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1. 如图,一棵树与地面垂直,在一次强台风中于离地面4 m处折断倒下,倒下的部分与地面成$30°$夹角,这棵树在折断前的高度为 (
A.4 m
B.8 m
C.12 m
D.16 m
C
)A.4 m
B.8 m
C.12 m
D.16 m
答案
1. C
解析
【分析】
我们可以先将实际场景转化为几何模型：未折断的树身、折断倒下的部分、地面共同构成一个直角三角形，其中未折断的树和地面垂直，为直角边，倒下部分与地面夹角为30°，30°角对的直角边就是离地面4m的未折断树身。先根据直角三角形中30°角的特殊性质求出折断部分的长度，再加上未折断的4m，就能得到树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意可知，未折断的树与地面垂直，因此未折断部分、折断部分、地面构成直角三角形。
该直角三角形中，30°角对应的直角边为未折断的树身，长度是4m。
根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边也就是折断部分的长度为 $2×4=8\ \mathrm{m}$。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分的长度和，即 $4+8=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形30°角性质
2. 解直角三角形实际应用
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的常见应用题，解题核心是将实际场景转化为熟悉的直角三角形模型，找准30°角对应的直角边和斜边的关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
我们可以先将实际场景转化为几何模型：未折断的树身、折断倒下的部分、地面共同构成一个直角三角形，其中未折断的树和地面垂直，为直角边，倒下部分与地面夹角为30°，30°角对的直角边就是离地面4m的未折断树身。先根据直角三角形中30°角的特殊性质求出折断部分的长度，再加上未折断的4m，就能得到树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意可知，未折断的树与地面垂直，因此未折断部分、折断部分、地面构成直角三角形。
该直角三角形中，30°角对应的直角边为未折断的树身，长度是4m。
根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边也就是折断部分的长度为 $2×4=8\ \mathrm{m}$。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分的长度和，即 $4+8=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形30°角性质
2. 解直角三角形实际应用
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的常见应用题，解题核心是将实际场景转化为熟悉的直角三角形模型，找准30°角对应的直角边和斜边的关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=30°$,点$D$为$AB$的中点,$DE ⊥ AC$于点$E$,若$AB=8$,则$DE$的长为（
A.1
B.2
C.4
D.8
B
）A.1
B.2
C.4
D.8
答案
2. B
解析
【分析】
解题时可以按以下思路推导：第一步先根据点D是AB中点，结合AB的长度求出AD的长；第二步观察到DE⊥AC，可得△ADE是直角三角形，已知∠A=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出DE的长度。也可以先求出BC的长度，再根据DE、BC都垂直AC得到DE//BC，判断DE是△ABC的中位线，利用中位线性质求解。
【解析】
解：
∵点D为AB的中点，AB=8，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA = 90°，即△ADE是直角三角形，
又
∵在Rt△ADE中，∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，
∴DE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
【答案】
B
【知识点】
1.直角三角形30°角的性质
2.中点的定义
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题思路灵活，可从多个角度推导结果，重点考查对基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时可以按以下思路推导：第一步先根据点D是AB中点，结合AB的长度求出AD的长；第二步观察到DE⊥AC，可得△ADE是直角三角形，已知∠A=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出DE的长度。也可以先求出BC的长度，再根据DE、BC都垂直AC得到DE//BC，判断DE是△ABC的中位线，利用中位线性质求解。
【解析】
解：
∵点D为AB的中点，AB=8，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA = 90°，即△ADE是直角三角形，
又
∵在Rt△ADE中，∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，
∴DE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
【答案】
B
【知识点】
1.直角三角形30°角的性质
2.中点的定义
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题思路灵活，可从多个角度推导结果，重点考查对基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
3. 如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是△ABC的边BC上的高,过点D作DE⊥AC于点E,则CD的长为
2
,CE的长为1
.答案
3. 2 1
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用等边三角形“三线合一”的性质，AD是BC边上的高，因此D是BC的中点，已知BC边长为4，即可直接求出CD的长度；第二步，在Rt△DEC中，等边三角形的内角∠C=60°，可推出∠CDE=30°，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为4，AD是BC边上的高
根据等边三角形三线合一的性质，AD也是BC边上的中线
∴$CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$
∵DE⊥AC，
∴$∠ DEC=90°$
又
∵等边△ABC中$∠ C=60°$
∴在Rt△DEC中，$∠ CDE=90°-∠ C=30°$
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×2 = 1$
【答案】
2；1
【知识点】
等边三角形的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是结合图形熟练运用等边三角形和直角三角形的相关性质，理清边与边、角与角之间的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：第一步，先利用等边三角形“三线合一”的性质，AD是BC边上的高，因此D是BC的中点，已知BC边长为4，即可直接求出CD的长度；第二步，在Rt△DEC中，等边三角形的内角∠C=60°，可推出∠CDE=30°，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为4，AD是BC边上的高
根据等边三角形三线合一的性质，AD也是BC边上的中线
∴$CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$
∵DE⊥AC，
∴$∠ DEC=90°$
又
∵等边△ABC中$∠ C=60°$
∴在Rt△DEC中，$∠ CDE=90°-∠ C=30°$
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×2 = 1$
【答案】
2；1
【知识点】
等边三角形的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是结合图形熟练运用等边三角形和直角三角形的相关性质，理清边与边、角与角之间的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图. 其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，$∠ ABC = 150°$,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h为
4
m.答案
4. 4
解析
【分析】
要求乘电梯从B到C上升的高度h，本质是求点C到AB所在水平线的垂直距离。我们可以过C作AB延长线的垂线，构造直角三角形求解：首先根据平角定义求出BC与AB延长线的夹角，再利用直角三角形中30°角的性质计算h的值。
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，可知CE的长度就是上升高度h。
∵∠ABC=150°，∠ABE为平角等于180°，
∴∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°。
在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∠CBE=30°，斜边BC=8m，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
h=CE=½BC=½×8=4(m)。
【答案】
4
【知识点】
补角的计算，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的电梯场景考查几何知识的应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质计算，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要求乘电梯从B到C上升的高度h，本质是求点C到AB所在水平线的垂直距离。我们可以过C作AB延长线的垂线，构造直角三角形求解：首先根据平角定义求出BC与AB延长线的夹角，再利用直角三角形中30°角的性质计算h的值。
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，可知CE的长度就是上升高度h。
∵∠ABC=150°，∠ABE为平角等于180°，
∴∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°。
在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∠CBE=30°，斜边BC=8m，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
h=CE=½BC=½×8=4(m)。
【答案】
4
【知识点】
补角的计算，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的电梯场景考查几何知识的应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质计算，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
5. 如图
，是一个地铁站入口的双翼闸机，如图
，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，双翼的边缘AC = BD = 64 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA = ∠BDQ = 30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为
，是一个地铁站入口的双翼闸机，如图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，双翼的边缘AC = BD = 64 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA = ∠BDQ = 30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为76
cm.答案
5. 76
解析
【分析】
解题时首先要明确可通过闸机的最大宽度的组成：双翼收起时，可通过的最大宽度等于端点A、B之间的距离，加上AC、BD分别在垂直于闸机侧立面方向的投影长度。已知AC、BD与闸机侧立面的夹角为30°，可利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，求出两段投影的长度，最后将三部分长度相加即可得到结果。
【解析】
分别过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F。
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=30°，AC=64cm，
根据“直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×64=32\mathrm{cm}$，
同理可得，$BF=\frac{1}{2}BD=32\mathrm{cm}$，
因此可通过闸机的物体的最大宽度为：$AE+AB+BF=32+12+32=76\mathrm{cm}$。
【答案】
76
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，直角三角形的实际应用，长度计算
【点评】
本题结合生活中的双翼闸机场景考查直角三角形相关性质的应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，需要学生正确理解可通过最大宽度的构成，属于典型的几何应用型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确可通过闸机的最大宽度的组成：双翼收起时，可通过的最大宽度等于端点A、B之间的距离，加上AC、BD分别在垂直于闸机侧立面方向的投影长度。已知AC、BD与闸机侧立面的夹角为30°，可利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，求出两段投影的长度，最后将三部分长度相加即可得到结果。
【解析】
分别过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F。
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=30°，AC=64cm，
根据“直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×64=32\mathrm{cm}$，
同理可得，$BF=\frac{1}{2}BD=32\mathrm{cm}$，
因此可通过闸机的物体的最大宽度为：$AE+AB+BF=32+12+32=76\mathrm{cm}$。
【答案】
76
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，直角三角形的实际应用，长度计算
【点评】
本题结合生活中的双翼闸机场景考查直角三角形相关性质的应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，需要学生正确理解可通过最大宽度的构成，属于典型的几何应用型基础题。
【难度系数】
0.7
6. 如图, 在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°, ∠BAC = 60°, AM 平分 ∠BAC, AM = 15, 求 BC 的长. 
答案
6. 解:$\because ∠C = 90°, ∠BAC = 60°$,
$\therefore ∠B = 180° - ∠C - ∠BAC = 30°$.
$\because AM$ 平分 $∠BAC$,
$\therefore ∠BAM = ∠CAM = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}×60° = 30°$.
$\therefore ∠B = ∠BAM. \therefore BM = AM = 15$.
在 $\mathrm{Rt}△ACM$ 中, $∠CAM = 30°$,
$\therefore CM = \frac{1}{2}AM = 7.5$.
$\therefore BC = CM + BM = 7.5 + 15 = 22.5$.
$\therefore ∠B = 180° - ∠C - ∠BAC = 30°$.
$\because AM$ 平分 $∠BAC$,
$\therefore ∠BAM = ∠CAM = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}×60° = 30°$.
$\therefore ∠B = ∠BAM. \therefore BM = AM = 15$.
在 $\mathrm{Rt}△ACM$ 中, $∠CAM = 30°$,
$\therefore CM = \frac{1}{2}AM = 7.5$.
$\therefore BC = CM + BM = 7.5 + 15 = 22.5$.
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理求出∠B的度数，再结合角平分线的定义得出∠BAM、∠CAM的度数，通过角度相等得到BM=AM；接着在Rt△ACM中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出CM的长度，最后将CM和BM相加即可得到BC的总长。
【解析】
解：$\because ∠C = 90°, ∠BAC = 60°$,
$\therefore ∠B = 180° - ∠C - ∠BAC = 30°$.
$\because AM$ 平分 $∠BAC$,
$\therefore ∠BAM = ∠CAM = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}×60° = 30°$.
$\therefore ∠B = ∠BAM. \therefore BM = AM = 15$.
在 $\mathrm{Rt}△ACM$ 中, $∠CAM = 30°$,
$\therefore CM = \frac{1}{2}AM = 7.5$.
$\therefore BC = CM + BM = 7.5 + 15 = 22.5$.
【答案】
$22.5$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过角度推导得到等角，进而转化为等线段，再结合特殊直角三角形的性质求解线段长，需要熟练掌握相关基础性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形内角和定理求出∠B的度数，再结合角平分线的定义得出∠BAM、∠CAM的度数，通过角度相等得到BM=AM；接着在Rt△ACM中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出CM的长度，最后将CM和BM相加即可得到BC的总长。
【解析】
解：$\because ∠C = 90°, ∠BAC = 60°$,
$\therefore ∠B = 180° - ∠C - ∠BAC = 30°$.
$\because AM$ 平分 $∠BAC$,
$\therefore ∠BAM = ∠CAM = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}×60° = 30°$.
$\therefore ∠B = ∠BAM. \therefore BM = AM = 15$.
在 $\mathrm{Rt}△ACM$ 中, $∠CAM = 30°$,
$\therefore CM = \frac{1}{2}AM = 7.5$.
$\therefore BC = CM + BM = 7.5 + 15 = 22.5$.
【答案】
$22.5$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过角度推导得到等角，进而转化为等线段，再结合特殊直角三角形的性质求解线段长，需要熟练掌握相关基础性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在等边三角形ABC中,$AD⊥BC$,BE是中线,AD与BE交于点M.猜想AM与DM的数量关系,并证明.
答案
7. 解:$AM = 2DM$. 证明如下:
$\because △ABC$ 为等边三角形,$\therefore BA = BC, ∠BAC = ∠ABC = 60°$.
$\because AD ⊥ BC$,BE 是中线,
$\therefore AD$ 平分 $∠BAC$,BE 平分 $∠ABC$.
$\therefore ∠BAD = ∠ABE = ∠CBE = 30°. \therefore AM = BM$.
在 $\mathrm{Rt}△BDM$ 中,$\because ∠DBM = 30°$,
$\therefore BM = 2DM. \therefore AM = 2DM$.
$\because △ABC$ 为等边三角形,$\therefore BA = BC, ∠BAC = ∠ABC = 60°$.
$\because AD ⊥ BC$,BE 是中线,
$\therefore AD$ 平分 $∠BAC$,BE 平分 $∠ABC$.
$\therefore ∠BAD = ∠ABE = ∠CBE = 30°. \therefore AM = BM$.
在 $\mathrm{Rt}△BDM$ 中,$\because ∠DBM = 30°$,
$\therefore BM = 2DM. \therefore AM = 2DM$.
解析
【分析】
要探究AM和DM的数量关系，首先结合等边三角形的性质思考：等边三角形具有“三线合一”的特点，即中线、高、角平分线互相重合。已知AD是BC边上的高，BE是AC边上的中线，因此AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得到30°的特殊角。先通过等角对等边证明AM=BM，再在直角三角形BDM中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到BM和DM的关系，最后通过等量代换即可得到AM与DM的数量关系。
【解析】
证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°。
∵AD⊥BC，BE是中线，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC（等边三角形三线合一）。
∴∠BAD=30°，∠ABE=∠CBE=30°，
∴∠BAD=∠ABE，
∴AM=BM（等角对等边）。
在Rt△BDM中，
∵∠DBM=30°，
∴BM=2DM（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴AM=2DM。
【答案】
AM=2DM
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等角对等边
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是利用等边三角形“三线合一”的性质得到特殊角度，再结合直角三角形的特殊性质和等腰三角形的判定完成线段关系的推导，解题时要注意每一步性质对应的适用条件，梳理清楚角、线段之间的转化逻辑。
【难度系数】
0.8
要探究AM和DM的数量关系，首先结合等边三角形的性质思考：等边三角形具有“三线合一”的特点，即中线、高、角平分线互相重合。已知AD是BC边上的高，BE是AC边上的中线，因此AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得到30°的特殊角。先通过等角对等边证明AM=BM，再在直角三角形BDM中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到BM和DM的关系，最后通过等量代换即可得到AM与DM的数量关系。
【解析】
证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°。
∵AD⊥BC，BE是中线，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC（等边三角形三线合一）。
∴∠BAD=30°，∠ABE=∠CBE=30°，
∴∠BAD=∠ABE，
∴AM=BM（等角对等边）。
在Rt△BDM中，
∵∠DBM=30°，
∴BM=2DM（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴AM=2DM。
【答案】
AM=2DM
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等角对等边
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是利用等边三角形“三线合一”的性质得到特殊角度，再结合直角三角形的特殊性质和等腰三角形的判定完成线段关系的推导，解题时要注意每一步性质对应的适用条件，梳理清楚角、线段之间的转化逻辑。
【难度系数】
0.8
8. 如图
,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为
,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为6或12
.答案
8. 6 或 12
解析
【分析】
解题时先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，求出BC的长度和∠B的度数。由于点D在直线AB上，需分两种情况讨论：①点D在线段AB上；②点D在AB的延长线上，分别结合三角形内角和定理以及特殊角度直角三角形的性质计算BD的长度，进而求出AD的长。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
∴ BC = ½AB = 4，∠ABC = 180°-90°-30°=60°。
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
∵ ∠BCD=30°，
∴ ∠BDC = 180°-∠ABC-∠BCD = 180°-60°-30°=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴ BD = ½BC = ½×4=2，
∴ AD = AB - BD = 8 - 2 = 6；
② 当点D在AB的延长线上时：
∠CBD = 180°-∠ABC = 180°-60°=120°，
又
∵ ∠BCD=30°，
∴ ∠CDB = 180°-∠CBD-∠BCD = 180°-120°-30°=30°，
∴ ∠CDB=∠BCD，
∴ BD=BC=4，
∴ AD = AB + BD = 8 + 4 = 12。
综上，AD的长为6或12。
【答案】
6或12
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，分类讨论思想，三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略“点D在直线AB上”的条件，仅考虑D在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意直线、线段的区别，结合特殊三角形的性质分类计算即可。
【难度系数】
0.6
解题时先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，求出BC的长度和∠B的度数。由于点D在直线AB上，需分两种情况讨论：①点D在线段AB上；②点D在AB的延长线上，分别结合三角形内角和定理以及特殊角度直角三角形的性质计算BD的长度，进而求出AD的长。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
∴ BC = ½AB = 4，∠ABC = 180°-90°-30°=60°。
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
∵ ∠BCD=30°，
∴ ∠BDC = 180°-∠ABC-∠BCD = 180°-60°-30°=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴ BD = ½BC = ½×4=2，
∴ AD = AB - BD = 8 - 2 = 6；
② 当点D在AB的延长线上时：
∠CBD = 180°-∠ABC = 180°-60°=120°，
又
∵ ∠BCD=30°，
∴ ∠CDB = 180°-∠CBD-∠BCD = 180°-120°-30°=30°，
∴ ∠CDB=∠BCD，
∴ BD=BC=4，
∴ AD = AB + BD = 8 + 4 = 12。
综上，AD的长为6或12。
【答案】
6或12
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，分类讨论思想，三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略“点D在直线AB上”的条件，仅考虑D在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意直线、线段的区别，结合特殊三角形的性质分类计算即可。
【难度系数】
0.6
