引入 等边三角形是特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形的性质，还有其特殊性，对比等腰三角形的性质，填写下列表格：

相等 相等 60 相等 相等 60° 等腰

【分析】
解决本题首先回忆等边三角形的相关概念：①性质层面：等边三角形是特殊的等腰三角形，边的特征为三条边长度均相等；角的层面，结合三角形内角和为180°，等边三角形三个内角大小相等，因此每个内角的度数为60°。②判定层面：判定1是等边三角形的定义，直接通过三边长度特征判断；判定2从角的特征出发，三个角相等的三角形对应边也相等，符合等边三角形的特征；判定3结合等腰三角形的特征，等腰三角形已有两条边相等，若存在一个60°的角，其余两个角也均为60°，三边自然相等，属于等边三角形。按照上述逻辑对应表格空位填写即可。
【解析】
依次对应表格的空位填写内容：
1. 等边三角形边的性质：三条边$\boxed{相等}$；
2. 等边三角形角的性质：三个角$\boxed{相等}$，且都等于$\boxed{60}$°；
3. 等边三角形判定1：三边都$\boxed{相等}$的三角形是等边三角形；
4. 等边三角形判定2：三个角都$\boxed{相等}$的三角形是等边三角形；
5. 等边三角形判定3：有一个角是$\boxed{60°}$的$\boxed{等腰}$三角形是等边三角形。
【答案】
相等 相等 60 相等 相等 60° 等腰
【知识点】
等边三角形的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的特征
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对等边三角形性质和判定定理的掌握，这类基础概念是解决等边三角形相关证明、计算类题目的核心基础，需要准确记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9

1.【例1】如图,在等边三角形ABC中,
(1)$∠BAC=∠B=∠C=$;
(2)若$△ ABC$的周长为12,则AB的长为;
(3)若AD是$∠BAC$的平分线,则$∠ADC=$;
(4)若$BC=2,AD⊥BC$,则BD的长为,$∠CAD$的度数为.

1. (1) 60° (2) 4 (3) 90° (4) 1 30°

【分析】
本题考查等边三角形的相关性质，解题时可结合等边三角形的边、角特征和三线合一性质逐问分析：
(1) 利用等边三角形三个内角相等，结合三角形内角和为180°即可求解；
(2) 利用等边三角形三边相等，周长等于3倍边长，即可求出边长；
(3) 等边三角形满足三线合一，角平分线同时也是对应边上的高，即可得到∠ADC的度数；
(4) 等边三角形中底边上的高同时是底边的中线和顶角的角平分线，据此可分别求出BD的长度和∠CAD的度数。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，三个内角相等，且三角形内角和为180°，
∴∠BAC=∠B=∠C=180°÷3=60°；
(2)
∵等边三角形三边相等，△ABC周长为12，
∴AB=12÷3=4；
(3)
∵△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，根据三线合一性质，AD也是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°；
(4)
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，根据三线合一性质，AD是BC边上的中线、∠BAC的角平分线，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2=1，∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
【答案】
(1) 60°；(2) 4；(3) 90°；(4) 1，30°
【知识点】
等边三角形的性质，三线合一，三角形内角和
【点评】
本题是等边三角形性质的基础应用题，侧重考察对基础性质的掌握，熟练记忆等边三角形的边角特征和三线合一性质即可快速作答，属于基础易得分题。
【难度系数】
0.8

2.【例2】如图，$△ ABC$是等边三角形，点$D$，$E$分别在$BC$，$AC$边上，$AE = CD$. 求证：$BE = AD$.

证明:
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC = ∠C = 60°,AB = CA.
在△ABE 和△CAD 中,$\begin{cases} AB = CA, \\ ∠BAE = ∠C, \\ AE = CD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CAD(SAS),
∴ BE = AD.

【分析】
要证明两条线段相等，常用思路是证明这两条线段所在的三角形全等。观察图形可知，BE属于△ABE，AD属于△CAD，因此只需证明△ABE≌△CAD即可。首先结合等边三角形的性质，可得到AB=AC、∠BAE=∠C=60°，再结合题目给出的AE=CD的条件，刚好满足全等三角形SAS的判定要求，证得全等后根据全等三角形对应边相等的性质，即可得到BE=AD。
【解析】
证明：
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC = ∠C = 60°,AB = CA.
在△ABE 和△CAD 中,$\begin{cases} AB = CA, \\ ∠BAE = ∠C, \\ AE = CD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CAD(SAS),
∴ BE = AD.
【答案】
证明过程如上，可证得BE=AD。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形性质与全等三角形知识的综合基础应用题，解题关键是找准待证线段所属的三角形，结合已知条件和等边三角形的性质推导全等所需的边、角相等关系，掌握全等证明的常规思路就能轻松解决。
【难度系数】
0.8

3.【例3】如图，$∠ B = ∠ C$，$AB // DE$，$EC = ED$.
求证：$△ DEC$是等边三角形.

证明:
∵ ∠B = ∠C,AB//DE,
∴ ∠DEC = ∠B = ∠C.
∵ EC = ED,
∴ ∠C = ∠EDC.
∴ ∠DEC = ∠C = ∠EDC.
∴ △DEC 为等边三角形.

【分析】
要证明△DEC是等边三角形，首先明确等边三角形的常见判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个内角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。本题已知EC=ED，即△DEC是等腰三角形，因此只需证明其三个内角相等即可。首先利用平行线的同位角相等性质，结合已知∠B=∠C，可推出∠DEC=∠C；再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，由EC=ED得到∠C=∠EDC，即可得出△DEC三个内角相等，进而完成判定。
【解析】
证明:
∵ ∠B = ∠C，AB//DE，
∴ ∠DEC = ∠B = ∠C.
∵ EC = ED，
∴ ∠C = ∠EDC.
∴ ∠DEC = ∠C = ∠EDC.
∴ △DEC 为等边三角形.
【答案】
△DEC是等边三角形
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，主要考察基础几何定理的综合运用，只要熟练掌握平行线、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定方法，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

4. 如图，CE是△ABC的角平分线，EF//BC，交AC于点F。已知∠AFE=60°。若点F是AC的中点。
(1) ∠FEC=°, ∠ACE=°;
(2)求证:△AEF是等边三角形.

4. (1) 30 30
(2) 证明:
∵ ∠FEC = ∠ACE = 30°,
∴ FE = FC.
∵ 点 F 是 AC 的中点,
∴ AF = FC.
∴ AF = EF.
∵ ∠AFE = 60°,
∴ △AEF 是等边三角形.

【分析】
(1) 解题思路：首先利用平行线的同位角相等性质，结合已知∠AFE=60°、EF//BC求出∠ACB的度数；再根据CE是角平分线，即可求出∠ACE的度数；最后利用平行线的内错角相等性质，求出∠FEC的度数。
(2) 解题思路：先由∠FEC=∠ACE，根据等角对等边得到FE=FC；再结合F是AC中点的条件得到AF=FC，等量代换后得到AF=EF，说明△AEF是等腰三角形，加上已知∠AFE=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵ EF//BC，∠AFE=60°，
∴ ∠ACB=∠AFE=60°（两直线平行，同位角相等）。
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACE=∠BCE=½∠ACB=30°。
又
∵ EF//BC，
∴ ∠FEC=∠BCE=30°（两直线平行，内错角相等）。
(2) 证明：
∵ ∠FEC = ∠ACE = 30°,
∴ FE = FC（等角对等边）。
∵ 点 F 是 AC 的中点,
∴ AF = FC。
∴ AF = EF（等量代换）。
∵ ∠AFE = 60°,
∴ △AEF 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
【答案】
(1) 30；30
(2) 证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，侧重对基础定理应用的考察，解题的关键是灵活运用平行线、角平分线的性质得到等角关系，再转化为边相等的条件，最后结合等边三角形判定定理完成求证。
【难度系数】
0.7