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5.【例4】如图,在等边三角形ABC中,点D,E在边AB,AC上,DE//BC,△ADE是等边三角形吗？请说明理由.
答案
解:△ADE 是等边三角形. 理由如下:
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE = ∠B = 60°,∠AED = ∠C = 60°.
∴ ∠ADE = ∠AED = ∠A.
∴ △ADE 是等边三角形.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE = ∠B = 60°,∠AED = ∠C = 60°.
∴ ∠ADE = ∠AED = ∠A.
∴ △ADE 是等边三角形.
解析
【分析】
要判断△ADE是否为等边三角形，可结合等边三角形的判定方法推导。首先已知△ABC是等边三角形，可得它的三个内角均为60°；再结合DE//BC的条件，利用平行线的同位角相等的性质，可求出△ADE另外两个内角的度数，若△ADE的三个内角都相等，即可判定它是等边三角形。
【解析】
△ADE是等边三角形，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°。
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE = ∠B = 60°，∠AED = ∠C = 60°。
∴ ∠ADE = ∠AED = ∠A。
∴ △ADE是等边三角形。
【答案】
△ADE是等边三角形
【知识点】
等边三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于等边三角形判定的基础题型，解题的核心是利用平行线的性质得到待判定三角形的内角度数，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要判断△ADE是否为等边三角形，可结合等边三角形的判定方法推导。首先已知△ABC是等边三角形，可得它的三个内角均为60°；再结合DE//BC的条件，利用平行线的同位角相等的性质，可求出△ADE另外两个内角的度数，若△ADE的三个内角都相等，即可判定它是等边三角形。
【解析】
△ADE是等边三角形，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°。
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE = ∠B = 60°，∠AED = ∠C = 60°。
∴ ∠ADE = ∠AED = ∠A。
∴ △ADE是等边三角形。
【答案】
△ADE是等边三角形
【知识点】
等边三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于等边三角形判定的基础题型，解题的核心是利用平行线的性质得到待判定三角形的内角度数，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图，$△ ABC$是等边三角形，E是AC上的点，且$∠ 1 = ∠ 2$，$CD = BE$. 求证：$△ ADE$是等边三角形.
答案
证明:
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AC = AB,∠BAE = 60°.
在△ACD 和△ABE 中,$\begin{cases} AC = AB, \\ ∠2 = ∠1, \\ CD = BE, \end{cases}$
∴ △ACD≌△ABE(SAS).
∴ AD = AE,∠CAD = ∠BAE = 60°.
∴ △ADE 是等边三角形.
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AC = AB,∠BAE = 60°.
在△ACD 和△ABE 中,$\begin{cases} AC = AB, \\ ∠2 = ∠1, \\ CD = BE, \end{cases}$
∴ △ACD≌△ABE(SAS).
∴ AD = AE,∠CAD = ∠BAE = 60°.
∴ △ADE 是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△ADE是等边三角形，可使用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定方法，因此需要先得到AD=AE，且二者的夹角∠DAE为60°。首先从已知条件入手，△ABC是等边三角形，可得AB=AC、∠BAC=60°，再结合题目给出的∠1=∠2、CD=BE，刚好符合SAS全等判定的条件，可证△ACD和△ABE全等，通过全等的性质就能得到需要的边、角相等关系，进而完成证明。
【解析】
证明:
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AC = AB,∠BAE = 60°.
在△ACD 和△ABE 中,$\begin{cases} AC = AB, \\ ∠2 = ∠1, \\ CD = BE, \end{cases}$
∴ △ACD≌△ABE(SAS).
∴ AD = AE,∠CAD = ∠BAE = 60°.
∴ △ADE 是等边三角形.
【答案】
证明过程如上所示。
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形与等边三角形的综合应用题，解题的核心是先结合已知条件证明三角形全等，通过全等实现边和角的等量转化，再利用等边三角形的判定定理完成求证，是几何证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要证明△ADE是等边三角形，可使用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定方法，因此需要先得到AD=AE，且二者的夹角∠DAE为60°。首先从已知条件入手，△ABC是等边三角形，可得AB=AC、∠BAC=60°，再结合题目给出的∠1=∠2、CD=BE，刚好符合SAS全等判定的条件，可证△ACD和△ABE全等，通过全等的性质就能得到需要的边、角相等关系，进而完成证明。
【解析】
证明:
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AC = AB,∠BAE = 60°.
在△ACD 和△ABE 中,$\begin{cases} AC = AB, \\ ∠2 = ∠1, \\ CD = BE, \end{cases}$
∴ △ACD≌△ABE(SAS).
∴ AD = AE,∠CAD = ∠BAE = 60°.
∴ △ADE 是等边三角形.
【答案】
证明过程如上所示。
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形与等边三角形的综合应用题，解题的核心是先结合已知条件证明三角形全等，通过全等实现边和角的等量转化，再利用等边三角形的判定定理完成求证，是几何证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
1. 如图，直线$a // b$，等边$△ ABC$的顶点$C$在直线$b$上，若$∠ 1 = 38°$，则$∠ 2$的度数为（
A.$98°$
B.$102°$
C.$120°$
D.$142°$
A
）A.$98°$
B.$102°$
C.$120°$
D.$142°$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理用到的性质：等边三角形三个内角均为60°，平行线的性质，三角形内角和为180°。首先找到包含∠1的小三角形，利用等边三角形的内角求出该三角形中第三个角的度数，再结合平行线的性质即可推出∠2的度数。
【解析】
设直线a与AB交于点D，与AC交于点E。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=60°。
在△ADE中，根据三角形内角和为180°，已知∠1=38°，可得：
∠AED = 180° - ∠1 - ∠A = 180° - 38° - 60° = 82°。
∠AED的邻补角为 180° - 82° = 98°。
∵ 直线a//b，根据两直线平行，同位角相等，可得∠2与该邻补角度数相等，即∠2=98°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是将等边三角形的角的特性、平行线性质和三角形内角和规律结合，找到未知角和已知角之间的数量关系即可快速求解，有助于巩固几何基础性质的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件梳理用到的性质：等边三角形三个内角均为60°，平行线的性质，三角形内角和为180°。首先找到包含∠1的小三角形，利用等边三角形的内角求出该三角形中第三个角的度数，再结合平行线的性质即可推出∠2的度数。
【解析】
设直线a与AB交于点D，与AC交于点E。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=60°。
在△ADE中，根据三角形内角和为180°，已知∠1=38°，可得：
∠AED = 180° - ∠1 - ∠A = 180° - 38° - 60° = 82°。
∠AED的邻补角为 180° - 82° = 98°。
∵ 直线a//b，根据两直线平行，同位角相等，可得∠2与该邻补角度数相等，即∠2=98°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是将等边三角形的角的特性、平行线性质和三角形内角和规律结合，找到未知角和已知角之间的数量关系即可快速求解，有助于巩固几何基础性质的应用。
【难度系数】
0.7
2.（开放性试题）在$△ ABC$中，$∠ A = 60°$，如果使$△ ABC$是等边三角形，那么可以再添加一个条件：______。
答案
AB = AC(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，需先回忆等边三角形的判定定理：1. 三边相等的三角形是等边三角形；2. 三个内角都为60°的三角形是等边三角形；3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。已知△ABC中已有∠A=60°，我们可以结合判定定理补充条件：若选择第三个判定，只需让△ABC成为等腰三角形即可，比如添加一组边相等（如AB=AC）；也可选择第二个判定，添加另一个内角为60°（如∠B=60°），均能推出△ABC是等边三角形，答案不唯一。
【解析】
我们以添加条件AB=AC为例推导：
已知在△ABC中，∠A=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形（两边相等的三角形是等腰三角形），
又
∵∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
除此之外，也可添加如∠B=60°、BC=AC等条件，均满足要求。
【答案】
AB = AC(答案不唯一)
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查等边三角形的判定规则，作答时只要补充的条件能结合已知∠A=60°推导出三角形为等边三角形即可，解题时可结合已有条件选择最简单的判定思路。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需先回忆等边三角形的判定定理：1. 三边相等的三角形是等边三角形；2. 三个内角都为60°的三角形是等边三角形；3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。已知△ABC中已有∠A=60°，我们可以结合判定定理补充条件：若选择第三个判定，只需让△ABC成为等腰三角形即可，比如添加一组边相等（如AB=AC）；也可选择第二个判定，添加另一个内角为60°（如∠B=60°），均能推出△ABC是等边三角形，答案不唯一。
【解析】
我们以添加条件AB=AC为例推导：
已知在△ABC中，∠A=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形（两边相等的三角形是等腰三角形），
又
∵∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
除此之外，也可添加如∠B=60°、BC=AC等条件，均满足要求。
【答案】
AB = AC(答案不唯一)
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查等边三角形的判定规则，作答时只要补充的条件能结合已知∠A=60°推导出三角形为等边三角形即可，解题时可结合已有条件选择最简单的判定思路。
【难度系数】
0.9
3. 如图，$△ ABC$是等边三角形，点$D,E,F$分别是各边上的一点，且$AD = BE = CF$，连接$DE$，$EF$，$FD$. 求证：$△ DEF$是等边三角形.
答案
3. 证明:
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB = BC = AC, ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ AD = BE = CF,
∴ AE = BF = CD.
∴ △ADE≌△BEF≌△CFD(SAS).
∴ DE = EF = FD.
∴ △DEF 是等边三角形.
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB = BC = AC, ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ AD = BE = CF,
∴ AE = BF = CD.
∴ △ADE≌△BEF≌△CFD(SAS).
∴ DE = EF = FD.
∴ △DEF 是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△DEF是等边三角形，可通过证明其三边相等的思路推导。首先利用等边三角形的性质，得到△ABC三边相等、三个内角均为60°；结合已知条件AD=BE=CF，可推出AE=BF=CD；随后利用SAS全等判定定理证明△ADE、△BEF、△CFD两两全等，根据全等三角形对应边相等的性质可得DE=EF=FD，最后依据“三边相等的三角形是等边三角形”的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
∵ AD=BE=CF，
∴ AB-BE=BC-CF=AC-AD，即AE=BF=CD。
在△ADE和△BEF中：
$\{\begin{array}{l}AD=BE\\ ∠ A=∠ B\\ AE=BF\end{array} $
∴ △ADE≌△BEF（SAS），
同理可证△BEF≌△CFD，即△ADE≌△BEF≌△CFD，
∴ DE=EF=FD，
∴ △DEF是等边三角形。
【答案】
△DEF是等边三角形
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础题型，解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的等量关系，通过全等三角形推导待证三角形的三边相等，熟练掌握相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明△DEF是等边三角形，可通过证明其三边相等的思路推导。首先利用等边三角形的性质，得到△ABC三边相等、三个内角均为60°；结合已知条件AD=BE=CF，可推出AE=BF=CD；随后利用SAS全等判定定理证明△ADE、△BEF、△CFD两两全等，根据全等三角形对应边相等的性质可得DE=EF=FD，最后依据“三边相等的三角形是等边三角形”的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
∵ AD=BE=CF，
∴ AB-BE=BC-CF=AC-AD，即AE=BF=CD。
在△ADE和△BEF中：
$\{\begin{array}{l}AD=BE\\ ∠ A=∠ B\\ AE=BF\end{array} $
∴ △ADE≌△BEF（SAS），
同理可证△BEF≌△CFD，即△ADE≌△BEF≌△CFD，
∴ DE=EF=FD，
∴ △DEF是等边三角形。
【答案】
△DEF是等边三角形
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础题型，解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的等量关系，通过全等三角形推导待证三角形的三边相等，熟练掌握相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$△ BCE$，$△ ACD$分别是以$BE$，$AD$为斜边的直角三角形，且$BE = AD$，$△ CDE$是等边三角形.
(1)求证：$△ ACD ≌ △ BCE$；
(2)求证：$△ ABC$是等边三角形.
(1)求证：$△ ACD ≌ △ BCE$；
(2)求证：$△ ABC$是等边三角形.
答案
4. 证明:(1)
∵ △CDE 是等边三角形,
∴ CD = CE.
在Rt△ACD 和 Rt△BCE 中,AD = BE,CD = CE,
∴ △ACD≌△BCE(HL).
(2)由(1)知 Rt△ACD≌Rt△BCE,
∴ AC = BC.
∵ △CDE 是等边三角形,
∴ ∠ECD = 60°.
又
∵ ∠BCA = 90° - ∠ACE = ∠ECD = 60°,
∴ △ABC 是等边三角形.
∵ △CDE 是等边三角形,
∴ CD = CE.
在Rt△ACD 和 Rt△BCE 中,AD = BE,CD = CE,
∴ △ACD≌△BCE(HL).
(2)由(1)知 Rt△ACD≌Rt△BCE,
∴ AC = BC.
∵ △CDE 是等边三角形,
∴ ∠ECD = 60°.
又
∵ ∠BCA = 90° - ∠ACE = ∠ECD = 60°,
∴ △ABC 是等边三角形.
解析
【分析】
（1）要证明两个直角三角形全等，可优先考虑HL判定定理。已知△ACD和△BCE均为直角三角形，题目已给出斜边AD=BE，结合等边△CDE的性质可得直角边CD=CE，满足HL的判定条件，即可证明全等。
（2）要证明△ABC是等边三角形，可先通过全等三角形的性质得到AC=BC，确定△ABC为等腰三角形，再推导顶角∠ACB的度数。结合等边△CDE的∠ECD=60°，通过直角的角度等量代换可得∠ACB=∠ECD=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ △CDE是等边三角形，
∴ CD = CE。
∵ △BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，
∴ △ACD和△BCE都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ BCE$中：
$\begin{cases} AD = BE \\ CD = CE \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ BCE$（HL）。
(2) 证明：
由(1)知$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ BCE$，
∴ AC = BC。
∵ △CDE是等边三角形，
∴ $∠ ECD = 60°$。
又
∵ $∠ BCA = 90° - ∠ ACE = ∠ ECD = 60°$，
∴ △ABC是等边三角形。
【答案】
(1) $△ ACD≌△ BCE$，证明如上；
(2) $△ ABC$是等边三角形，证明如上。
【知识点】
HL定理，全等三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查全等三角形与特殊三角形的核心性质，解题时需从已知条件出发逐步推导边、角的等量关系，逻辑链条清晰，是三角形章节的典型常规题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明两个直角三角形全等，可优先考虑HL判定定理。已知△ACD和△BCE均为直角三角形，题目已给出斜边AD=BE，结合等边△CDE的性质可得直角边CD=CE，满足HL的判定条件，即可证明全等。
（2）要证明△ABC是等边三角形，可先通过全等三角形的性质得到AC=BC，确定△ABC为等腰三角形，再推导顶角∠ACB的度数。结合等边△CDE的∠ECD=60°，通过直角的角度等量代换可得∠ACB=∠ECD=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ △CDE是等边三角形，
∴ CD = CE。
∵ △BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，
∴ △ACD和△BCE都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ BCE$中：
$\begin{cases} AD = BE \\ CD = CE \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ BCE$（HL）。
(2) 证明：
由(1)知$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ BCE$，
∴ AC = BC。
∵ △CDE是等边三角形，
∴ $∠ ECD = 60°$。
又
∵ $∠ BCA = 90° - ∠ ACE = ∠ ECD = 60°$，
∴ △ABC是等边三角形。
【答案】
(1) $△ ACD≌△ BCE$，证明如上；
(2) $△ ABC$是等边三角形，证明如上。
【知识点】
HL定理，全等三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查全等三角形与特殊三角形的核心性质，解题时需从已知条件出发逐步推导边、角的等量关系，逻辑链条清晰，是三角形章节的典型常规题型。
【难度系数】
0.7
