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课标新变化＞＞＞回归教材 等腰三角形中相等的线段
(人教八上$P_{89}$数学活动3改编)综合探究:探索等腰三角形中相等的线段.
【问题情境】数学活动课上,老师提出了一个问题:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?
【问题初探】
(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形,如图1.在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为$E$,$F$.经过合作,该小组的同学得出的结论是$DE=DF$,并且展示了他们的证法如下:
证明:$\because DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,$\therefore ∠ DEB = ∠ DFC = 90°$.
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B = ∠ C$(依据1).
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases} ∠ DEB = ∠ DFC, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CD, \end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CDF$(依据2).$\therefore DE=DF$.
①请写出依据1和依据2的内容:
依据1:
②请你应用图2写出一种不 同 于希望小组的证法.
【类比探究】
(2)奋斗小组的同学认真研究过后,发现以下两个正确结论:①在图3中,若$DE$,$DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的中线,那么$DE=DF$仍然成立.②在图4中,若$DE$,$DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的角平分线,那么$DE=DF$仍然成立.请你选择其中一个结论,写出证明过程.
(3)未来小组的同学经过探究又有新的发现,在(1)的条件下,如果在等腰三角形$ABC$中,作腰$AB$上的高$CG$,如图5,那么$CG$与$DE$有确定的数量关系,请你直接写出这个数量关系为
(人教八上$P_{89}$数学活动3改编)综合探究:探索等腰三角形中相等的线段.
【问题情境】数学活动课上,老师提出了一个问题:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?
【问题初探】
(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形,如图1.在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为$E$,$F$.经过合作,该小组的同学得出的结论是$DE=DF$,并且展示了他们的证法如下:
证明:$\because DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,$\therefore ∠ DEB = ∠ DFC = 90°$.
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B = ∠ C$(依据1).
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases} ∠ DEB = ∠ DFC, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CD, \end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CDF$(依据2).$\therefore DE=DF$.
①请写出依据1和依据2的内容:
依据1:
等边对等角
;依据2:AAS
.②请你应用图2写出一种
【类比探究】
(2)奋斗小组的同学认真研究过后,发现以下两个正确结论:①在图3中,若$DE$,$DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的中线,那么$DE=DF$仍然成立.②在图4中,若$DE$,$DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的角平分线,那么$DE=DF$仍然成立.请你选择其中一个结论,写出证明过程.
(3)未来小组的同学经过探究又有新的发现,在(1)的条件下,如果在等腰三角形$ABC$中,作腰$AB$上的高$CG$,如图5,那么$CG$与$DE$有确定的数量关系,请你直接写出这个数量关系为
$CG=2DE$
.答案
(1)① 依据1: 等边对等角 依据2: AAS
② 证明:如图,连接 AD.
$\because AB = AC$,$D$ 是 $BC$ 的中点,
$\therefore AD$ 平分 $∠BAC$.
又 $\because DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,$\therefore DE = DF$.
(2) 解:选择①. 证明如下:
$\because AB = AC$,$D$ 是 $BC$ 的中点,
$\therefore AD$ 平分 $∠BAC$,即 $∠DAE = ∠DAF$.
$\because DE,DF$ 分别为 $△ABD$ 和 $△ACD$ 的中线,
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$,$AF = \frac{1}{2}AC. \therefore AE = AF$.
又 $\because AD = AD$,$\therefore △ADE ≌ △ADF(\mathrm{SAS}). \therefore DE = DF$.
选择②. 证明如下:
$\because AB = AC$,$D$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore AD ⊥ BC$,$BD = CD$,$∠B = ∠C$.
$\therefore ∠ADB = ∠ADC = 90°$.
$\because DE,DF$ 分别为 $△ABD$ 和 $△ACD$ 的角平分线,
$\therefore ∠BDE = \frac{1}{2}∠ADB = 45°$,$∠CDF = \frac{1}{2}∠ADC = 45°$.
$\therefore ∠BDE = ∠CDF. \therefore △BDE ≌ △CDF(\mathrm{ASA})$.
$\therefore DE = DF$.
(①②选其一即可)
(3) $CG = 2DE$
解析
【分析】
(1)① 依据1：由等腰三角形两腰相等推出两底角相等，对应等腰三角形“等边对等角”的性质；依据2：两个三角形中两组角对应相等，且其中一组等角的对边相等，符合全等三角形的AAS判定定理。
② 要换不同于证△BDE和△CDF全等的方法，可连接AD，利用等腰三角形三线合一的性质，得AD是∠BAC的角平分线，再结合角平分线上的点到角两边的距离相等，即可直接证明DE=DF。
(2) 若选结论①：先利用等腰三角形三线合一得AD平分∠BAC，再结合中线的性质得AE=AF，最后通过SAS证明△ADE≌△ADF即可推出DE=DF；若选结论②：先由等腰三角形性质得∠B=∠C、BD=CD、AD⊥BC，再结合角平分线的定义得∠BDE=∠CDF，通过ASA证明△BDE≌△CDF即可推出DE=DF。
(3) 可通过面积法推导：将△ABC的面积用两种方式表示，一是用腰AB和腰上的高CG计算，二是拆分为△ABD和△ACD的面积和，结合AB=AC、DE=DF的条件化简，即可得到CG和DE的数量关系。
【解析】
(1)① 根据等腰三角形性质和全等三角形判定定理，可知：
依据1为等边对等角，依据2为AAS（角角边）判定定理。
② 证明：连接AD后，由等腰三角形三线合一得AD为角平分线，再根据角平分线的性质即可证得DE=DF。
(2) 若选结论①，通过SAS证明△ADE和△ADF全等，对应边DE=DF；若选结论②，通过ASA证明△BDE和△CDF全等，对应边DE=DF。
(3) 设腰长为$a$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}a·CG$，同时$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}a·DE+\frac{1}{2}a·DF$，结合DE=DF，化简可得$CG=2DE$。
【答案】
(1)① 依据1: 等边对等角 依据2: AAS
② 证明:如图,连接 AD.
$\because AB = AC$,$D$ 是 $BC$ 的中点,
$\therefore AD$ 平分 $∠BAC$.
又 $\because DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,$\therefore DE = DF$.
(2) 选择①. 证明如下:
$\because AB = AC$,$D$ 是 $BC$ 的中点,
$\therefore AD$ 平分 $∠BAC$,即 $∠DAE = ∠DAF$.
$\because DE,DF$ 分别为 $△ABD$ 和 $△ACD$ 的中线,
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$,$AF = \frac{1}{2}AC. \therefore AE = AF$.
又 $\because AD = AD$,$\therefore △ADE ≌ △ADF(\mathrm{SAS}). \therefore DE = DF$.
选择②. 证明如下:
$\because AB = AC$,$D$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore AD ⊥ BC$,$BD = CD$,$∠B = ∠C$.
$\therefore ∠ADB = ∠ADC = 90°$.
$\because DE,DF$ 分别为 $△ABD$ 和 $△ACD$ 的角平分线,
$\therefore ∠BDE = \frac{1}{2}∠ADB = 45°$,$∠CDF = \frac{1}{2}∠ADC = 45°$.
$\therefore ∠BDE = ∠CDF. \therefore △BDE ≌ △CDF(\mathrm{ASA})$.
$\therefore DE = DF$.
(①②选其一即可)
(3) $CG = 2DE$
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题围绕等腰三角形中的相等线段设计分层探究问题，既考查了基础几何定理的识记与直接应用，又引导学生通过类比迁移的方法拓展结论，同时渗透了面积法等常用几何解题思想，能有效锻炼逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)① 依据1：由等腰三角形两腰相等推出两底角相等，对应等腰三角形“等边对等角”的性质；依据2：两个三角形中两组角对应相等，且其中一组等角的对边相等，符合全等三角形的AAS判定定理。
② 要换不同于证△BDE和△CDF全等的方法，可连接AD，利用等腰三角形三线合一的性质，得AD是∠BAC的角平分线，再结合角平分线上的点到角两边的距离相等，即可直接证明DE=DF。
(2) 若选结论①：先利用等腰三角形三线合一得AD平分∠BAC，再结合中线的性质得AE=AF，最后通过SAS证明△ADE≌△ADF即可推出DE=DF；若选结论②：先由等腰三角形性质得∠B=∠C、BD=CD、AD⊥BC，再结合角平分线的定义得∠BDE=∠CDF，通过ASA证明△BDE≌△CDF即可推出DE=DF。
(3) 可通过面积法推导：将△ABC的面积用两种方式表示，一是用腰AB和腰上的高CG计算，二是拆分为△ABD和△ACD的面积和，结合AB=AC、DE=DF的条件化简，即可得到CG和DE的数量关系。
【解析】
(1)① 根据等腰三角形性质和全等三角形判定定理，可知：
依据1为等边对等角，依据2为AAS（角角边）判定定理。
② 证明：连接AD后，由等腰三角形三线合一得AD为角平分线，再根据角平分线的性质即可证得DE=DF。
(2) 若选结论①，通过SAS证明△ADE和△ADF全等，对应边DE=DF；若选结论②，通过ASA证明△BDE和△CDF全等，对应边DE=DF。
(3) 设腰长为$a$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}a·CG$，同时$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}a·DE+\frac{1}{2}a·DF$，结合DE=DF，化简可得$CG=2DE$。
【答案】
(1)① 依据1: 等边对等角 依据2: AAS
② 证明:如图,连接 AD.
$\because AB = AC$,$D$ 是 $BC$ 的中点,
$\therefore AD$ 平分 $∠BAC$.
又 $\because DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,$\therefore DE = DF$.
(2) 选择①. 证明如下:
$\because AB = AC$,$D$ 是 $BC$ 的中点,
$\therefore AD$ 平分 $∠BAC$,即 $∠DAE = ∠DAF$.
$\because DE,DF$ 分别为 $△ABD$ 和 $△ACD$ 的中线,
$\therefore AE = \frac{1}{2}AB$,$AF = \frac{1}{2}AC. \therefore AE = AF$.
又 $\because AD = AD$,$\therefore △ADE ≌ △ADF(\mathrm{SAS}). \therefore DE = DF$.
选择②. 证明如下:
$\because AB = AC$,$D$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore AD ⊥ BC$,$BD = CD$,$∠B = ∠C$.
$\therefore ∠ADB = ∠ADC = 90°$.
$\because DE,DF$ 分别为 $△ABD$ 和 $△ACD$ 的角平分线,
$\therefore ∠BDE = \frac{1}{2}∠ADB = 45°$,$∠CDF = \frac{1}{2}∠ADC = 45°$.
$\therefore ∠BDE = ∠CDF. \therefore △BDE ≌ △CDF(\mathrm{ASA})$.
$\therefore DE = DF$.
(①②选其一即可)
(3) $CG = 2DE$
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题围绕等腰三角形中的相等线段设计分层探究问题，既考查了基础几何定理的识记与直接应用，又引导学生通过类比迁移的方法拓展结论，同时渗透了面积法等常用几何解题思想，能有效锻炼逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
