1. 如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不正确的是 ()

A.∠B=∠C
B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC
D.AB=2BD

1. D

【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合等腰三角形的性质逐一分析各选项：①根据等腰三角形两底角相等可判断A选项；②D是BC中点，即AD是底边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”（底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合）可判断B、C选项；③AB是腰长，BD是底边的一半，一般等腰三角形中腰长和底边的一半没有固定的2倍关系，仅特殊等腰三角形才满足，据此可判断D选项的正误。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据“等边对等角”可得∠B=∠C，故A选项正确，不符合题意；
∵D是BC的中点，即AD是等腰△ABC底边上的中线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，故B、C选项正确，不符合题意；
对于D选项，仅当△ABC是等边三角形或∠B=30°等特殊情况时AB=2BD，一般等腰三角形中不存在该等量关系，故D选项错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质；三线合一
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的基本性质，解题时需注意区分一般等腰三角形和特殊等腰三角形的性质，不要将特殊情况的结论套用到一般情况中。
【难度系数】
0.9

2.（兰州中考）如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 130°$，$DA ⊥ AC$，则$∠ ADB =$（）

A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$

2. B

【分析】
本题属于等腰三角形角度计算类题目，解题思路如下：第一步，先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，计算出底角∠C的度数；第二步，由DA⊥AC得到∠DAC=90°，再利用三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可求出∠ADB的度数，也可先求∠ADC，再通过邻补角的关系计算∠ADB。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=25°+90°=115°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，核心考查等腰三角形性质与三角形角相关定理的综合应用，解题的关键是先准确求出等腰三角形底角的度数，再结合已知垂直条件推导目标角的度数，解题方法灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8

3. 若等腰三角形的一个角等于$80°$,则它的其余两个角的度数为.

3. 80°,20°或50°,50°

【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和为180°的定理。题目仅给出等腰三角形的一个角为80°，未说明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分类讨论，分别计算其余两个角的度数，最后验证两种情况是否都符合三角形内角和要求，避免漏解。
【解析】
已知等腰三角形的一个角为80°，分两种情况讨论：
1. 当80°的角为顶角时：
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得两个底角的度数均为：
$\frac{180° - 80°}{2} = 50°$
此时其余两个角为50°、50°。
2. 当80°的角为底角时：
等腰三角形两个底角相等，因此另一个底角也为80°，则顶角的度数为：
$180° - 80° × 2 = 20°$
此时其余两个角为80°、20°。
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
80°,20°或50°,50°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时遇到未明确说明等腰三角形的已知角是顶角还是底角的题目，一定要分情况讨论，最后还要验证结果是否符合三角形内角的取值要求。
【难度系数】
0.7

4. 如图，$AB = BC$，$BD ⊥ AC$ 于点 $D$，$∠ ABC = 50°$，$BE = DE$，则 $∠ AED$ 的度数为。

4. 50°

【分析】
解题时先从等腰三角形ABC的已知条件入手：AB=BC且BD⊥AC，根据等腰三角形三线合一的性质可推出BD是∠ABC的角平分线，先求出∠ABD的度数；再结合BE=DE可知△BED是等腰三角形，得到∠EBD=∠EDB，最后利用三角形外角的性质，即外角等于不相邻两个内角的和，即可求出∠AED的度数。
【解析】
解：
∵AB=BC，BD⊥AC，∠ABC=50°，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，BD平分∠ABC，
∴∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
又
∵BE=DE，
∴△BED为等腰三角形，∠EBD=∠EDB=25°。
∵∠AED是△BED的外角，
∴∠AED = ∠EBD + ∠EDB = 25° + 25° = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合三角形外角定理推导角度，这类题型是角度计算类的常见考法，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5. (人教八上 $\mathrm{P}_{84}$ 习题 $\mathrm{T}_{6}$ 改编)如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ A = 36°$,$AB$ 的垂直平分线交$AC$于点$E$,垂足为$D$,连接$BE$,求$∠ EBC$的度数.

5. 解:
∵ DE 垂直平分 AB,
∴ AE = BE.
∴ ∠ABE = ∠A = 36°.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 72°.
∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 72° - 36° = 36°.

【分析】
解题时首先从已知条件“AB的垂直平分线交AC于E”出发，回忆线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，进而推出∠ABE=∠A；再结合AB=AC可知△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和为180°，可算出底角∠ABC的度数；最后用∠ABC减去∠ABE即可求出∠EBC的度数。
【解析】
解：
∵ DE 垂直平分 AB，
∴ AE = BE，
∴ ∠ABE = ∠A = 36°。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = $\frac{1}{2}$×(180°-36°)=72°，
∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 72° - 36° = 36°。
【答案】
36°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线和等腰三角形的性质推导等角关系，再结合三角形内角和计算角度，是等腰三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,CD = $\frac{1}{2}$AB. 求证:∠ACB = 90°.

6. 证明:
∵ CD 是 AB 边上的中线,
∴ AD = BD = $\frac{1}{2}$AB.
∵ CD = $\frac{1}{2}$AB,
∴ CD = AD = BD.
∴ ∠A = ∠ACD,∠B = ∠BCD.
∵ ∠A + ∠ACB + ∠B = 180°,
∴ ∠A + ∠ACD + ∠BCD + ∠B = 180°.
∴ 2∠ACD + 2∠BCD = 180°.
∴ ∠ACD + ∠BCD = 90°,即∠ACB = 90°.

【分析】
解题时先从已知条件出发，首先根据CD是AB边上的中线，由中线定义可得AD、BD的长度均为AB的一半；再结合CD=$\frac{1}{2}$AB的条件，可推导出AD=CD=BD，即△ACD和△BCD均为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得到∠A=∠ACD、∠B=∠BCD两组等角。最后利用三角形内角和为180°的定理，将∠ACB拆分为∠ACD与∠BCD的和，代入角度等量关系进行代换计算，即可证明∠ACB为直角。
【解析】
证明：
∵ CD是AB边上的中线，
∴ 根据三角形中线的定义，得$AD = BD = \frac{1}{2}AB$。
又
∵ $CD = \frac{1}{2}AB$，
∴ $CD = AD = BD$，
∴ △ACD和△BCD均为等腰三角形，根据等边对等角的性质，得$∠ A = ∠ ACD$，$∠ B = ∠ BCD$。
∵ 在△ABC中，由三角形内角和定理得$∠ A + ∠ ACB + ∠ B = 180°$，且$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD$，
∴ $∠ A + ∠ ACD + ∠ BCD + ∠ B = 180°$，
将$∠ A = ∠ ACD$、$∠ B = ∠ BCD$代入上式，得$2∠ ACD + 2∠ BCD = 180°$，
等式两边同时除以2，得$∠ ACD + ∠ BCD = 90°$，即$∠ ACB = 90°$。
【答案】
证明:
∵ CD 是 AB 边上的中线,
∴ AD = BD = $\frac{1}{2}$AB.
∵ CD = $\frac{1}{2}$AB,
∴ CD = AD = BD.
∴ ∠A = ∠ACD,∠B = ∠BCD.
∵ ∠A + ∠ACB + ∠B = 180°,
∴ ∠A + ∠ACD + ∠BCD + ∠B = 180°.
∴ 2∠ACD + 2∠BCD = 180°.
∴ ∠ACD + ∠BCD = 90°,即∠ACB = 90°.
【知识点】
三角形中线定义；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础经典题型，考查多个基础几何性质的综合运用，解题核心是通过线段的等量关系转化得到角度的等量关系，再结合内角和定理完成角度推导，本题的结论可作为常用推论积累，可用于快速判定直角三角形。
【难度系数】
0.8

7.（推理能力）如图，在$△ ABC$中，$AB = BC$，$BE$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$E$，$AD ⊥ BC$于点$D$，交$BE$于点$H$，且$AD = BD$。
（1）求证：$∠ ABE = ∠ CAD$；
（2）判断线段$AB$与$BD$，$DH$之间的数量关系，并说明理由。

7. (1)证明:
∵ AB = BC,BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠CBE,BE⊥AC.
∴ ∠BEC = 90°.
∴ ∠C + ∠CBE = 90°.
又
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADC = ∠ADB = 90°.
∴ ∠C + ∠CAD = 90°.
∴ ∠CBE = ∠CAD.
∴ ∠ABE = ∠CAD.
(2)解:AB = BD + DH. 理由如下:
在△ADC 和△BDH 中,$\begin{cases} ∠ADC = ∠BDH,\\ AD = BD,\\ ∠CAD = ∠HBD,\\ \end{cases}$
∴ △ADC≌△BDH(ASA).
∴ DC = DH.
∴ BC = BD + DC = BD + DH.
∵ AB = BC,
∴ AB = BD + DH.

【分析】
（1）要证∠ABE=∠CAD，先结合等腰三角形“三线合一”的性质：由AB=BC，BE平分∠ABC，可得BE⊥AC，且∠ABE=∠CBE；再结合AD⊥BC的条件，根据同角的余角相等，可推出∠CBE=∠CAD，最后通过等量代换即可得证。
（2）要判断AB、BD、DH的数量关系，已知AB=BC，因此只需证明BC=BD+DH即可；由图可知BC=BD+DC，因此只需证DH=DC，可通过证明△ADC≌△BDH实现：结合已知AD=BD、∠ADC=∠BDH=90°，再利用（1）中得到的角相等的结论，用ASA即可判定两三角形全等，得到DC=DH，最终推导线段关系。
【解析】
(1)证明:
∵ AB = BC，BE 平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE，BE⊥AC，
∴ ∠BEC = 90°，
∴ ∠C + ∠CBE = 90°。
又
∵ AD ⊥ BC，
∴ ∠ADC = ∠ADB = 90°，
∴ ∠C + ∠CAD = 90°，
∴ ∠CBE = ∠CAD，
∴ ∠ABE = ∠CAD。
(2)解:AB = BD + DH。理由如下:
在△ADC 和△BDH 中，
$\begin{cases} ∠ADC = ∠BDH,\\ AD = BD,\\ ∠CAD = ∠HBD,\\ \end{cases}$
∴ △ADC≌△BDH(ASA)，
∴ DC = DH，
∴ BC = BD + DC = BD + DH。
∵ AB = BC，
∴ AB = BD + DH。
【答案】
(1) ∠ABE = ∠CAD，得证；
(2) AB = BD + DH
【知识点】
等腰三角形性质；全等三角形的判定与性质；余角的性质
【点评】
本题是几何证明的典型题型，将等腰三角形性质、全等三角形的应用结合考查，解题时需注意利用已知条件推导角的等量关系，再通过全等三角形完成线段的等量转化即可解决问题。
【难度系数】
0.7