登录
7. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°$,以点A为圆心,小于AC的长为半径作弧,交AC,AB于点M,N;分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线AP,交BC于点D,过点D作$DE ⊥ BC$,交AB于点E,若$DE = 3$,$∠ B = 30°$,则AB的长为
9
.答案
7. 9
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出AD是∠BAC的角平分线；接着观察到AC和DE都垂直于BC，可推出AC//DE，结合角平分线的结论得到相等的角，进而推出AE=DE；最后在Rt△BDE中利用30°角对应的直角三角形性质求出BE的长度，将AE和BE相加即可得到AB的长度。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，射线AP是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC，因此$∠ CAD=∠ BAD$。
2. 已知$∠ C=90°$，故$AC⊥ BC$，又$DE⊥ BC$，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$AC// DE$。
3. 由两直线平行，内错角相等，得$∠ CAD=∠ ADE$，结合$∠ CAD=∠ BAD$，可推出$∠ BAD=∠ ADE$，根据等角对等边，得$AE=DE=3$。
4. 在$Rt△ BDE$中，$∠ B=30°$，$∠ EDB=90°$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$BE=2DE=2×3=6$。
5. 因此$AB=AE+BE=3+6=9$。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的尺规作图；平行线的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题综合考查了基础几何知识点的应用，解题的关键是准确识别尺规作图的类型，再结合平行线、等腰三角形、直角三角形的相关性质逐步推导，对学生的基础知识点综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出AD是∠BAC的角平分线；接着观察到AC和DE都垂直于BC，可推出AC//DE，结合角平分线的结论得到相等的角，进而推出AE=DE；最后在Rt△BDE中利用30°角对应的直角三角形性质求出BE的长度，将AE和BE相加即可得到AB的长度。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，射线AP是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC，因此$∠ CAD=∠ BAD$。
2. 已知$∠ C=90°$，故$AC⊥ BC$，又$DE⊥ BC$，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$AC// DE$。
3. 由两直线平行，内错角相等，得$∠ CAD=∠ ADE$，结合$∠ CAD=∠ BAD$，可推出$∠ BAD=∠ ADE$，根据等角对等边，得$AE=DE=3$。
4. 在$Rt△ BDE$中，$∠ B=30°$，$∠ EDB=90°$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$BE=2DE=2×3=6$。
5. 因此$AB=AE+BE=3+6=9$。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的尺规作图；平行线的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题综合考查了基础几何知识点的应用，解题的关键是准确识别尺规作图的类型，再结合平行线、等腰三角形、直角三角形的相关性质逐步推导，对学生的基础知识点综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
三、解答题
8. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为(2,1),(-1,3),(-3,2).
(1) 在图中作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'(点A,B,C的对称点分别为A',B',C');
(2) 写出点A',B',C'的坐标:A'
(3)求△ABC的面积.
8. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为(2,1),(-1,3),(-3,2).
(1) 在图中作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'(点A,B,C的对称点分别为A',B',C');
(2) 写出点A',B',C'的坐标:A'
(2,-1)
, B'(-1,-3)
, C'(-3,-2)
;(3)求△ABC的面积.
答案
8. 解:(1) △A'B'C'如图所示.
(2) A'(2,-1) B'(-1,-3) C'(-3,-2)
(3) $S_{△ABC} = 2 × 5 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 2 × 3 - \frac{1}{2} × 1 × 5 = \frac{7}{2}$
解析
【分析】
(1) 要作△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，先确定A、B、C三点的对称点坐标，再在坐标系中描出这三个点，依次连接即可得到所求图形。
(2) 直接应用关于x轴对称的点的坐标规律，将三个点的纵坐标取相反数、横坐标保持不变，就能写出A'、B'、C'的坐标。
(3) 网格中求不规则三角形的面积，常用割补法：先找到包含△ABC的最小矩形，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 首先计算A、B、C三点关于x轴的对称点坐标，在平面直角坐标系中描出A'、B'、C'三点，再顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，即可得到△A'B'C'。
(2) 已知A(2,1)、B(-1,3)、C(-3,2)，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此：
A'的坐标为(2,-1)，B'的坐标为(-1,-3)，C'的坐标为(-3,-2)。
(3) 用割补法计算△ABC的面积：
首先取包含△ABC的矩形，该矩形横向长度为$2-(-3)=5$，纵向高度为$3-1=2$，矩形面积$=5×2=10$。
再计算矩形中△ABC周围三个直角三角形的面积：
第一个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×2=1$；
第二个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×3=3$；
第三个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×5=2.5$；
因此$S_{△ABC}=10 - 1 - 3 - 2.5=\frac{7}{2}$。
【答案】
(1)
(2) $(2,-1)$；$(-1,-3)$；$(-3,-2)$
(3) $\frac{7}{2}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征，轴对称作图，割补法求图形面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，重点考查轴对称变换的性质和网格中不规则图形面积的计算方法，掌握坐标对称规律和割补法的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要作△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，先确定A、B、C三点的对称点坐标，再在坐标系中描出这三个点，依次连接即可得到所求图形。
(2) 直接应用关于x轴对称的点的坐标规律，将三个点的纵坐标取相反数、横坐标保持不变，就能写出A'、B'、C'的坐标。
(3) 网格中求不规则三角形的面积，常用割补法：先找到包含△ABC的最小矩形，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 首先计算A、B、C三点关于x轴的对称点坐标，在平面直角坐标系中描出A'、B'、C'三点，再顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，即可得到△A'B'C'。
(2) 已知A(2,1)、B(-1,3)、C(-3,2)，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此：
A'的坐标为(2,-1)，B'的坐标为(-1,-3)，C'的坐标为(-3,-2)。
(3) 用割补法计算△ABC的面积：
首先取包含△ABC的矩形，该矩形横向长度为$2-(-3)=5$，纵向高度为$3-1=2$，矩形面积$=5×2=10$。
再计算矩形中△ABC周围三个直角三角形的面积：
第一个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×2=1$；
第二个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×3=3$；
第三个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×5=2.5$；
因此$S_{△ABC}=10 - 1 - 3 - 2.5=\frac{7}{2}$。
【答案】
(1)
(2) $(2,-1)$；$(-1,-3)$；$(-3,-2)$
(3) $\frac{7}{2}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征，轴对称作图，割补法求图形面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，重点考查轴对称变换的性质和网格中不规则图形面积的计算方法，掌握坐标对称规律和割补法的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,$AC=4$.
(1)请用直尺和圆规,作出$AC$的垂直平分线$DE$,交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若$∠ C=60°$,连接$AE$,求$△ AEC$的周长.
(1)请用直尺和圆规,作出$AC$的垂直平分线$DE$,交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若$∠ C=60°$,连接$AE$,求$△ AEC$的周长.
答案
9. 解:(1) 如图,DE即为所求.
(2)
∵ DE垂直平分AC,
∴ EA = EC.
∵ ∠C=60°,
∴ △AEC是等边三角形.
∴ EA = EC = AC =4.
∴ △AEC的周长为12.
解析
【分析】
(1) 作AC的垂直平分线时，遵循线段垂直平分线的尺规作图规则即可：分别以A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，连接两点的直线就是AC的垂直平分线，按要求保留作图痕迹即可。
(2) 求△AEC的周长时，首先利用线段垂直平分线的性质得到EA=EC，确定△AEC为等腰三角形，再结合已知∠C=60°，根据等边三角形的判定定理可推出△AEC是等边三角形，得到三边长度均等于AC的长度，进而计算出周长。
【解析】
(1) 按照尺规作图要求作出的DE即为所求，作图痕迹保留，如下图所示：
(2) 推导过程如下：
∵ DE垂直平分AC，点E在DE上，
∴ 根据垂直平分线的性质可得$EA = EC$，即△AEC为等腰三角形。
又
∵ $∠ C=60°$，
∴ 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即△AEC是等边三角形，
∴ $EA = EC = AC =4$，
∴ △AEC的周长为$EA+EC+AC=4+4+4=12$。
【答案】
(1) 如图，DE即为所求。
(2) △AEC的周长为$\boxed{12}$。
【知识点】
线段垂直平分线作图，垂直平分线的性质，等边三角形判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，既考察了尺规作图的操作能力，也考察了核心几何性质的应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定规则，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
(1) 作AC的垂直平分线时，遵循线段垂直平分线的尺规作图规则即可：分别以A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，连接两点的直线就是AC的垂直平分线，按要求保留作图痕迹即可。
(2) 求△AEC的周长时，首先利用线段垂直平分线的性质得到EA=EC，确定△AEC为等腰三角形，再结合已知∠C=60°，根据等边三角形的判定定理可推出△AEC是等边三角形，得到三边长度均等于AC的长度，进而计算出周长。
【解析】
(1) 按照尺规作图要求作出的DE即为所求，作图痕迹保留，如下图所示：
(2) 推导过程如下：
∵ DE垂直平分AC，点E在DE上，
∴ 根据垂直平分线的性质可得$EA = EC$，即△AEC为等腰三角形。
又
∵ $∠ C=60°$，
∴ 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即△AEC是等边三角形，
∴ $EA = EC = AC =4$，
∴ △AEC的周长为$EA+EC+AC=4+4+4=12$。
【答案】
(1) 如图，DE即为所求。
(2) △AEC的周长为$\boxed{12}$。
【知识点】
线段垂直平分线作图，垂直平分线的性质，等边三角形判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，既考察了尺规作图的操作能力，也考察了核心几何性质的应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定规则，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
10. 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ BAC = 100°$,BD平分$∠ ABC$,且$BD = AB$,连接$AD$,$DC$.
(1)求证:$∠ CAD = ∠ DBC$;
(2)求$∠ BDC$的度数.
(1)求证:$∠ CAD = ∠ DBC$;
(2)求$∠ BDC$的度数.
答案
(1)证明:
∵ AB = AC, ∠BAC = 100°,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 40°.
∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠DBC = 20°.
∵ BD = AB,
∴ ∠ADB = ∠DAB = 80°.
∴ ∠CAD = 20°.
∴ ∠CAD = ∠DBC.
(2)解:如图,延长AD到点E,使得AE = BC,连接CE.
∵ BD = AB = AC, ∠CAD = ∠DBC, BC = AE,
∴ △DBC≌△CAE(SAS).
∴ CD = CE, ∠BDC = ∠ACE.
∴ ∠CDE = ∠CED.
设∠CDE = ∠CED = α.
∵ ∠ADB = 80°, ∠CAD = 20°,
∴ ∠BDE = 100°.
∴ ∠BDC = ∠ACE = 100°+α.
∴ 在△ACE中,20°+100°+α+α = 180°.
∴ α = 30°.
∴ ∠BDC = 100°+30° = 130°.
解析
【分析】
(1)要证明∠CAD=∠DBC，首先利用等腰△ABC的已知顶角求出底角∠ABC的度数，结合角平分线性质得到∠DBC的度数；再根据AB=BD求出△ABD的底角∠BAD，用∠BAC减去∠BAD得到∠CAD的度数，对比两个角度数即可完成证明。
(2)求∠BDC的度数时，直接推导难度较大，可通过构造全等三角形转化角的关系：延长AD到E使AE=BC，连接CE，结合(1)的结论和已知等边条件证明△DBC≌△CAE，得到对应边、对应角相等，再设未知角利用三角形内角和定理列方程求解，即可得到∠BDC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵ $AB = AC$，$∠BAC = 100°$，
∴ $∠ABC = ∠ACB = \frac{180°-100°}{2}=40°$，
∵ BD平分$∠ABC$，
∴ $∠ABD = ∠DBC = \frac{40°}{2}=20°$，
∵ $BD = AB$，
∴ $∠ADB = ∠DAB = \frac{180°-20°}{2}=80°$，
∴ $∠CAD = ∠BAC - ∠DAB = 100°-80°=20°$，
∴ $∠CAD = ∠DBC$。
(2)解：如图，延长AD到点E，使得$AE = BC$，连接CE。
∵ $BD = AB = AC$，$∠CAD = ∠DBC$，$BC = AE$，
∴ $△DBC≌△CAE(\mathrm{SAS})$，
∴ $CD = CE$，$∠BDC = ∠ACE$，
∴ $∠CDE = ∠CED$，
设$∠CDE = ∠CED = α$，
∵ $∠ADB = 80°$，
∴ $∠BDE = 180°-∠ADB = 100°$，
∴ $∠BDC = ∠ACE = 100°+α$，
在$△ACE$中，根据三角形内角和为180°可得：
$20°+(100°+α)+α=180°$，
解得$α=30°$，
∴ $∠BDC = 100°+30°=130°$。
【答案】
(1) 已证$∠CAD = ∠DBC$；
(2) $∠BDC$的度数为$130°$。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题第一问属于基础题型，重点考查等腰三角形角度计算和角平分线的性质；第二问难度有所提升，核心是通过构造全等三角形实现边角关系的转化，解题关键是合理作出辅助线，将待求角与已知条件关联，能有效锻炼几何逻辑思维和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
(1)要证明∠CAD=∠DBC，首先利用等腰△ABC的已知顶角求出底角∠ABC的度数，结合角平分线性质得到∠DBC的度数；再根据AB=BD求出△ABD的底角∠BAD，用∠BAC减去∠BAD得到∠CAD的度数，对比两个角度数即可完成证明。
(2)求∠BDC的度数时，直接推导难度较大，可通过构造全等三角形转化角的关系：延长AD到E使AE=BC，连接CE，结合(1)的结论和已知等边条件证明△DBC≌△CAE，得到对应边、对应角相等，再设未知角利用三角形内角和定理列方程求解，即可得到∠BDC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵ $AB = AC$，$∠BAC = 100°$，
∴ $∠ABC = ∠ACB = \frac{180°-100°}{2}=40°$，
∵ BD平分$∠ABC$，
∴ $∠ABD = ∠DBC = \frac{40°}{2}=20°$，
∵ $BD = AB$，
∴ $∠ADB = ∠DAB = \frac{180°-20°}{2}=80°$，
∴ $∠CAD = ∠BAC - ∠DAB = 100°-80°=20°$，
∴ $∠CAD = ∠DBC$。
(2)解：如图，延长AD到点E，使得$AE = BC$，连接CE。
∵ $BD = AB = AC$，$∠CAD = ∠DBC$，$BC = AE$，
∴ $△DBC≌△CAE(\mathrm{SAS})$，
∴ $CD = CE$，$∠BDC = ∠ACE$，
∴ $∠CDE = ∠CED$，
设$∠CDE = ∠CED = α$，
∵ $∠ADB = 80°$，
∴ $∠BDE = 180°-∠ADB = 100°$，
∴ $∠BDC = ∠ACE = 100°+α$，
在$△ACE$中，根据三角形内角和为180°可得：
$20°+(100°+α)+α=180°$，
解得$α=30°$，
∴ $∠BDC = 100°+30°=130°$。
【答案】
(1) 已证$∠CAD = ∠DBC$；
(2) $∠BDC$的度数为$130°$。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题第一问属于基础题型，重点考查等腰三角形角度计算和角平分线的性质；第二问难度有所提升，核心是通过构造全等三角形实现边角关系的转化，解题关键是合理作出辅助线，将待求角与已知条件关联，能有效锻炼几何逻辑思维和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
