登录
11. 已知:$A=2a^2+3ab-2a-1,B=-a^2+ab-1$。
(1)当$a=-2,b=3$时,求$4A-(3A-2B)$的值;
(2)若$A+2B$的值与$a$的取值无关,求$b$的值。
(1)当$a=-2,b=3$时,求$4A-(3A-2B)$的值;
(2)若$A+2B$的值与$a$的取值无关,求$b$的值。
答案
解：
(1) 先化简待求式：
$4A-(3A-2B) = 4A - 3A + 2B = A + 2B$
将$A=2a^2+3ab-2a-1$，$B=-a^2+ab-1$代入得：
$\begin{aligned}A+2B&=2a^2+3ab-2a-1 + 2(-a^2+ab-1)\\&=2a^2+3ab-2a-1 -2a^2 + 2ab -2\\&=5ab - 2a - 3\end{aligned}$
当$a=-2,b=3$时，代入得：
$\begin{aligned}原式&=5×(-2)×3 - 2×(-2) -3\\&=-30 +4 -3\\&=-29\end{aligned}$
(2) 由(1)整理得：
$A+2B=(5b-2)a -3$
因为$A+2B$的值与$a$的取值无关，所以含$a$的项的系数为0，即：
$5b - 2 = 0$
解得$b=\frac{2}{5}$
(1) 先化简待求式：
$4A-(3A-2B) = 4A - 3A + 2B = A + 2B$
将$A=2a^2+3ab-2a-1$，$B=-a^2+ab-1$代入得：
$\begin{aligned}A+2B&=2a^2+3ab-2a-1 + 2(-a^2+ab-1)\\&=2a^2+3ab-2a-1 -2a^2 + 2ab -2\\&=5ab - 2a - 3\end{aligned}$
当$a=-2,b=3$时，代入得：
$\begin{aligned}原式&=5×(-2)×3 - 2×(-2) -3\\&=-30 +4 -3\\&=-29\end{aligned}$
(2) 由(1)整理得：
$A+2B=(5b-2)a -3$
因为$A+2B$的值与$a$的取值无关，所以含$a$的项的系数为0，即：
$5b - 2 = 0$
解得$b=\frac{2}{5}$
解析
【分析】
对于(1)问，解题时先不要直接将A、B代入原式计算，先对所求代数式$4A-(3A-2B)$去括号、合并同类项化简，可大幅简化计算量；化简得到$A+2B$后，再将A、B的表达式代入，合并同类项得到最简整式，最后将$a=-2$、$b=3$代入最简式计算即可得到结果。
对于(2)问，若代数式的值与$a$的取值无关，说明代数式中所有含$a$的项的系数为0，因此将(1)中得到的$A+2B$的最简式整理为关于$a$的一次式，令$a$的系数等于0，解一元一次方程即可求出$b$的值。
【解析】
(1) 先化简待求式：
$4A-(3A-2B) = 4A - 3A + 2B = A + 2B$
将$A=2a^2+3ab-2a-1$，$B=-a^2+ab-1$代入得：
$\begin{aligned}A+2B&=2a^2+3ab-2a-1 + 2(-a^2+ab-1)\\&=2a^2+3ab-2a-1 -2a^2 + 2ab -2\\&=5ab - 2a - 3\end{aligned}$
当$a=-2,b=3$时，代入得：
$\begin{aligned}原式&=5×(-2)×3 - 2×(-2) -3\\&=-30 +4 -3\\&=-29\end{aligned}$
(2) 由(1)整理得：
$A+2B=(5b-2)a -3$
因为$A+2B$的值与$a$的取值无关，所以含$a$的项的系数为0，即：
$5b - 2 = 0$
解得$b=\frac{2}{5}$
【答案】(1) $\boldsymbol{-29}$；(2) $\boldsymbol{b=\frac{2}{5}}$
【知识点】整式的加减运算，代数式求值，无关型问题求解
【点评】本题是整式章节的常规题型，解题核心是先化简再计算，能有效降低计算错误率；处理无关型问题的关键是理解“取值与某字母无关”等价于该字母的所有项的系数为0，计算时注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】0.8
对于(1)问，解题时先不要直接将A、B代入原式计算，先对所求代数式$4A-(3A-2B)$去括号、合并同类项化简，可大幅简化计算量；化简得到$A+2B$后，再将A、B的表达式代入，合并同类项得到最简整式，最后将$a=-2$、$b=3$代入最简式计算即可得到结果。
对于(2)问，若代数式的值与$a$的取值无关，说明代数式中所有含$a$的项的系数为0，因此将(1)中得到的$A+2B$的最简式整理为关于$a$的一次式，令$a$的系数等于0，解一元一次方程即可求出$b$的值。
【解析】
(1) 先化简待求式：
$4A-(3A-2B) = 4A - 3A + 2B = A + 2B$
将$A=2a^2+3ab-2a-1$，$B=-a^2+ab-1$代入得：
$\begin{aligned}A+2B&=2a^2+3ab-2a-1 + 2(-a^2+ab-1)\\&=2a^2+3ab-2a-1 -2a^2 + 2ab -2\\&=5ab - 2a - 3\end{aligned}$
当$a=-2,b=3$时，代入得：
$\begin{aligned}原式&=5×(-2)×3 - 2×(-2) -3\\&=-30 +4 -3\\&=-29\end{aligned}$
(2) 由(1)整理得：
$A+2B=(5b-2)a -3$
因为$A+2B$的值与$a$的取值无关，所以含$a$的项的系数为0，即：
$5b - 2 = 0$
解得$b=\frac{2}{5}$
【答案】(1) $\boldsymbol{-29}$；(2) $\boldsymbol{b=\frac{2}{5}}$
【知识点】整式的加减运算，代数式求值，无关型问题求解
【点评】本题是整式章节的常规题型，解题核心是先化简再计算，能有效降低计算错误率；处理无关型问题的关键是理解“取值与某字母无关”等价于该字母的所有项的系数为0，计算时注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】0.8
12. 某学校七年级某班级为了迎接新年,装扮教室,购买了2种气球。气球有笑脸和爱心两种,每种价格不同。由于教室布置的需要,购买了三束气球(每束4个气球),每束价格如图所示。
(1)若笑脸气球的单价是x元,则爱心气球的单价为元；
(2)请用含x的代数式表示第2束和第3束气球的总价格；
(3)当x=5时,第2束气球的总价格比第3束气球的总价格少几元？
(1)若笑脸气球的单价是x元,则爱心气球的单价为元；
(2)请用含x的代数式表示第2束和第3束气球的总价格；
(3)当x=5时,第2束气球的总价格比第3束气球的总价格少几元？
答案
解：
(1) 第一束包含1个笑脸气球和3个爱心气球，总价为14元，已知笑脸气球单价是$x$元，因此爱心气球的单价为$\boldsymbol{\frac{14-x}{3}}$元。
(2) 第2束有2个笑脸气球、2个爱心气球，其总价格为：
$\begin{aligned}2x + 2×\frac{14-x}{3}&=\frac{6x + 28 - 2x}{3}\\&=\frac{4x+28}{3} \mathrm{（元）}\end{aligned}$
第3束有3个笑脸气球、1个爱心气球，其总价格为：
$\begin{aligned}3x + \frac{14-x}{3}&=\frac{9x + 14 - x}{3}\\&=\frac{8x+14}{3} \mathrm{（元）}\end{aligned}$
因此第2束和第3束气球的总价格为：
$\frac{4x+28}{3}+\frac{8x+14}{3}=4x+14 \mathrm{（元）}$
(3) 第2束总价格比第3束总价格少的金额为：
$\begin{aligned}\frac{8x+14}{3}-\frac{4x+28}{3}&=\frac{4x-14}{3}\end{aligned}$
当$x=5$时，代入得：
$\frac{4×5 -14}{3}=2 \mathrm{（元）}$
答：当$x=5$时，第2束气球的总价格比第3束气球的总价格少2元。
(1) 第一束包含1个笑脸气球和3个爱心气球，总价为14元，已知笑脸气球单价是$x$元，因此爱心气球的单价为$\boldsymbol{\frac{14-x}{3}}$元。
(2) 第2束有2个笑脸气球、2个爱心气球，其总价格为：
$\begin{aligned}2x + 2×\frac{14-x}{3}&=\frac{6x + 28 - 2x}{3}\\&=\frac{4x+28}{3} \mathrm{（元）}\end{aligned}$
第3束有3个笑脸气球、1个爱心气球，其总价格为：
$\begin{aligned}3x + \frac{14-x}{3}&=\frac{9x + 14 - x}{3}\\&=\frac{8x+14}{3} \mathrm{（元）}\end{aligned}$
因此第2束和第3束气球的总价格为：
$\frac{4x+28}{3}+\frac{8x+14}{3}=4x+14 \mathrm{（元）}$
(3) 第2束总价格比第3束总价格少的金额为：
$\begin{aligned}\frac{8x+14}{3}-\frac{4x+28}{3}&=\frac{4x-14}{3}\end{aligned}$
当$x=5$时，代入得：
$\frac{4×5 -14}{3}=2 \mathrm{（元）}$
答：当$x=5$时，第2束气球的总价格比第3束气球的总价格少2元。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问：先观察第1束气球的组成：1个笑脸气球+3个爱心气球，总价14元。已知笑脸气球单价为x元，先算出3个爱心气球的总价为(14-x)元，再除以3即可得到爱心气球的单价。
2. 第(2)问：先分别数出第2束、第3束中笑脸和爱心气球的数量，再根据“总价=单价×数量”分别表示出两束的价格，相加后化简整式即可得到总价格。
3. 第(3)问：先求出第3束总价减去第2束总价的差值代数式，再把x=5代入差值代数式计算，即可得到所求的金额差。
【解析】
(1) 第1束有1个笑脸气球、3个爱心气球，总价14元，笑脸气球单价为x元，因此3个爱心气球总价为(14-x)元，爱心气球单价为$\frac{14-x}{3}$元。
(2) 第2束有2个笑脸气球、2个爱心气球，总价为：
$\begin{aligned}2x + 2×\frac{14-x}{3}&=\frac{6x + 28 - 2x}{3}\\&=\frac{4x+28}{3} （元）\end{aligned}$
第3束有3个笑脸气球、1个爱心气球，总价为：
$\begin{aligned}3x + \frac{14-x}{3}&=\frac{9x + 14 - x}{3}\\&=\frac{8x+14}{3} （元）\end{aligned}$
两束总价格为：
$\frac{4x+28}{3}+\frac{8x+14}{3}=\frac{12x+42}{3}=4x+14 （元）$
(3) 第2束比第3束少的金额为：
$\begin{aligned}\frac{8x+14}{3}-\frac{4x+28}{3}&=\frac{4x-14}{3}（元）\end{aligned}$
将x=5代入上式：
$\frac{4×5 -14}{3}=\frac{20-14}{3}=2（元）$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{14-x}{3}}$
(2) $\boldsymbol{(4x+14)}$元
(3) $\boldsymbol{2}$元
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景出题，核心是根据数量关系正确列出代数式，再通过整式的运算法则化简计算，解题时要准确数清每束中两种气球的数量，计算过程中注意通分、合并同类项的正确性，属于代数基础知识的应用型题目。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 第(1)问：先观察第1束气球的组成：1个笑脸气球+3个爱心气球，总价14元。已知笑脸气球单价为x元，先算出3个爱心气球的总价为(14-x)元，再除以3即可得到爱心气球的单价。
2. 第(2)问：先分别数出第2束、第3束中笑脸和爱心气球的数量，再根据“总价=单价×数量”分别表示出两束的价格，相加后化简整式即可得到总价格。
3. 第(3)问：先求出第3束总价减去第2束总价的差值代数式，再把x=5代入差值代数式计算，即可得到所求的金额差。
【解析】
(1) 第1束有1个笑脸气球、3个爱心气球，总价14元，笑脸气球单价为x元，因此3个爱心气球总价为(14-x)元，爱心气球单价为$\frac{14-x}{3}$元。
(2) 第2束有2个笑脸气球、2个爱心气球，总价为：
$\begin{aligned}2x + 2×\frac{14-x}{3}&=\frac{6x + 28 - 2x}{3}\\&=\frac{4x+28}{3} （元）\end{aligned}$
第3束有3个笑脸气球、1个爱心气球，总价为：
$\begin{aligned}3x + \frac{14-x}{3}&=\frac{9x + 14 - x}{3}\\&=\frac{8x+14}{3} （元）\end{aligned}$
两束总价格为：
$\frac{4x+28}{3}+\frac{8x+14}{3}=\frac{12x+42}{3}=4x+14 （元）$
(3) 第2束比第3束少的金额为：
$\begin{aligned}\frac{8x+14}{3}-\frac{4x+28}{3}&=\frac{4x-14}{3}（元）\end{aligned}$
将x=5代入上式：
$\frac{4×5 -14}{3}=\frac{20-14}{3}=2（元）$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{14-x}{3}}$
(2) $\boldsymbol{(4x+14)}$元
(3) $\boldsymbol{2}$元
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景出题，核心是根据数量关系正确列出代数式，再通过整式的运算法则化简计算，解题时要准确数清每束中两种气球的数量，计算过程中注意通分、合并同类项的正确性，属于代数基础知识的应用型题目。
【难度系数】
0.7
