第10课 轴对称章末复习
知识体系构建

轴对称
├─图形的轴对称
│ ├─轴对称及其性质
│ ├─画轴对称的图形
│ │ ├─点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是①
│ │ └─点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是②
│ └─用坐标表示轴对称
├─垂直平分线
│ ├─定义
│ ├─性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离③
│ ├─判定：与线段两个端点距离④的点在这条线段的垂直平分线上
│ └─尺规作图
├─等腰三角形
│ ├─性质：两腰相等，等边对等角，三线合一
│ └─判定：等角对等边
└─等边三角形
├─性质：三边相等，三个角都相等，都等于⑤°，三线合一
├─判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都⑥的三角形是等边三角形；有一个角是⑦°的等腰三角形是等边三角形
└─推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的⑧
逆命题
逆定理

1. (x，-y)
2. (-x，y)
3. 相等
4. 相等
5. 60
6. 相等
7. 60
8. 一半

【分析】
本题是轴对称章节的基础概念识记类填空题，逐一对应知识点思考即可：
1. 坐标轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标取相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，据此填①②；
2. 线段垂直平分线的性质和判定互为逆定理，性质是线上的点到线段两端距离相等，判定是到两端距离相等的点在垂直平分线上，据此填③④；
3. 等边三角形内角和为180°，三个角相等，故每个角为60°，对应填⑤；等边三角形的判定规则：三个角相等的三角形是等边三角形、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，据此填⑥⑦；
4. 直角三角形中30°锐角的性质是其对的直角边为斜边的一半，据此填⑧。
【解析】
①点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数，故为$\boldsymbol{(x,-y)}$；
②点关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标互为相反数，故为$\boldsymbol{(-x,y)}$；
③根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，故填$\boldsymbol{相等}$；
④根据线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故填$\boldsymbol{相等}$；
⑤等边三角形三个内角相等，结合三角形内角和为180°，得每个角为$180°÷3=60°$，故填$\boldsymbol{60}$；
⑥根据等边三角形的判定规则：三个角都相等的三角形是等边三角形，故填$\boldsymbol{相等}$；
⑦根据等边三角形的判定规则：有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，故填$\boldsymbol{60}$；
⑧根据直角三角形的特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的一半，故填$\boldsymbol{一半}$。
【答案】
①$(x,-y)$；②$(-x,y)$；③相等；④相等；⑤$60$；⑥相等；⑦$60$；⑧一半
【知识点】
1. 轴对称的坐标变换
2. 线段垂直平分线的性质与判定
3. 特殊三角形的性质与判定
【点评】
本题均为轴对称章节的核心基础识记知识点，是解决轴对称相关几何综合题的前提，需要学生熟练记忆、准确掌握。
【难度系数】
0.9

1. (2025淮安)下列交通标志中,属于轴对称图形的是 ()

1. C

【分析】
要判断哪个交通标志是轴对称图形，首先明确轴对称图形的判定标准：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。我们只需将四个选项的标志逐一对照这个标准检验，排除找不到符合要求对称轴的选项，最终锁定符合条件的答案即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义：平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
对各选项逐一分析：
选项A：环岛行驶标志，不存在能让图形折叠后两边完全重合的直线，不是轴对称图形；
选项B：向右转弯标志，无符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
选项C：向左和向右转弯标志，沿过图形中心的竖直直线折叠，左右两侧部分可完全重合，是轴对称图形；
选项D：直行和向右转弯标志，无符合要求的对称轴，不是轴对称图形。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形定义，轴对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对轴对称图形特征的掌握，解题时要仔细观察每个标志的图案细节，结合定义判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.9

2. 在平面直角坐标系中，点$P(2, -3)$关于$x$轴对称的点$P'$的坐标是（）

A.$(-2, -3)$
B.$(-2, 3)$
C.$(2, -3)$
D.$(2, 3)$

2. D

【分析】
本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律，解题思路如下：第一步先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：两个点关于x轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标互为相反数；第二步将已知点P的坐标代入规律，分别计算对称点的横、纵坐标；最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点P的坐标为$(2,-3)$，因此点P关于x轴对称的点$P'$的横坐标与P一致，为$2$；纵坐标为$-3$的相反数，即$3$。
故$P'$的坐标为$(2,3)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 相反数的概念
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查坐标对称规律的记忆与应用，熟练掌握不同对称轴对应的坐标变化规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

3. 如图,在△ABC中,点D在BC上,AB = AC = CD,BD = AD,则∠C的大小为 ()

A.$30°$
B.$32°$
C.$36°$
D.$45°$

3. C

【分析】
解题时可先利用“等边对等角”的性质，梳理图中相等边对应的相等角关系，设∠C的度数为x，用含x的式子表示出△ABC三个内角的度数，再根据三角形内角和为180°列方程求解即可。首先由AB=AC可得∠B=∠C，由BD=AD可得∠B=∠BAD，再利用三角形外角性质得到∠ADC=2∠B，结合AC=CD得到∠CAD=∠ADC，最后把△ABC的三个内角都用x表示，列方程计算即可。
【解析】
设∠C = x°，
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = x°，
∵ BD = AD，
∴ ∠BAD = ∠B = x°，
根据三角形外角的性质，∠ADC = ∠B + ∠BAD = 2x°，
∵ AC = CD，
∴ ∠CAD = ∠ADC = 2x°，
∴ ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = x° + 2x° = 3x°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，
代入得：x + x + 3x = 180，
解得x = 36，即∠C = 36°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常规题型，核心是利用“等边对等角”转化角的相等关系，结合三角形内角和、外角性质建立角度之间的数量关系，通过设未知数列方程的方法求解，解题的关键是理清各个角之间的和差、相等关系。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在正方形网格中有E,F两点,在直线$l$上求一点$P$,使$PE + PF$最短,则点$P$应选 ()


A.点A
B.点B
C.点C
D.点D

4. C

【分析】
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：首先明确E、F两点在直线l的同侧，要在直线l上找一点使PE+PF最短，需要利用轴对称的性质将同侧点转化为异侧点，再依据“两点之间线段最短”，连接转化后的两点，线段与直线l的交点即为所求的点P，最后判断交点对应的点即可。
【解析】
已知E、F在直线l的同侧，作点E关于直线l的对称点E'，根据轴对称的性质，对直线l上任意一点P都有PE=PE'，因此PE+PF=PE'+PF。
根据两点之间线段最短，当E'、P、F三点共线时，PE'+PF的长度最小，即PE+PF取得最小值。
连接E'F，观察网格可得线段E'F与直线l的交点为点C，因此点P应选点C。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，轴对称的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径模型的基础应用题，核心是掌握同侧两点到直线上一点距离和最小的转化方法，通过轴对称将问题转化为异侧两点线段最短问题即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5. 若等腰三角形的周长是20 cm，一腰长为7 cm，
则这个三角形的底边长是 cm.

5. 6

【分析】首先回忆等腰三角形的基本性质：等腰三角形的两条腰长度相等。三角形的周长是三条边的长度之和，因此要求底边长，只需用周长减去两条腰的长度即可，最后需要验证得到的三边长是否满足三角形三边关系，确保可以构成合法的三角形。
【解析】
解：
∵等腰三角形的两条腰长度相等，已知一腰长为7 cm，
∴另一条腰的长度也为7 cm。
根据三角形周长公式：周长=2×腰长+底边长，已知周长为20 cm，
∴底边长=周长-2×腰长=20-2×7=6（cm）。
验证：三边长为7 cm、7 cm、6 cm，满足7+7＞6、7+6＞7，符合三角形三边关系，结果有效。
【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质；三角形周长计算；三角形三边关系
【点评】本题是基础概念应用题，直接考查等腰三角形性质的简单运用，解题时养成验证三边合法性的习惯，可避免后续遇到多解题型时出错。
【难度系数】0.9

6.命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是.
（用“如果……那么……”的形式表示）

6. 如果一个三角形是等边三角形,那么这个三角形的三个角都相等

【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先需要明确原命题的条件（题设）和结论。首先对原命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行拆分：条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”。根据逆命题的定义，只需将原命题的条件和结论互换位置，再整理为“如果……那么……”的形式即可。
【解析】
第一步：拆分原命题的条件和结论，先将原命题改写为“如果……那么……”的形式：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形。
第二步：根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换，整理后即可得到要求的逆命题。
【答案】
如果一个三角形是等边三角形,那么这个三角形的三个角都相等
【知识点】
逆命题的定义，命题的改写
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查逆命题的改写方法，解题核心是准确区分原命题的条件和结论，互换后规范表述即可，难度较低。
【难度系数】
0.9