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1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A = 50°$,$∠ B = 80°$,则$△ ABC$是 (
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
C
)A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
答案
1. C
解析
【分析】
要判断△ABC的类型，首先需要利用三角形内角和定理求出未知角∠C的度数，再结合各类型三角形的定义，对比三个角的度数特征即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和为180°，已知∠A=50°，∠B=80°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 50° - 80° = 50°$
由此可得$∠ A = ∠ C = 50°$，根据“等角对等边”可知AB=BC，因此△ABC是等腰三角形。
逐一验证其他选项：
A选项：等边三角形三个内角均为60°，不符合特征；
B选项：直角三角形需有一个内角为90°，该三角形最大角仅为80°，不符合特征；
D选项：钝角三角形需有一个内角大于90°，不符合特征。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形判定，三角形分类
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和的应用以及不同类型三角形判定特征的掌握，计算量小，解题思路清晰，熟练掌握相关基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要判断△ABC的类型，首先需要利用三角形内角和定理求出未知角∠C的度数，再结合各类型三角形的定义，对比三个角的度数特征即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和为180°，已知∠A=50°，∠B=80°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 50° - 80° = 50°$
由此可得$∠ A = ∠ C = 50°$，根据“等角对等边”可知AB=BC，因此△ABC是等腰三角形。
逐一验证其他选项：
A选项：等边三角形三个内角均为60°，不符合特征；
B选项：直角三角形需有一个内角为90°，该三角形最大角仅为80°，不符合特征；
D选项：钝角三角形需有一个内角大于90°，不符合特征。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形判定，三角形分类
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和的应用以及不同类型三角形判定特征的掌握，计算量小，解题思路清晰，熟练掌握相关基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.（人教八上$\mathrm{P}_{81}$练习$\mathrm{T}_{1}$改编）如图，$∠ A=36°$，$∠ DBC=36°$，$∠ C=72°$，则：
（1）$∠ 1=$
（2）图中有
（1）$∠ 1=$
72
$°$，$∠ 2=$36
$°$；（2）图中有
3
个等腰三角形，分别是$△ DAB,△ ABC,△ BDC$
。答案
2. (1) 72 36 (2) 3 $△ DAB,△ ABC,△ BDC$
解析
【分析】
要解决本题，首先利用三角形内角和为180°计算未知角的度数：①求∠1时，直接在△BDC中代入已知的∠DBC和∠C的度数计算即可；②求∠2时，先算出△ABC中∠ABC的度数，再用∠ABC减去∠DBC的度数即可。判断等腰三角形时，根据“等角对等边”的判定定理，只要找到三角形中有两个内角相等，即可判定为等腰三角形，逐一排查图中的三角形即可。
【解析】
（1）在△BDC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ 1 = 180° - ∠ DBC - ∠ C = 180° - 36° - 72° = 72°$
在△ABC中，同理可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 36° - 72° = 72°$
则$∠ 2 = ∠ ABC - ∠ DBC = 72° - 36° = 36°$
（2）逐一判断三角形：
①△ABC中，$∠ ABC=∠ C=72°$，根据等角对等边，$AB=AC$，△ABC是等腰三角形；
②△BDC中，$∠ 1=∠ C=72°$，根据等角对等边，$BD=BC$，△BDC是等腰三角形；
③△DAB中，$∠ A=∠ 2=36°$，根据等角对等边，$AD=BD$，△DAB是等腰三角形。
因此共有3个等腰三角形，分别是△DAB、△ABC、△BDC。
【答案】
（1）$72$，$36$；（2）$3$，$△ DAB,△ ABC,△ BDC$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，侧重对三角形基础性质的考查，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理求角度，结合等角对等边的性质判定等腰三角形，计数时要注意不重不漏。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先利用三角形内角和为180°计算未知角的度数：①求∠1时，直接在△BDC中代入已知的∠DBC和∠C的度数计算即可；②求∠2时，先算出△ABC中∠ABC的度数，再用∠ABC减去∠DBC的度数即可。判断等腰三角形时，根据“等角对等边”的判定定理，只要找到三角形中有两个内角相等，即可判定为等腰三角形，逐一排查图中的三角形即可。
【解析】
（1）在△BDC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ 1 = 180° - ∠ DBC - ∠ C = 180° - 36° - 72° = 72°$
在△ABC中，同理可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 36° - 72° = 72°$
则$∠ 2 = ∠ ABC - ∠ DBC = 72° - 36° = 36°$
（2）逐一判断三角形：
①△ABC中，$∠ ABC=∠ C=72°$，根据等角对等边，$AB=AC$，△ABC是等腰三角形；
②△BDC中，$∠ 1=∠ C=72°$，根据等角对等边，$BD=BC$，△BDC是等腰三角形；
③△DAB中，$∠ A=∠ 2=36°$，根据等角对等边，$AD=BD$，△DAB是等腰三角形。
因此共有3个等腰三角形，分别是△DAB、△ABC、△BDC。
【答案】
（1）$72$，$36$；（2）$3$，$△ DAB,△ ABC,△ BDC$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，侧重对三角形基础性质的考查，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理求角度，结合等角对等边的性质判定等腰三角形，计数时要注意不重不漏。
【难度系数】
0.7
3. 下列条件能判定$△ ABC$为等腰三角形的是（
A.$∠ A = 30°, ∠ B = 60°$
B.$∠ A = 40°, ∠ B = 80°$
C.$∠ A = 50°, ∠ B = 65°$
D.$∠ A = 60°, ∠ B = 70°$
C
）A.$∠ A = 30°, ∠ B = 60°$
B.$∠ A = 40°, ∠ B = 80°$
C.$∠ A = 50°, ∠ B = 65°$
D.$∠ A = 60°, ∠ B = 70°$
答案
3. C
解析
【分析】
要判断三角形是否为等腰三角形，可通过验证三角形是否存在两个相等的内角来判定。解题时首先利用三角形内角和为180°的性质，计算每个选项中第三个内角的度数，再检查三个内角中是否有两个相等即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和为180°，依次计算各选项中∠C的度数并验证：
A选项：$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-60°=90°$，三个内角为$30°、60°、90°$，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
B选项：$∠ C=180°-40°-80°=60°$，三个内角为$40°、80°、60°$，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
C选项：$∠ C=180°-50°-65°=65°$，可得$∠ B=∠ C=65°$，存在两个相等的内角，可判定$△ ABC$为等腰三角形；
D选项：$∠ C=180°-60°-70°=50°$，三个内角为$50°、60°、70°$，无相等内角，不能判定为等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是结合三角形内角和定理计算未知内角度数，再根据等腰三角形的判定条件验证即可，解题思路清晰，容易得分。
【难度系数】
0.85
要判断三角形是否为等腰三角形，可通过验证三角形是否存在两个相等的内角来判定。解题时首先利用三角形内角和为180°的性质，计算每个选项中第三个内角的度数，再检查三个内角中是否有两个相等即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和为180°，依次计算各选项中∠C的度数并验证：
A选项：$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-60°=90°$，三个内角为$30°、60°、90°$，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
B选项：$∠ C=180°-40°-80°=60°$，三个内角为$40°、80°、60°$，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
C选项：$∠ C=180°-50°-65°=65°$，可得$∠ B=∠ C=65°$，存在两个相等的内角，可判定$△ ABC$为等腰三角形；
D选项：$∠ C=180°-60°-70°=50°$，三个内角为$50°、60°、70°$，无相等内角，不能判定为等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是结合三角形内角和定理计算未知内角度数，再根据等腰三角形的判定条件验证即可，解题思路清晰，容易得分。
【难度系数】
0.85
4.（人教八上$\mathrm{P}_{84}$习题$\mathrm{T}_{2}$改编）如图，$AD// BC$，$BD$平分$∠ ABC$. 求证：$△ ABD$是等腰三角形.
答案
4. 证明:$\because AD// BC,\therefore ∠ ADB = ∠ DBC.$
$\because BD$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD = ∠ DBC.$
$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB. \therefore AB = AD.$
$\therefore △ ABD$是等腰三角形.
$\because BD$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD = ∠ DBC.$
$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB. \therefore AB = AD.$
$\therefore △ ABD$是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的判定方法，可先证明三角形中有两个角相等，再利用“等角对等边”得到两条边相等即可。首先根据AD//BC的条件，利用平行线的性质得到∠ADB和∠DBC相等；再结合BD平分∠ABC的条件，可得∠ABD和∠DBC相等；通过等量代换就能得到△ABD中∠ABD=∠ADB，进而推出AB=AD，即可证明结论。
【解析】
证明：
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC（角平分线的定义）。
∴ ∠ABD = ∠ADB（等量代换），
∴ AB = AD（等角对等边），
∴ △ABD是等腰三角形。
【答案】
证明:$\because AD// BC,\therefore ∠ ADB = ∠ DBC.$
$\because BD$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD = ∠ DBC.$
$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB. \therefore AB = AD.$
$\therefore △ ABD$是等腰三角形.
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础的几何证明题，核心是通过中间角∠DBC完成等量代换，将平行线、角平分线的性质与等腰三角形的判定结合起来考察，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.9
要证明△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的判定方法，可先证明三角形中有两个角相等，再利用“等角对等边”得到两条边相等即可。首先根据AD//BC的条件，利用平行线的性质得到∠ADB和∠DBC相等；再结合BD平分∠ABC的条件，可得∠ABD和∠DBC相等；通过等量代换就能得到△ABD中∠ABD=∠ADB，进而推出AB=AD，即可证明结论。
【解析】
证明：
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC（角平分线的定义）。
∴ ∠ABD = ∠ADB（等量代换），
∴ AB = AD（等角对等边），
∴ △ABD是等腰三角形。
【答案】
证明:$\because AD// BC,\therefore ∠ ADB = ∠ DBC.$
$\because BD$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD = ∠ DBC.$
$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB. \therefore AB = AD.$
$\therefore △ ABD$是等腰三角形.
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础的几何证明题，核心是通过中间角∠DBC完成等量代换，将平行线、角平分线的性质与等腰三角形的判定结合起来考察，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.9
5. 如图，已知底边及一腰，求作等腰三角形.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
答案
5. 解:如图所示,$△ OAB$即为所作.
解析
【分析】
要作已知腰和底的等腰三角形，首先明确等腰三角形的核心特征是两腰长度相等。第一步先确定底边：作一条线段长度等于已知的底边长，作为等腰三角形的底边；接下来需要确定三角形的第三个顶点，该顶点需要满足到底边两个端点的距离都等于已知腰长，根据圆的性质，到定点距离等于定长的点在以定点为圆心、定长为半径的圆上，因此我们分别以底边的两个端点为圆心、腰长为半径画弧，两弧的交点即为所求顶点；最后将顶点与底边两端点连接，即可得到符合要求的等腰三角形。
【解析】
1. 作线段OA，使OA的长度与已知底边长相等；
2. 分别以点O、点A为圆心，已知腰的长度为半径画弧，两弧交于点B；
3. 依次连接OB、AB，所得△OAB即为所求的等腰三角形，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图所示,$△ OAB$即为所作.
【知识点】
1. 等腰三角形的定义
2. 尺规作图
【点评】
本题是基础的几何作图题型，核心考查对等腰三角形特征的理解以及基本尺规作图的操作能力，掌握等腰三角形两腰相等的性质是解题的关键，也是后续复杂几何作图的基础。
【难度系数】
0.8
要作已知腰和底的等腰三角形，首先明确等腰三角形的核心特征是两腰长度相等。第一步先确定底边：作一条线段长度等于已知的底边长，作为等腰三角形的底边；接下来需要确定三角形的第三个顶点，该顶点需要满足到底边两个端点的距离都等于已知腰长，根据圆的性质，到定点距离等于定长的点在以定点为圆心、定长为半径的圆上，因此我们分别以底边的两个端点为圆心、腰长为半径画弧，两弧的交点即为所求顶点；最后将顶点与底边两端点连接，即可得到符合要求的等腰三角形。
【解析】
1. 作线段OA，使OA的长度与已知底边长相等；
2. 分别以点O、点A为圆心，已知腰的长度为半径画弧，两弧交于点B；
3. 依次连接OB、AB，所得△OAB即为所求的等腰三角形，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图所示,$△ OAB$即为所作.
【知识点】
1. 等腰三角形的定义
2. 尺规作图
【点评】
本题是基础的几何作图题型，核心考查对等腰三角形特征的理解以及基本尺规作图的操作能力，掌握等腰三角形两腰相等的性质是解题的关键，也是后续复杂几何作图的基础。
【难度系数】
0.8
6. (人教八上$P_{81}$练习$T_{2}$改编)如图,将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠,点C,D所对应的点为点$C'$,$D'$,AD交$EC'$于点G.若折叠后$∠ AGC' = 48°$.
(1)求$∠ CEF$的度数;
(2)求证:$△ EFG$是等腰三角形.
(1)求$∠ CEF$的度数;
(2)求证:$△ EFG$是等腰三角形.
答案
6. (1) 解:由题易知,$AD// BC. \therefore ∠ BEG = ∠ AGC' = 48°.$
由折叠的性质,得$∠ CEF = ∠ C'EF.$
$\therefore ∠ CEF = \frac{1}{2} × (180° - 48°) = 66°.$
(2) 证明:由题易知,$AD// BC. \therefore ∠ GFE = ∠ CEF.$
由折叠的性质,得$∠ CEF = ∠ C'EF.$
$\therefore ∠ GFE = ∠ C'EF.$
$\therefore GE = GF$,即$△ EFG$是等腰三角形.
由折叠的性质,得$∠ CEF = ∠ C'EF.$
$\therefore ∠ CEF = \frac{1}{2} × (180° - 48°) = 66°.$
(2) 证明:由题易知,$AD// BC. \therefore ∠ GFE = ∠ CEF.$
由折叠的性质,得$∠ CEF = ∠ C'EF.$
$\therefore ∠ GFE = ∠ C'EF.$
$\therefore GE = GF$,即$△ EFG$是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 求解∠CEF的度数：首先根据长方形对边平行的性质，得到AD//BC，利用平行线的同位角相等，可推出∠BEG与已知∠AGC'相等；再结合折叠前后对应角相等的性质，可知∠CEF=∠C'EF，而∠BEG、∠CEF、∠C'EF三者构成平角和为180°，代入数值计算即可得到∠CEF的度数。
(2) 证明△EFG是等腰三角形：要判定三角形为等腰三角形，只需证明三角形中有两个内角相等即可。依旧利用AD//BC的性质，得到内错角∠GFE=∠CEF，再结合折叠性质得到∠CEF=∠C'EF，通过等量代换得到∠GFE=∠C'EF，根据等角对等边即可得出GE=GF，完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵ 四边形ABCD为长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠BEG = ∠AGC' = 48°，
由折叠的性质可得：∠CEF = ∠C'EF，
又
∵ ∠BEG + ∠CEF + ∠C'EF = 180°，
∴ ∠CEF = $\frac{1}{2}×(180° - 48°) = 66°$。
(2) 证明：
∵ AD//BC，
∴ ∠GFE = ∠CEF，
由折叠的性质可得：∠CEF = ∠C'EF，
∴ ∠GFE = ∠C'EF，
∴ GE = GF，即△EFG是等腰三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{66°}$；
(2) △EFG是等腰三角形，证明成立。
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题结合折叠场景考查基础几何知识，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特性，结合平行线的角的关系完成角的等量代换，属于几何基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠CEF的度数：首先根据长方形对边平行的性质，得到AD//BC，利用平行线的同位角相等，可推出∠BEG与已知∠AGC'相等；再结合折叠前后对应角相等的性质，可知∠CEF=∠C'EF，而∠BEG、∠CEF、∠C'EF三者构成平角和为180°，代入数值计算即可得到∠CEF的度数。
(2) 证明△EFG是等腰三角形：要判定三角形为等腰三角形，只需证明三角形中有两个内角相等即可。依旧利用AD//BC的性质，得到内错角∠GFE=∠CEF，再结合折叠性质得到∠CEF=∠C'EF，通过等量代换得到∠GFE=∠C'EF，根据等角对等边即可得出GE=GF，完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵ 四边形ABCD为长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠BEG = ∠AGC' = 48°，
由折叠的性质可得：∠CEF = ∠C'EF，
又
∵ ∠BEG + ∠CEF + ∠C'EF = 180°，
∴ ∠CEF = $\frac{1}{2}×(180° - 48°) = 66°$。
(2) 证明：
∵ AD//BC，
∴ ∠GFE = ∠CEF，
由折叠的性质可得：∠CEF = ∠C'EF，
∴ ∠GFE = ∠C'EF，
∴ GE = GF，即△EFG是等腰三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{66°}$；
(2) △EFG是等腰三角形，证明成立。
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题结合折叠场景考查基础几何知识，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特性，结合平行线的角的关系完成角的等量代换，属于几何基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB = 6$,$AC = 8$,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线$BD$,$CD$交于点$D$.过点$D$作$EF // BC$,分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$,则$△ AEF$的周长为 (
A.12
B.13
C.14
D.15
C
)A.12
B.13
C.14
D.15
答案
7. C
解析
【分析】
解题时可利用“角平分线+平行线”的常用几何模型推导等腰三角形，再通过等量代换将△AEF的周长转化为AB与AC的和求解。思考步骤：1. 根据角平分线的定义可得相等的角，结合EF平行BC的性质，利用“内错角相等”得到新的等角，进而判定△EBD和△FDC为等腰三角形，得到ED=EB、FD=FC；2. 将△AEF的周长拆分为AE+EF+AF，把EF拆为ED+DF，替换后即可将周长转化为AB+AC，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，
∴EB=ED，FC=FD。
△AEF的周长为：
$C_{△ AEF}=AE+EF+AF$
$=AE+ED+DF+AF$
$=AE+EB+FC+AF$
$=AB+AC$
代入AB=6，AC=8，得$C_{△ AEF}=6+8=14$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于典型的几何模型应用题，熟练掌握“角平分线遇平行线出等腰三角形”的模型，能快速实现边的等量转化，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时可利用“角平分线+平行线”的常用几何模型推导等腰三角形，再通过等量代换将△AEF的周长转化为AB与AC的和求解。思考步骤：1. 根据角平分线的定义可得相等的角，结合EF平行BC的性质，利用“内错角相等”得到新的等角，进而判定△EBD和△FDC为等腰三角形，得到ED=EB、FD=FC；2. 将△AEF的周长拆分为AE+EF+AF，把EF拆为ED+DF，替换后即可将周长转化为AB+AC，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，
∴EB=ED，FC=FD。
△AEF的周长为：
$C_{△ AEF}=AE+EF+AF$
$=AE+ED+DF+AF$
$=AE+EB+FC+AF$
$=AB+AC$
代入AB=6，AC=8，得$C_{△ AEF}=6+8=14$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于典型的几何模型应用题，熟练掌握“角平分线遇平行线出等腰三角形”的模型，能快速实现边的等量转化，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
