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5. 下面计算正确的是 ()
A.$2x^2 - x^2 = 1$
B.$4a^2 + 2a^3 = 6a^5$
C.$5 + m = 5m$
D.$-0.25ab + \frac{1}{4}ab = 0$
A.$2x^2 - x^2 = 1$
B.$4a^2 + 2a^3 = 6a^5$
C.$5 + m = 5m$
D.$-0.25ab + \frac{1}{4}ab = 0$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查同类项与合并同类项的相关知识，解题思路如下：首先明确两个核心规则：1. 同类项判定规则：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项是同类项，所有常数项互为同类项，只有同类项可以合并；2. 合并同类项规则：合并时仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。接下来我们用上述规则逐个判断选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：$2x^2$和$x^2$是同类项，合并后应为$(2-1)x^2=x^2$，而非1，计算错误；
B选项：$4a^2$和$2a^3$中$a$的指数分别为2和3，不是同类项，不能直接合并，计算错误；
C选项：5是常数项，$m$是含字母的项，不是同类项，不能直接合并为$5m$，计算错误；
D选项：$\frac{1}{4}=0.25$，因此$-0.25ab$和$\frac{1}{4}ab$是同类项，合并后为$(-0.25+0.25)ab=0$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同类项的判定、合并同类项法则
【点评】
本题属于基础概念类题型，易错点是容易对不是同类项的项强行合并，解题时要先准确判断是否为同类项，再按照规则计算即可。
【难度系数】
0.9
这道题考查同类项与合并同类项的相关知识，解题思路如下：首先明确两个核心规则：1. 同类项判定规则：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项是同类项，所有常数项互为同类项，只有同类项可以合并；2. 合并同类项规则：合并时仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。接下来我们用上述规则逐个判断选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：$2x^2$和$x^2$是同类项，合并后应为$(2-1)x^2=x^2$，而非1，计算错误；
B选项：$4a^2$和$2a^3$中$a$的指数分别为2和3，不是同类项，不能直接合并，计算错误；
C选项：5是常数项，$m$是含字母的项，不是同类项，不能直接合并为$5m$，计算错误；
D选项：$\frac{1}{4}=0.25$，因此$-0.25ab$和$\frac{1}{4}ab$是同类项，合并后为$(-0.25+0.25)ab=0$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同类项的判定、合并同类项法则
【点评】
本题属于基础概念类题型，易错点是容易对不是同类项的项强行合并，解题时要先准确判断是否为同类项，再按照规则计算即可。
【难度系数】
0.9
6. 将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放成“龟图”，观察每个“龟图”中“○”的个数，则第10个“龟图”中“○”的个数是 （）
A.45
B.90
C.95
D.110
A.45
B.90
C.95
D.110
答案
C
解析
【分析】
要解决这道图形规律题，我们可以分三步思考：第一步先数出前几个“龟图”中“○”的个数，得到一组数字；第二步观察这组数字和对应图形序号的关系，推导通用的表达式；第三步把n=10代入表达式计算，就能得到答案。我们先数得第1个图有5个○，第2个有7个，第3个有11个，第4个有17个，再观察可知每个数都可以写成“5加上序号乘序号减1的差”的形式，以此推出通用规律再计算即可。
【解析】
首先计数前4个“龟图”的“○”数量：
第1个图（n=1）：共5个，可表示为$ 5 + 1×(1-1) = 5 $；
第2个图（n=2）：共7个，可表示为$ 5 + 2×(2-1) = 7 $；
第3个图（n=3）：共11个，可表示为$ 5 + 3×(3-1) = 11 $；
第4个图（n=4）：共17个，可表示为$ 5 + 4×(4-1) = 17 $；
归纳可得规律：第$ n $个“龟图”中“○”的个数为$ 5 + n(n-1) $。
当$ n=10 $时，代入计算：
$ 5 + 10×(10-1) = 5 + 90 = 95 $
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题是常见的规律探究类题型，重点考查学生的观察能力、归纳总结能力，解题时注意先从简单图形入手计数，再对比数字和序号的关系推导通用公式即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道图形规律题，我们可以分三步思考：第一步先数出前几个“龟图”中“○”的个数，得到一组数字；第二步观察这组数字和对应图形序号的关系，推导通用的表达式；第三步把n=10代入表达式计算，就能得到答案。我们先数得第1个图有5个○，第2个有7个，第3个有11个，第4个有17个，再观察可知每个数都可以写成“5加上序号乘序号减1的差”的形式，以此推出通用规律再计算即可。
【解析】
首先计数前4个“龟图”的“○”数量：
第1个图（n=1）：共5个，可表示为$ 5 + 1×(1-1) = 5 $；
第2个图（n=2）：共7个，可表示为$ 5 + 2×(2-1) = 7 $；
第3个图（n=3）：共11个，可表示为$ 5 + 3×(3-1) = 11 $；
第4个图（n=4）：共17个，可表示为$ 5 + 4×(4-1) = 17 $；
归纳可得规律：第$ n $个“龟图”中“○”的个数为$ 5 + n(n-1) $。
当$ n=10 $时，代入计算：
$ 5 + 10×(10-1) = 5 + 90 = 95 $
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题是常见的规律探究类题型，重点考查学生的观察能力、归纳总结能力，解题时注意先从简单图形入手计数，再对比数字和序号的关系推导通用公式即可。
【难度系数】
0.7
7. (1)某超市的苹果价格如图所示，试说明代数式$50 - 7.9x$的实际意义：；
(2)仿照上题，请你给$4m + 7n$设计一个实际意义：。
(2)仿照上题，请你给$4m + 7n$设计一个实际意义：。
答案
解：(1) 某人携带50元，购买单价为7.9元/斤的苹果x斤后，剩余的钱数。
(2) 已知某文具店中性笔每支4元，笔记本每本7元，购买m支中性笔和n本笔记本的总花费（答案合理即可）。
(2) 已知某文具店中性笔每支4元，笔记本每本7元，购买m支中性笔和n本笔记本的总花费（答案合理即可）。
解析
【分析】
(1) 先拆解代数式各部分的含义：已知苹果单价为7.9元/斤，x代表购买苹果的斤数，因此7.9x表示购买x斤苹果的总花费；50代表初始总钱数，用总钱数减去花费的金额，所得结果就是剩余的钱数，据此即可得出代数式的实际意义。
(2) 代数式4m+7n表示4乘m的积与7乘n的积相加的和，我们可以结合生活场景，将4和7设定为两类物品的单份数值（比如单价、单个重量等），m和n对应两类物品的数量，两者求和就可以表示两类物品的总数值（总花费、总重量等），只要符合运算逻辑即可。
【解析】
(1) 由苹果单价为7.9元/斤可知，7.9x是购买x斤苹果的总支出，因此$50-7.9x$可以表示：携带50元购买x斤单价7.9元/斤的苹果后，剩余的钱数。
(2) 我们可以设定常见的购物场景：中性笔每支4元，笔记本每本7元，那么4m是买m支中性笔的花费，7n是买n本笔记本的花费，因此$4m+7n$可以表示购买m支中性笔和n本笔记本的总花费，也可设计其他合理场景，答案不唯一。
【答案】
(1) 某人携带50元，购买单价为7.9元/斤的苹果x斤后，剩余的钱数（合理即可）
(2) 已知某文具店中性笔每支4元，笔记本每本7元，购买m支中性笔和n本笔记本的总花费（答案合理即可）
【知识点】
代数式的实际意义、用代数式表示数量关系
【点评】
本题是基础开放题，考查对代数式含义的理解，需要结合实际生活场景把抽象的代数式转化为具体的数量关系，答案不固定，只要符合代数式的运算规则和现实逻辑即为正确。
【难度系数】
0.85
(1) 先拆解代数式各部分的含义：已知苹果单价为7.9元/斤，x代表购买苹果的斤数，因此7.9x表示购买x斤苹果的总花费；50代表初始总钱数，用总钱数减去花费的金额，所得结果就是剩余的钱数，据此即可得出代数式的实际意义。
(2) 代数式4m+7n表示4乘m的积与7乘n的积相加的和，我们可以结合生活场景，将4和7设定为两类物品的单份数值（比如单价、单个重量等），m和n对应两类物品的数量，两者求和就可以表示两类物品的总数值（总花费、总重量等），只要符合运算逻辑即可。
【解析】
(1) 由苹果单价为7.9元/斤可知，7.9x是购买x斤苹果的总支出，因此$50-7.9x$可以表示：携带50元购买x斤单价7.9元/斤的苹果后，剩余的钱数。
(2) 我们可以设定常见的购物场景：中性笔每支4元，笔记本每本7元，那么4m是买m支中性笔的花费，7n是买n本笔记本的花费，因此$4m+7n$可以表示购买m支中性笔和n本笔记本的总花费，也可设计其他合理场景，答案不唯一。
【答案】
(1) 某人携带50元，购买单价为7.9元/斤的苹果x斤后，剩余的钱数（合理即可）
(2) 已知某文具店中性笔每支4元，笔记本每本7元，购买m支中性笔和n本笔记本的总花费（答案合理即可）
【知识点】
代数式的实际意义、用代数式表示数量关系
【点评】
本题是基础开放题，考查对代数式含义的理解，需要结合实际生活场景把抽象的代数式转化为具体的数量关系，答案不固定，只要符合代数式的运算规则和现实逻辑即为正确。
【难度系数】
0.85
8. 朵朵披萨屋的公告:因近期食材成本提高,即日起披萨售价均调涨10%,且会员结账优惠从打八五折调整为打九折。若一个披萨调涨前的售价为x元,则会员购买一个披萨的花费,调涨后比调涨前多花元。
答案
$\boldsymbol{0.14x}$
解析
【分析】
要计算会员购买披萨调涨后比调涨前多花的金额，需先分别求出调涨前、调涨后会员购买1个披萨的实际花费，再将两者作差即可。解题时要明确价格调整的规则：售价调涨是在原价基础上计算，会员折扣是在当期披萨售价的基础上计算，按顺序梳理数量关系就能逐步推导结果。
【解析】
1. 计算调涨前会员的实际花费：
调涨前披萨售价为x元，会员享受八五折优惠，因此实际花费为 $0.85x$ 元。
2. 计算调涨后会员的实际花费：
首先披萨售价调涨10%，调涨后的单价为 $x×(1+10\%)=1.1x$ 元；
调涨后会员享受九折优惠，因此实际花费为 $1.1x×0.9=0.99x$ 元。
3. 计算多花的金额：
调涨后花费减去调涨前花费可得：$0.99x-0.85x=0.14x$ 元。
【答案】
$\boldsymbol{0.14x}$
【知识点】
列代数式；折扣问题；百分数应用
【点评】
本题结合生活消费的实际场景出题，解题核心是找准不同计算环节的单位“1”，理清售价调涨和会员折扣的先后计算顺序，只要细心梳理数量关系就不容易出错。
【难度系数】
0.7
要计算会员购买披萨调涨后比调涨前多花的金额，需先分别求出调涨前、调涨后会员购买1个披萨的实际花费，再将两者作差即可。解题时要明确价格调整的规则：售价调涨是在原价基础上计算，会员折扣是在当期披萨售价的基础上计算，按顺序梳理数量关系就能逐步推导结果。
【解析】
1. 计算调涨前会员的实际花费：
调涨前披萨售价为x元，会员享受八五折优惠，因此实际花费为 $0.85x$ 元。
2. 计算调涨后会员的实际花费：
首先披萨售价调涨10%，调涨后的单价为 $x×(1+10\%)=1.1x$ 元；
调涨后会员享受九折优惠，因此实际花费为 $1.1x×0.9=0.99x$ 元。
3. 计算多花的金额：
调涨后花费减去调涨前花费可得：$0.99x-0.85x=0.14x$ 元。
【答案】
$\boldsymbol{0.14x}$
【知识点】
列代数式；折扣问题；百分数应用
【点评】
本题结合生活消费的实际场景出题，解题核心是找准不同计算环节的单位“1”，理清售价调涨和会员折扣的先后计算顺序，只要细心梳理数量关系就不容易出错。
【难度系数】
0.7
9. 观察下列算式：$1^2=\dfrac{1×2×3}{6},1^2+2^2=\dfrac{2×3×5}{6},1^2+2^2+3^2=\dfrac{3×4×7}{6},1^2+2^2+3^2+4^2=\dfrac{4×5×9}{6},···$请用字母表示数，将你发现的一般规律用一个等式表示出来：。
答案
解：$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（$n$为正整数）
解析
【分析】
我们可以按照从特殊到一般的思路找规律：第一步先确定等式左边的规律，已知的式子都是从1开始的连续正整数的平方和，第几个式子就加到几的平方，我们用n表示正整数，左边就是从1²加到n²；第二步看等式右边，所有式子的分母都是固定的6，再拆分分子的三个因数，分别找它们和n的对应关系即可推导出通式。
【解析】
1. 观察左边的规律：
第1个式子：$1^2$（最大底数为1，对应n=1）
第2个式子：$1^2+2^2$（最大底数为2，对应n=2）
第3个式子：$1^2+2^2+3^2$（最大底数为3，对应n=3）
……
第n个式子左边为：$1^2 + 2^2 + \dots + n^2$（n为正整数）
2. 观察右边的规律：
所有式子分母均为6，再看分子：
n=1时，分子$1×2×3$，三个因数分别为$1=n$，$2=n+1$，$3=2×1+1=2n+1$
n=2时，分子$2×3×5$，三个因数分别为$2=n$，$3=n+1$，$5=2×2+1=2n+1$
n=3时，分子$3×4×7$，三个因数分别为$3=n$，$4=n+1$，$7=2×3+1=2n+1$
n=4时，分子$4×5×9$，三个因数分别为$4=n$，$5=n+1$，$9=2×4+1=2n+1$
所有特例均符合该特征，因此可得通用等式。
【答案】
$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（$n$为正整数）
【知识点】
1. 数字规律探究 2. 列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心用到从特殊到一般的归纳思想，通过对比多个特例左右两边各部分和项数的对应关系即可总结出通用规律，能有效训练观察、归纳的思维能力。
【难度系数】
0.7
我们可以按照从特殊到一般的思路找规律：第一步先确定等式左边的规律，已知的式子都是从1开始的连续正整数的平方和，第几个式子就加到几的平方，我们用n表示正整数，左边就是从1²加到n²；第二步看等式右边，所有式子的分母都是固定的6，再拆分分子的三个因数，分别找它们和n的对应关系即可推导出通式。
【解析】
1. 观察左边的规律：
第1个式子：$1^2$（最大底数为1，对应n=1）
第2个式子：$1^2+2^2$（最大底数为2，对应n=2）
第3个式子：$1^2+2^2+3^2$（最大底数为3，对应n=3）
……
第n个式子左边为：$1^2 + 2^2 + \dots + n^2$（n为正整数）
2. 观察右边的规律：
所有式子分母均为6，再看分子：
n=1时，分子$1×2×3$，三个因数分别为$1=n$，$2=n+1$，$3=2×1+1=2n+1$
n=2时，分子$2×3×5$，三个因数分别为$2=n$，$3=n+1$，$5=2×2+1=2n+1$
n=3时，分子$3×4×7$，三个因数分别为$3=n$，$4=n+1$，$7=2×3+1=2n+1$
n=4时，分子$4×5×9$，三个因数分别为$4=n$，$5=n+1$，$9=2×4+1=2n+1$
所有特例均符合该特征，因此可得通用等式。
【答案】
$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（$n$为正整数）
【知识点】
1. 数字规律探究 2. 列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心用到从特殊到一般的归纳思想，通过对比多个特例左右两边各部分和项数的对应关系即可总结出通用规律，能有效训练观察、归纳的思维能力。
【难度系数】
0.7
10. (1)化简:$5a^2b - 2(a^2b - 2ab^2) - 3(2ab^2 - a^2b);$
(2)先化简,再求值:$2x - 3(x - \frac{1}{3}y^2) + 2(-\frac{1}{2}x + y^2)$,其中$x=3,y=-2$。
(2)先化简,再求值:$2x - 3(x - \frac{1}{3}y^2) + 2(-\frac{1}{2}x + y^2)$,其中$x=3,y=-2$。
答案
解：
(1) 原式$=5a^2b - 2a^2b + 4ab^2 - 6ab^2 + 3a^2b$
$=(5-2+3)a^2b + (4-6)ab^2$
$=6a^2b - 2ab^2$
(2) 原式$=2x - 3x + y^2 - x + 2y^2$
$=(2-3-1)x + (1+2)y^2$
$=-2x + 3y^2$
当$x=3$，$y=-2$时，
原式$=-2×3 + 3×(-2)^2$
$=-6 + 12$
$=6$
(1) 原式$=5a^2b - 2a^2b + 4ab^2 - 6ab^2 + 3a^2b$
$=(5-2+3)a^2b + (4-6)ab^2$
$=6a^2b - 2ab^2$
(2) 原式$=2x - 3x + y^2 - x + 2y^2$
$=(2-3-1)x + (1+2)y^2$
$=-2x + 3y^2$
当$x=3$，$y=-2$时，
原式$=-2×3 + 3×(-2)^2$
$=-6 + 12$
$=6$
解析
【分析】
这两道题均属于整式加减类题目，解题核心是正确运用去括号法则和合并同类项法则。第(1)题：首先按照去括号规则去掉所有括号，注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号，且括号前的系数要乘遍括号内所有项，不能漏乘；之后识别同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可完成化简。第(2)题：先按照和第(1)题一致的步骤将整式化简为最简形式，再将x、y的取值代入最简式计算，代入时注意负数的乘方要添加括号，保证运算顺序正确。
【解析】
(1) 去括号得：
原式$=5a^2b - 2a^2b + 4ab^2 - 6ab^2 + 3a^2b$
合并同类项：
$=(5-2+3)a^2b + (4-6)ab^2$
$=6a^2b - 2ab^2$
(2) 先化简整式：
原式$=2x - 3x + y^2 - x + 2y^2$
合并同类项得：
$=(2-3-1)x + (1+2)y^2$
$=-2x + 3y^2$
将$x=3$，$y=-2$代入上式：
原式$=-2×3 + 3×(-2)^2$
$=-6 + 12$
$=6$
【答案】
(1) $6a^2b - 2ab^2$；(2) 化简结果为$-2x + 3y^2$，求值结果为$6$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察去括号时的符号处理、系数分配以及同类项的合并能力，代入求值环节需注意负数乘方的运算规则，熟练掌握这类题目是后续学习复杂整式运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
这两道题均属于整式加减类题目，解题核心是正确运用去括号法则和合并同类项法则。第(1)题：首先按照去括号规则去掉所有括号，注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号，且括号前的系数要乘遍括号内所有项，不能漏乘；之后识别同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可完成化简。第(2)题：先按照和第(1)题一致的步骤将整式化简为最简形式，再将x、y的取值代入最简式计算，代入时注意负数的乘方要添加括号，保证运算顺序正确。
【解析】
(1) 去括号得：
原式$=5a^2b - 2a^2b + 4ab^2 - 6ab^2 + 3a^2b$
合并同类项：
$=(5-2+3)a^2b + (4-6)ab^2$
$=6a^2b - 2ab^2$
(2) 先化简整式：
原式$=2x - 3x + y^2 - x + 2y^2$
合并同类项得：
$=(2-3-1)x + (1+2)y^2$
$=-2x + 3y^2$
将$x=3$，$y=-2$代入上式：
原式$=-2×3 + 3×(-2)^2$
$=-6 + 12$
$=6$
【答案】
(1) $6a^2b - 2ab^2$；(2) 化简结果为$-2x + 3y^2$，求值结果为$6$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察去括号时的符号处理、系数分配以及同类项的合并能力，代入求值环节需注意负数乘方的运算规则，熟练掌握这类题目是后续学习复杂整式运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
