1.【例】(人教八上$P_{94}$综合与实践改编)综合与实践:在一片广阔的草原上,生活着一位勤劳的牧民.他的日常活动涉及马匹饮水、在草原上放牧以及往返于不同地点,而这些活动中存在着许多与最短路径相关的问题,需要巧妙运用数学知识来规划最优路线.
(1)【初步认知】如图1,在直线$l$上找一点$P$,使得$PA + PB$的和最小,依据是.
(2)【活动探究1】如图2,草原上有一条笔直的河流$l$,河流的一侧有牧民的蒙古包$A$和一处草料储存点$B$.现在牧民要从蒙古包$A$出发,先到河流$l$边让马饮水,然后前往草料储存点$B$.那么此时,在河流$l$上何处设置饮水点$M$,才能保证$AM + MB$的距离最短呢?在图2中画出点$M$的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
(3)【活动探究2】某天草料储存点$B$的草料吃完了,现在牧民要从蒙古包$A$出发,到河流$l$边让马饮水,然后带到草地边界$s$吃草,最后回到蒙古包$A$,如图3,请你替这位牧民设计出最短的放牧路线.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)【活动探究3】如图4,牧民想要在河流上修建一座垂直于河流的简易木桥$CD$,以便从蒙古包$A$经过木桥$CD$到位于河流另一侧的仓库$B$的路径$A—C—D—B$最短.画出示意图.

1.(1) 如图1,连接AB,AB与l的交点即为所求点P. 两点之间线段最短
1.(2) 如图2,点M即为所求.
1.(3) 如图3,最短的放牧路线为A→M→N→A.
1.(4) 如图4,过点A作AA'⊥a,使AA'等于河的宽度,连接A'B交b于点D,过点D作DC//AA'交a于点C,连接AC,BD,则A—C—D—B即为最短路径.

【分析】
（1）观察到点A、B在直线l的两侧，要找l上的点P使PA+PB最小，可依据“两点之间线段最短”，直接连接AB，AB与l的交点即为所求点P，此时PA+PB的和等于AB的长度，是最短的。
（2）此时A、B在直线l的同侧，无法直接用两点之间线段最短求解，可利用轴对称的性质，作点A关于直线l的对称点A'，此时直线l上任意点到A和A'的距离相等，即可将AM转化为A'M，那么AM+MB就转化为A'M+MB，再根据两点之间线段最短，连接A'B与l的交点就是所求的饮水点M。
（3）需要在l、s两条直线上各取一点，让往返A的总路径最短，可分别作A关于l、s的对称点A'、A''，此时AM=A'M、AN=A''N，总路径AM+MN+NA就转化为A'M+MN+A''N，当A'、M、N、A''四点共线时总长度最短，因此连接A'A''，与两条直线的交点就是路径上的取水点和吃草点。
（4）木桥CD垂直河岸，长度固定等于河宽，因此要让总路径最短，只需让AC+BD最短即可。将点A沿垂直河岸的方向平移河宽长度到A'，此时AC=A'D，AC+BD就转化为A'D+BD，再依据两点之间线段最短，连接A'B与河岸b的交点为D，过D作垂直河岸的桥即可得到最短路径。
【解析】
(1) 连接AB，线段AB与直线l的交点即为点P，此时PA+PB=AB，依据“两点之间线段最短”，该和为最小值。
(2) 作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点M，点M即为所求饮水点。
(3) 作点A关于直线l的对称点A'、关于直线s的对称点A''，连接A'A''，分别交l于M、交s于N，连接AM、AN，路线A→M→N→A即为最短放牧路线。
(4) 过点A作AA'垂直于河岸a，使AA'的长度等于河宽，连接A'B交河岸b于点D，过D作DC⊥b交a于点C，连接AC、BD，路径A—C—D—B即为最短路径。
【答案】
1.(1) 如图1,连接AB,AB与l的交点即为所求点P. 两点之间线段最短
1.(2) 如图2,点M即为所求.
1.(3) 如图3,最短的放牧路线为A→M→N→A.
1.(4) 如图4,过点A作AA'⊥a,使AA'等于河的宽度,连接A'B交b于点D,过点D作DC//AA'交a于点C,连接AC,BD,则A—C—D—B即为最短路径.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的应用，平移的应用
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了最短路径的四类常见模型，解题核心是通过轴对称、平移对线段进行等价转化，再结合“两点之间线段最短”的原理求解，能够锻炼数学建模和知识应用能力。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$BC = 6$,$S_{△ ABC} = 27$,直线$EF$垂直平分线段$AB$,若点$D$为边$BC$的中点,点$G$为直线$EF$上一动点,连接$DG$,$BG$,则$△ BDG$的周长的最小值为 ()

A.13
B.12
C.11
D.10

3. 如图,牧羊人从羊圈$A$地出发,先让羊群在草地$m$吃草,再让羊群去河流$l$饮水,再将羊群带到点$B$处休息.请你帮牧羊人确定最短的出行路线.

2. B
3. 解:如图,$AC + BD + CD = A'C + B'D + CD = A'B'$,故牧羊人应让羊群在点C处吃草,在点D处饮水,才能使他出行路线最短.

第2题
【分析】
要计算$△ BDG$周长的最小值，先拆分周长：$△ BDG$的周长$=BD+DG+BG$，其中$BD$是固定值，因此只需找到$DG+BG$的最小值即可。①首先根据$D$是$BC$中点算出$BD$的长度；②利用线段垂直平分线的性质，将$BG$等量转化为$AG$，则$DG+BG=DG+AG$；③根据两点之间线段最短，当$A$、$G$、$D$三点共线时，$DG+AG$的最小值就是$AD$的长度；④最后结合等腰三角形三线合一的性质和三角形面积公式求出$AD$，相加即可得到最小周长。
【解析】
解：$\because$点$D$是$BC$的中点，$BC=6$
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=3$，$△ BDG$的周长$=BD+DG+BG$，即求$DG+BG$的最小值即可得到周长最小值。
$\because$直线$EF$是$AB$的垂直平分线，点$G$在$EF$上
$\therefore BG=AG$，即$DG+BG=DG+AG$
根据两点之间线段最短，当$A$、$G$、$D$三点共线时，$DG+AG$取得最小值，最小值为$AD$的长度。
又$\because AB=AC$，$D$是$BC$中点，$\therefore AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一）
已知$S_{△ ABC}=27$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=27$，代入$BC=6$得：
$\frac{1}{2}×6× AD=27$，解得$AD=9$
$\therefore DG+BG$的最小值为$9$，$△ BDG$周长的最小值为$9+3=12$
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一、最短路径问题
【点评】
本题是最短路径的基础应用题型，核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条动线段的和的最小值转化为两点之间的线段长度，结合等腰三角形性质和面积公式计算即可。
【难度系数】
0.7
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第3题
【分析】
本题属于两线两点型最短路径问题，解题核心是利用轴对称将折线路径转化为两点之间的线段。①分别作点$A$关于草地边界$m$的对称点$A'$，点$B$关于河流边界$l$的对称点$B'$，根据轴对称性质，直线$m$上任意点到$A$、$A'$的距离相等，直线$l$上任意点到$B$、$B'$的距离相等；②连接$A'B'$，和$m$的交点就是吃草点$C$，和$l$的交点就是饮水点$D$，此时总路径长度等于$A'B'$的长度，由两点之间线段最短可知该路径是最短路径。
【解析】
解：步骤1：作点$A$关于直线$m$的对称点$A'$，作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$；
步骤2：连接$A'B'$，与直线$m$交于点$C$，与直线$l$交于点$D$；
步骤3：连接$AC$、$CD$、$DB$，路径$A\to C\to D\to B$就是最短出行路线。
理由：由轴对称性质得$AC=A'C$，$BD=B'D$，因此总路径长度$AC+CD+DB=A'C+CD+B'D=A'B'$，根据两点之间线段最短，该路径长度最短。
【答案】
如图,$AC + BD + CD = A'C + B'D + CD = A'B'$,故牧羊人应让羊群在点C处吃草,在点D处饮水,才能使他出行路线最短.
【知识点】
轴对称的性质、最短路径问题
【点评】
本题考查两次对称型的最短路径构造，解题关键是通过作对称点将多段折线路径的和转化为两点之间的线段，利用两点之间线段最短确定最优路径。
【难度系数】
0.6