1. 小明绘制的“箭在弦上”的简笔画如图所示.若箭杆CD垂直平分AB,AC=5,则BC的长为.

$\boldsymbol{5}$

【分析】
解题时先提取题目关键条件：CD垂直平分AB，点C在CD上。回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。由此可推出点C到A、B两点的距离相等，即AC=BC，结合已知AC的长度即可求出BC的长。
【解析】
∵ CD垂直平分AB，点C在CD上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，可得BC=AC，
又
∵ AC=5，
∴ BC=5。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础题，直接考查线段垂直平分线性质的应用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2.定理“等角的补角相等”的逆命题是“”。

解：补角相等的两个角相等

【分析】
要写出一个命题的逆命题，核心方法是先拆分原命题的条件和结论，再将条件和结论互换位置，最后整理为通顺合理的表述。首先我们可以把原命题“等角的补角相等”改写为“如果两个角相等，那么它们的补角相等”，清晰区分出原命题的条件是“两个角相等”，结论是“它们的补角相等”，互换条件和结论就能得到逆命题。
【解析】
第一步：将原命题“等角的补角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等。
第二步：提取原命题的条件：两个角相等；提取原命题的结论：这两个角的补角相等。
第三步：将条件和结论互换位置，得到：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等。
第四步：简化表述，即可得到逆命题。
【答案】
补角相等的两个角相等
【知识点】
逆命题的概念；命题的结构
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是掌握逆命题的改写规则，改写时要注意语句通顺，避免出现逻辑错误或表述不通顺的问题。
【难度系数】
0.8

3.如图，$△ ABC$的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD。若AC=12，CD=7，则BD=。

解：
∵ 点D在AB的垂直平分线上，
∴ AD = BD。
∵ AC = 12，CD = 7，
∴ AD = AC - CD = 12 - 7 = 5，
∴ BD = 5。

【分析】
首先观察题目已知条件，出现了线段的垂直平分线，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。由此可知点D在AB的垂直平分线上，可得BD=AD，所以要求BD的长度，只需先计算AD的长度即可。再根据AC、CD的长度，利用线段和差关系就能算出AD的长度，进而得到BD的长度。
【解析】
∵ 点D在AB的垂直平分线上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，得$AD = BD$。
∵ $AC = 12$，$CD = 7$，
∴ $AD = AC - CD = 12 - 7 = 5$，
∴ $BD = AD = 5$。
【答案】
$\boxed{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查线段垂直平分线性质的直接应用，通过性质将未知线段转化为可计算的已知相关线段，结合简单的线段运算即可求解，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9

4.如图,线段AB,BC的垂直平分线$l_1$,$l_2$相交于点O.若$∠ B=50°$,则$∠ AOC=$.

$\boldsymbol{100°}$

【分析】
看到线段垂直平分线，首先联想到其性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。我们可以通过作辅助线连接OB，得到OA=OB、OB=OC，进而得到△OAB、△OBC均为等腰三角形，得到对应底角相等的关系。再利用周角为360°的性质，将∠AOC用∠OBA、∠OBC表示，最终建立∠AOC与已知∠B的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：连接OB。
∵ $l_1$是线段AB的垂直平分线，点O在$l_1$上，
∴ OA=OB，
∴ ∠OBA=∠OAB，
∴ ∠AOB=180°-2∠OBA。
同理，
∵ $l_2$是线段BC的垂直平分线，点O在$l_2$上，
∴ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB，
∴ ∠BOC=180°-2∠OBC。
∵ 周角为360°，
∴ ∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC
=360°-(180°-2∠OBA)-(180°-2∠OBC)
=2(∠OBA+∠OBC)
=2∠ABC。
已知∠ABC=50°，
∴ ∠AOC=2×50°=100°。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；周角的性质
【点评】
本题主要考查垂直平分线、等腰三角形性质的综合运用，作辅助线连接OB，将待求角和已知角建立关联是解题的突破口，解题过程中要注意角的和差关系的正确转化。
【难度系数】
0.7

5.如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,BE=AC.过点A作$AD⊥ BC$,垂足为D.求证$ED=DC$.

证明：
连接AE。
∵ EF是AB的垂直平分线，点E在EF上，
∴ AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ BE = AC，
∴ AE = AC，即△AEC是等腰三角形。
又∵ AD⊥BC，
∴ AD是等腰△AEC底边EC上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD也是EC边上的中线，
∴ ED = DC。

【分析】
要证明ED=DC，观察到AD⊥BC，若能证明△AEC是等腰三角形，即可利用等腰三角形“三线合一”的性质得到AD是EC的中线，进而得到ED=DC。已知EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可先连接AE，得到AE=BE，再结合已知BE=AC，等量代换可得AE=AC，即△AEC为等腰三角形，结合AD⊥BC的条件即可完成证明。
【解析】
证明：
连接AE。
∵ EF是AB的垂直平分线，点E在EF上，
∴ AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ BE = AC，
∴ AE = AC，即△AEC是等腰三角形。
又
∵ AD⊥BC，
∴ AD是等腰△AEC底边EC上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD也是EC边上的中线，
∴ ED = DC。
【答案】
ED=DC
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形三线合一；等量代换
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的核心是通过连接AE构造辅助线，将已知的垂直平分线条件和等腰三角形的性质建立关联，这类问题的解题突破口是熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质，学会合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7

6.如图，点O，F在△ABC内部，OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，FB=FC，作直线OF.
(1)连接OB，OC，求证OB=OC；
(2)求证：OF垂直平分BC.

证明：(1)
∵ OD垂直平分AB，
∴ OA = OB。
∵ OE垂直平分AC，
∴ OA = OC。
∴ OB = OC。
(2)
∵ OB = OC，
∴ 点O在BC的垂直平分线上。
又∵ FB = FC，
∴ 点F在BC的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线OF垂直平分BC。

【分析】
(1)要证明OB=OC，可借助线段垂直平分线的性质推导：首先回忆线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。已知OD垂直平分AB，可得OB与OA相等；OE垂直平分AC，可得OC与OA相等，通过等量代换即可得到OB=OC。
(2)要证明OF垂直平分BC，需结合线段垂直平分线的判定推导：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。由(1)得OB=OC，可知点O在BC的垂直平分线上；已知FB=FC，可知点F也在BC的垂直平分线上，再根据“两点确定一条直线”，即可推出直线OF是BC的垂直平分线。
【解析】
(1)证明：
∵ OD垂直平分AB，
∴ OA = OB。
∵ OE垂直平分AC，
∴ OA = OC。
∴ OB = OC。
(2)证明：
∵ OB = OC，
∴ 点O在BC的垂直平分线上。
又
∵ FB = FC，
∴ 点F在BC的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线OF垂直平分BC。
【答案】
(1)OB=OC，证明如上；
(2)OF垂直平分BC，证明如上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查线段垂直平分线性质与判定的综合应用，解题关键是区分性质和判定的使用场景：已知垂直平分线求线段相等用性质，已知线段相等判断点的位置用判定，结合两点确定一条直线即可完成证明。
【难度系数】
0.8