AC、BC，得到的△ABC就是所求的等腰三角形，作图需保留垂直平分线的画弧痕迹、线段截取痕迹。
【答案】
如图所示，△ABC即为所作。
【知识点】
作已知线段，作垂直平分线，等腰三角形性质
【点评】
本题是基础尺规作图题，结合了等腰三角形的性质与基本作图操作，解题核心是利用等腰三角形底边上的高与底边垂直平分线重合的特点定位顶点，掌握基本尺规作图的操作规范即可顺利完成。
【难度系数】
0.8