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13. 问题:你能比较 $2021^{2022}$ 和 $2022^{2021}$ 的大小吗?
为了解决这个问题,我们先把它抽象成数学问题,写出它的一般形式,比较 $n^{n+1}$ 与 $(n+1)^n$ 的大小($n$ 为正整数),从分析 $n=1,n=2,n=3···$ 的情形入手,通过归纳发现规律,猜想出结论。
(1)比较各组数的大小:①$1^2$ $2^1$;②$2^3$ $3^2$;③$3^4$ $4^3$;④$4^5$ $5^4$。(填“＞”“＜”或“=”)
(2)由(1)猜想出 $n^{n+1}$ 与 $(n+1)^n$ 的大小关系是 。
(3)由(2)可知:$2021^{2022}$ (填“＞”“＜”或“=”) $2022^{2021}$。
为了解决这个问题,我们先把它抽象成数学问题,写出它的一般形式,比较 $n^{n+1}$ 与 $(n+1)^n$ 的大小($n$ 为正整数),从分析 $n=1,n=2,n=3···$ 的情形入手,通过归纳发现规律,猜想出结论。
(1)比较各组数的大小:①$1^2$ $2^1$;②$2^3$ $3^2$;③$3^4$ $4^3$;④$4^5$ $5^4$。(填“＞”“＜”或“=”)
(2)由(1)猜想出 $n^{n+1}$ 与 $(n+1)^n$ 的大小关系是 。
(3)由(2)可知:$2021^{2022}$ (填“＞”“＜”或“=”) $2022^{2021}$。
答案
解：
(1) ① 因为$1^2=1$，$2^1=2$，所以$1^2 ＜ 2^1$；
② 因为$2^3=8$，$3^2=9$，所以$2^3 ＜ 3^2$；
③ 因为$3^4=81$，$4^3=64$，所以$3^4 ＞ 4^3$；
④ 因为$4^5=1024$，$5^4=625$，所以$4^5 ＞ 5^4$。
答案依次为：$＜$；$＜$；$＞$；$＞$。
(2) 当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n\ge 3$且$n$为正整数时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(3) 因为$2021＞3$，符合$n\ge3$的情形，所以$2021^{2022} ＞ 2022^{2021}$。
答案为：$＞$。
(1) ① 因为$1^2=1$，$2^1=2$，所以$1^2 ＜ 2^1$；
② 因为$2^3=8$，$3^2=9$，所以$2^3 ＜ 3^2$；
③ 因为$3^4=81$，$4^3=64$，所以$3^4 ＞ 4^3$；
④ 因为$4^5=1024$，$5^4=625$，所以$4^5 ＞ 5^4$。
答案依次为：$＜$；$＜$；$＞$；$＞$。
(2) 当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n\ge 3$且$n$为正整数时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(3) 因为$2021＞3$，符合$n\ge3$的情形，所以$2021^{2022} ＞ 2022^{2021}$。
答案为：$＞$。
解析
【分析】
要解决本题，我们遵循从特殊到一般的探究思路：第一步先计算n取1、2、3、4等较小正整数时，$n^{n+1}$与$(n+1)^n$的大小，得到具体的大小关系；第二步观察这些特殊情况的结果，分类归纳出通用的大小规律；第三步将n=2021代入归纳得到的规律中，即可得出两个大数的大小关系。
【解析】
(1) 分别计算每组两个数的结果再比较：
① 计算得$1^2=1$，$2^1=2$，因为$1＜2$，所以$1^2 ＜ 2^1$；
② 计算得$2^3=8$，$3^2=9$，因为$8＜9$，所以$2^3 ＜ 3^2$；
③ 计算得$3^4=81$，$4^3=64$，因为$81＞64$，所以$3^4 ＞ 4^3$；
④ 计算得$4^5=1024$，$5^4=625$，因为$1024＞625$，所以$4^5 ＞ 5^4$。
(2) 观察(1)的结果分类总结规律：
当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n\ge 3$且n为正整数时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(3) 应用规律判断大小：
因为2021是大于3的正整数，符合$n\ge 3$的情形，所以$2021^{2022} ＞ 2022^{2021}$。
【答案】
(1) ①$＜$；②$＜$；③$＞$；④$＞$
(2) 当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n\ge 3$且$n$为正整数时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$
(3) $＞$
【知识点】
1. 有理数乘方运算 2. 归纳探究规律 3. 幂的大小比较
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究方法，引导学生通过计算简单案例归纳通用规律，再运用规律解决复杂问题，能够有效锻炼学生的归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
要解决本题，我们遵循从特殊到一般的探究思路：第一步先计算n取1、2、3、4等较小正整数时，$n^{n+1}$与$(n+1)^n$的大小，得到具体的大小关系；第二步观察这些特殊情况的结果，分类归纳出通用的大小规律；第三步将n=2021代入归纳得到的规律中，即可得出两个大数的大小关系。
【解析】
(1) 分别计算每组两个数的结果再比较：
① 计算得$1^2=1$，$2^1=2$，因为$1＜2$，所以$1^2 ＜ 2^1$；
② 计算得$2^3=8$，$3^2=9$，因为$8＜9$，所以$2^3 ＜ 3^2$；
③ 计算得$3^4=81$，$4^3=64$，因为$81＞64$，所以$3^4 ＞ 4^3$；
④ 计算得$4^5=1024$，$5^4=625$，因为$1024＞625$，所以$4^5 ＞ 5^4$。
(2) 观察(1)的结果分类总结规律：
当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n\ge 3$且n为正整数时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(3) 应用规律判断大小：
因为2021是大于3的正整数，符合$n\ge 3$的情形，所以$2021^{2022} ＞ 2022^{2021}$。
【答案】
(1) ①$＜$；②$＜$；③$＞$；④$＞$
(2) 当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n\ge 3$且$n$为正整数时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$
(3) $＞$
【知识点】
1. 有理数乘方运算 2. 归纳探究规律 3. 幂的大小比较
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究方法，引导学生通过计算简单案例归纳通用规律，再运用规律解决复杂问题，能够有效锻炼学生的归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
14. 实践与探究
【实践】
求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离：
(1)2.25与4.75；(2)-4与-4.5；(3)$-3\dfrac{2}{3}$与$2\dfrac{1}{3}$。
【探索】
结论:数轴上两点之间的距离等于这两个点对应的数的差的绝对值。
(1)数轴上表示数$x$与1的两点之间的距离可用符号语言记作；
(2)$|x+2|$的含义是数轴上表示数$x$与的两点之间的距离；
(3)若$|x+2|=3$,则$x=$。
【应用】
如图,长方形$ACEF$和$BDGH$各有一条边在数轴上,长方形$ACEF$的一条边$AF$长为2,长方形$BDGH$的一条边$BH$长为1,$A,B,C,D$四个点对应的数分别为$2a,a,b,2b$。用$S_{长方形ACEF}$和$S_{长方形BDGH}$分别表示两个长方形的面积,求这两个长方形的面积之差(用含$a,b$的代数式表示)。
【实践】
求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离：
(1)2.25与4.75；(2)-4与-4.5；(3)$-3\dfrac{2}{3}$与$2\dfrac{1}{3}$。
【探索】
结论:数轴上两点之间的距离等于这两个点对应的数的差的绝对值。
(1)数轴上表示数$x$与1的两点之间的距离可用符号语言记作；
(2)$|x+2|$的含义是数轴上表示数$x$与的两点之间的距离；
(3)若$|x+2|=3$,则$x=$。
【应用】
如图,长方形$ACEF$和$BDGH$各有一条边在数轴上,长方形$ACEF$的一条边$AF$长为2,长方形$BDGH$的一条边$BH$长为1,$A,B,C,D$四个点对应的数分别为$2a,a,b,2b$。用$S_{长方形ACEF}$和$S_{长方形BDGH}$分别表示两个长方形的面积,求这两个长方形的面积之差(用含$a,b$的代数式表示)。
答案
解：
【实践】
(1) 两点之间的距离为 $|4.75 - 2.25| = 2.5$；
(2) 两点之间的距离为 $|-4 - (-4.5)| = 0.5$；
(3) 两点之间的距离为 $\left|2\dfrac{1}{3} - (-3\dfrac{2}{3})\right| = 6$。
【探索】
(1) $|x-1|$
(2) $-2$
(3) 由$|x+2|=3$可得$x+2=3$或$x+2=-3$，解得$x=1$或$x=-5$。
【应用】
由数轴可知$2a ＜ a ＜ b ＜ 2b$，
长方形$ACEF$的底边长为$b-2a$，
$S_{\mathrm{长方形}ACEF} = 2×(b - 2a) = 2b - 4a$，
长方形$BDGH$的底边长为$2b - a$，
$S_{\mathrm{长方形}BDGH} = 1×(2b - a) = 2b - a$，
两个长方形的面积之差为：
$S_{\mathrm{长方形}ACEF} - S_{\mathrm{长方形}BDGH} = (2b - 4a) - (2b - a) = -3a$。
答：这两个长方形的面积之差为$-3a$。
【实践】
(1) 两点之间的距离为 $|4.75 - 2.25| = 2.5$；
(2) 两点之间的距离为 $|-4 - (-4.5)| = 0.5$；
(3) 两点之间的距离为 $\left|2\dfrac{1}{3} - (-3\dfrac{2}{3})\right| = 6$。
【探索】
(1) $|x-1|$
(2) $-2$
(3) 由$|x+2|=3$可得$x+2=3$或$x+2=-3$，解得$x=1$或$x=-5$。
【应用】
由数轴可知$2a ＜ a ＜ b ＜ 2b$，
长方形$ACEF$的底边长为$b-2a$，
$S_{\mathrm{长方形}ACEF} = 2×(b - 2a) = 2b - 4a$，
长方形$BDGH$的底边长为$2b - a$，
$S_{\mathrm{长方形}BDGH} = 1×(2b - a) = 2b - a$，
两个长方形的面积之差为：
$S_{\mathrm{长方形}ACEF} - S_{\mathrm{长方形}BDGH} = (2b - 4a) - (2b - a) = -3a$。
答：这两个长方形的面积之差为$-3a$。
解析
【分析】
解题思路分三部分梳理：1. 实践部分：直接运用题干给出的“数轴上两点距离等于两数差的绝对值”结论，分别计算三组数的差的绝对值即可得到对应距离；2. 探索部分：套用两点距离的符号规则（两数为m、n时，距离记作|m-n|）完成填空，解绝对值方程时，根据绝对值的性质，将方程转化为两个一元一次方程求解即可；3. 应用部分：先根据数轴上点的左右位置，用右边点对应的数减去左边点对应的数得到长方形在数轴上的底边长，再结合长方形面积公式分别计算两个长方形的面积，最后作差化简得到结果。
【解析】
【实践】
(1) 两点之间的距离为 $|4.75 - 2.25| = 2.5$；
(2) 两点之间的距离为 $|-4 - (-4.5)| = |0.5| = 0.5$；
(3) 两点之间的距离为 $\left|2\dfrac{1}{3} - (-3\dfrac{2}{3})\right| = \left|2\dfrac{1}{3} + 3\dfrac{2}{3}\right| = 6$。
【探索】
(1) 数轴上表示数$x$与1的两点距离，对应两数差的绝对值，记作$\boldsymbol{|x-1|}$；
(2) $|x+2|=|x - (-2)|$，含义是数轴上表示数$x$与$\boldsymbol{-2}$的两点之间的距离；
(3) 由$|x+2|=3$可得：$x+2=3$或$x+2=-3$，分别解得$x=1$或$x=-5$。
【应用】
由数轴上点的位置可知$2a ＜ a ＜ b ＜ 2b$：
长方形$ACEF$的底边长$AC = b - 2a$，高$AF=2$，因此$S_{长方形ACEF} = 2×(b - 2a) = 2b - 4a$；
长方形$BDGH$的底边长$BD = 2b - a$，高$BH=1$，因此$S_{长方形BDGH} = 1×(2b - a) = 2b - a$；
两个长方形的面积之差为：
$S_{长方形ACEF} - S_{长方形BDGH} = (2b - 4a) - (2b - a) = -3a$。
【答案】
【实践】(1)$2.5$；(2)$0.5$；(3)$6$
【探索】(1)$|x-1|$；(2)$-2$；(3)$1$或$-5$
【应用】两个长方形的面积之差为$\boldsymbol{-3a}$
【知识点】
数轴两点距离公式，绝对值的意义，整式的加减
【点评】
本题设置层层递进，从基础概念考查到综合运用，既巩固了数轴、绝对值的核心知识点，又结合几何图形考查了代数式化简能力，能有效帮助学生理解数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题思路分三部分梳理：1. 实践部分：直接运用题干给出的“数轴上两点距离等于两数差的绝对值”结论，分别计算三组数的差的绝对值即可得到对应距离；2. 探索部分：套用两点距离的符号规则（两数为m、n时，距离记作|m-n|）完成填空，解绝对值方程时，根据绝对值的性质，将方程转化为两个一元一次方程求解即可；3. 应用部分：先根据数轴上点的左右位置，用右边点对应的数减去左边点对应的数得到长方形在数轴上的底边长，再结合长方形面积公式分别计算两个长方形的面积，最后作差化简得到结果。
【解析】
【实践】
(1) 两点之间的距离为 $|4.75 - 2.25| = 2.5$；
(2) 两点之间的距离为 $|-4 - (-4.5)| = |0.5| = 0.5$；
(3) 两点之间的距离为 $\left|2\dfrac{1}{3} - (-3\dfrac{2}{3})\right| = \left|2\dfrac{1}{3} + 3\dfrac{2}{3}\right| = 6$。
【探索】
(1) 数轴上表示数$x$与1的两点距离，对应两数差的绝对值，记作$\boldsymbol{|x-1|}$；
(2) $|x+2|=|x - (-2)|$，含义是数轴上表示数$x$与$\boldsymbol{-2}$的两点之间的距离；
(3) 由$|x+2|=3$可得：$x+2=3$或$x+2=-3$，分别解得$x=1$或$x=-5$。
【应用】
由数轴上点的位置可知$2a ＜ a ＜ b ＜ 2b$：
长方形$ACEF$的底边长$AC = b - 2a$，高$AF=2$，因此$S_{长方形ACEF} = 2×(b - 2a) = 2b - 4a$；
长方形$BDGH$的底边长$BD = 2b - a$，高$BH=1$，因此$S_{长方形BDGH} = 1×(2b - a) = 2b - a$；
两个长方形的面积之差为：
$S_{长方形ACEF} - S_{长方形BDGH} = (2b - 4a) - (2b - a) = -3a$。
【答案】
【实践】(1)$2.5$；(2)$0.5$；(3)$6$
【探索】(1)$|x-1|$；(2)$-2$；(3)$1$或$-5$
【应用】两个长方形的面积之差为$\boldsymbol{-3a}$
【知识点】
数轴两点距离公式，绝对值的意义，整式的加减
【点评】
本题设置层层递进，从基础概念考查到综合运用，既巩固了数轴、绝对值的核心知识点，又结合几何图形考查了代数式化简能力，能有效帮助学生理解数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
