1. 在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边等于斜边的.
几何语言:如图,∵$AC ⊥ BC$, $∠ A = 30°$,
∴ .

1. 一半 $BC = \frac{1}{2}AB$

【分析】
本题考查含30°角的直角三角形的性质，解题时先回忆该性质的核心内容：在直角三角形中，30°锐角所对的直角边长度是斜边的一半；书写几何语言时，先定位30°角∠A的对边是BC，再确定直角三角形的斜边为AB，对应性质写出等量关系即可。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的固定性质，第一空直接填“一半”；
观察图形，∠A=30°，它所对的直角边是BC，Rt△ABC的斜边为AB，结合性质可得边的等量关系为$BC=\frac{1}{2}AB$。
【答案】一半；$BC=\frac{1}{2}AB$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对特殊直角三角形性质的掌握和几何语言的规范书写，解题时需注意明确30°角所对的直角边，避免混淆边的对应关系。
【难度系数】
0.9

2.【例1】如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$.若$∠ B=30°$，$AB=8$，则$AC$的长为.
3.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$.若$∠ B=60°$，$BC=3$，则$AB$的长为.

2. 4 3. 6

【分析】
这两道题均考查含30°角的直角三角形的性质应用，解题思路如下：1. 先确定三角形为直角三角形，找到直角；2. 推导或直接找到30°的内角，明确30°角所对的直角边和对应斜边；3. 根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质列式计算即可。
第2题中，∠B=30°，它所对的直角边是AC，斜边为已知长度的AB，直接代入性质计算AC即可；第3题中，先根据直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，它所对的直角边是已知长度的BC，斜边是要求的AB，利用性质反推AB长度即可。
【解析】
2. 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$∠ B$所对的直角边$AC=\frac{1}{2}AB$，
已知$AB=8$，代入得$AC=\frac{1}{2}×8=4$。
3. 解：在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ A=90°-∠ B=90°-60°=30°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$∠ A$所对的直角边$BC=\frac{1}{2}AB$，
已知$BC=3$，变形得$AB=2BC=2×3=6$。
【答案】
2. 4；3. 6
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 直角三角形两锐角互余
【点评】
这两道题是含30°角直角三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确识别30°内角及其对应的直角边和斜边，熟练掌握相关性质即可快速得出结果，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.9

4.【例2】如图,在$△ ABC$中,已知$AB = AC$,$∠ B = 30°$,$AB ⊥ AD$,$AD = 4$.
(1)求$BD$的长;
(2)求$BC$的长.

5.如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,$∠ BAC = 120°$,腰$AB$的垂直平分线交底边$BC$于点$D$,垂足为$E$.
(1)求$∠ BAD$的度数;
(2)若$DB = 2\ \mathrm{cm}$,求$CB$的长.

4. 解:(1)
∵ $AB ⊥ AD$, $∠ B = 30°$,$AD = 4$,
∴ $BD = 2AD = 2 × 4 = 8$.
(2)
∵ $AB = AC$, $∠ B = 30°$,
∴ $∠ C = ∠ B = 30°$.
∴ $∠ BAC = 180° - 30° - 30° = 120°$.
∵ $AB⊥AD$,
∴ $∠BAD = 90°$.
∴ $∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 120° - 90° = 30°$.
∴ $∠DAC = ∠C$.
∴ $DC = AD = 4$.
∴ $BC = BD + DC = 8 + 4 = 12$.
5. 解:(1)
∵ $AB = AC$, $∠ BAC = 120°$,
∴ $∠ B = ∠ C = 30°$.
∵ $DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线,
∴ $AD = BD$.
∴ $∠ BAD = ∠ B = 30°$.
(2)
∵ $∠ BAC = 120°$, $∠ BAD = 30°$,
∴ $∠ CAD = 90°$.
又
∵ $∠ C = 30°$,
∴ $CD = 2AD = 2BD = 4\ \mathrm{cm}$.
∴ $CB = CD + DB = 6(\mathrm{cm})$.

【分析】
第4题思路：
(1) 已知$AB⊥AD$，则$△ ABD$是直角三角形，且$∠ B=30°$，直接利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出$BD$的长度。
(2) 先由等腰三角形“等边对等角”的性质求出$∠ C$和$∠ BAC$的度数，结合$∠ BAD=90°$算出$∠ DAC=30°$，可得$∠ DAC=∠ C$，推出$DC=AD$，最后用$BC=BD+DC$即可求解。
第5题思路：
(1) 先由等腰三角形内角和性质求出底角$∠ B=30°$，再根据线段垂直平分线的性质得到$AD=BD$，利用“等边对等角”即可求出$∠ BAD$的度数。
(2) 先算出$∠ CAD=90°$，结合$∠ C=30°$，利用含30°角的直角三角形的性质得到$CD=2AD=2BD$，最后用$CB=CD+DB$即可求解。
【解析】
4. 解：
(1)
$\because AB ⊥ AD$，$∠ B = 30°$，$AD = 4$，
$\therefore BD = 2AD = 2 × 4 = 8$。
(2)
$\because AB = AC$，$∠ B = 30°$，
$\therefore ∠ C = ∠ B = 30°$。
$\therefore ∠ BAC = 180° - 30° - 30° = 120°$。
$\because AB⊥ AD$，
$\therefore ∠ BAD = 90°$。
$\therefore ∠ DAC = ∠ BAC - ∠ BAD = 120° - 90° = 30°$。
$\therefore ∠ DAC = ∠ C$。
$\therefore DC = AD = 4$。
$\therefore BC = BD + DC = 8 + 4 = 12$。
5. 解：
(1)
$\because AB = AC$，$∠ BAC = 120°$，
$\therefore ∠ B = ∠ C = 30°$。
$\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线，
$\therefore AD = BD$。
$\therefore ∠ BAD = ∠ B = 30°$。
(2)
$\because ∠ BAC = 120°$，$∠ BAD = 30°$，
$\therefore ∠ CAD = 90°$。
又$\because ∠ C = 30°$，
$\therefore CD = 2AD = 2BD = 4\ \mathrm{cm}$。
$\therefore CB = CD + DB = 6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4. (1) $BD=8$；(2) $BC=12$
5. (1) $∠ BAD=30°$；(2) $CB=6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质
【点评】
这两道题属于几何基础综合题，重点考查常见几何性质的直接应用，解题时只要找准角度、线段之间的等量关系，就能快速得出结果，是巩固基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7

6.【例3】如图，$∠ C = 90°$, $∠ B = 30°$, $AD$是$△ ABC$的角平分线.求证:$BD=2CD$.

6. 证明:
∵ $∠ C = 90°$, $∠ B = 30°$,
∴ $∠ BAC = 180° - 90° - 30° = 60°$.
∵ $AD$ 是$△ABC$ 的角平分线,
∴ $∠ BAD = ∠ CAD = \frac{1}{2}×60° = 30°$.
∴ $∠ BAD = ∠ B$.
∴ $BD = AD$.
在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,
∵ $∠ CAD = 30°$,
∴ $AD = 2CD$.
∴ $BD = 2CD$.

【分析】
要证明BD=2CD，两条线段共线无法直接得到数量关系，需寻找中间线段等量代换。第一步，根据三角形内角和为180°，结合已知∠C=90°、∠B=30°，可算出∠BAC的度数；第二步，利用AD是角平分线的条件，得到∠BAD和∠CAD的度数，此时发现∠BAD=∠B，根据等角对等边可得BD=AD，将BD转化为AD；第三步，Rt△ACD中∠CAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，可得AD=2CD，最后等量代换即可得到BD=2CD的结论。
【解析】
证明：
∵ $∠ C = 90°$, $∠ B = 30°$,
∴ $∠ BAC = 180° - 90° - 30° = 60°$.
∵ $AD$ 是$△ABC$ 的角平分线,
∴ $∠ BAD = ∠ CAD = \frac{1}{2}×60° = 30°$.
∴ $∠ BAD = ∠ B$.
∴ $BD = AD$.
在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,
∵ $∠ CAD = 30°$,
∴ $AD = 2CD$.
∴ $BD = 2CD$.
【答案】
$BD=2CD$
【知识点】
三角形内角和定理；等角对等边；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于特殊三角形性质的基础综合题，解题关键是通过角平分线找到等角，完成BD到AD的等量转化，再结合特殊直角三角形的边角关系完成证明，能帮助学生巩固特殊三角形相关性质的应用逻辑。
【难度系数】
0.7

7. (人教八上P₉₂复习题T₇改编)如图,在△ABC中,∠BCA=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点D. 求证:BD = $\frac{1}{4}AB$.

7. 证明:
∵ $∠A = 30°$,$∠BCA = 90°$,
∴ $BC = \frac{1}{2}AB$, $∠B = 60°$.
∵ $CD⊥AB$,
∴ $∠CDB = 90°$.
∴ $∠BCD = 30°$.
∴ $BC = 2BD$.
∴ $2BD = \frac{1}{2}AB$.
∴ $BD = \frac{1}{4}AB$.

【分析】
要证明$BD=\frac{1}{4}AB$，可结合含30°角的直角三角形的性质分步推导：首先在$Rt△ ABC$中，根据已知的$∠ A=30°$和直角条件，先得出$BC$与$AB$的数量关系；再结合$CD⊥ AB$的条件，在$Rt△ BCD$中推导$BD$与$BC$的数量关系；最后通过等量代换即可得到$BD$与$AB$的关系。
【解析】
证明：
∵ $∠ A = 30°$，$∠ BCA = 90°$，
∴ $BC = \frac{1}{2}AB$，$∠ B = 60°$。
∵ $CD⊥ AB$，
∴ $∠ CDB = 90°$，
∴ $∠ BCD = 30°$，
∴ $BC = 2BD$，
∴ $2BD = \frac{1}{2}AB$，
∴ $BD = \frac{1}{4}AB$。
【答案】
证明:
∵ $∠A = 30°$,$∠BCA = 90°$,
∴ $BC = \frac{1}{2}AB$, $∠B = 60°$.
∵ $CD⊥AB$,
∴ $∠CDB = 90°$.
∴ $∠BCD = 30°$.
∴ $BC = 2BD$.
∴ $2BD = \frac{1}{2}AB$.
∴ $BD = \frac{1}{4}AB$.
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是含30°角直角三角形性质的基础应用题型，需要两次运用该性质，通过等量代换得到边的倍数关系，解题的关键是准确识别不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.8