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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交BC于点D，连接AD。若BC=4 cm，AC=3 cm，则$△ ACD$的周长为 cm.
答案
7
解析
【分析】
首先识别作图类型：题中的尺规作图方法是作线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD。接下来求△ACD的周长，先写出周长的表达式：△ACD的周长=AC+CD+AD，将AD替换为等量BD后，CD+BD恰好等于BC，因此周长可转化为已知线段AC与BC的和，直接代入数值计算即可。
【解析】
解：由尺规作图的特征可知，所作直线是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，点D在AB的垂直平分线上，因此$\boldsymbol{AD=BD}$。
△ACD的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ ACD}&=AC+CD+AD\\&=AC+CD+BD \quad (\mathrm{将AD替换为等量BD})\\&=AC+(CD+BD)\\&=AC+BC\end{aligned}$
已知$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，代入得：
$C_{△ ACD}=3+4=7\ \mathrm{cm}$
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作图；三角形周长计算
【点评】
本题考查几何性质的基础应用，解题关键是通过识别尺规作图类型，利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将待求周长转化为已知线段的和，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
首先识别作图类型：题中的尺规作图方法是作线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD。接下来求△ACD的周长，先写出周长的表达式：△ACD的周长=AC+CD+AD，将AD替换为等量BD后，CD+BD恰好等于BC，因此周长可转化为已知线段AC与BC的和，直接代入数值计算即可。
【解析】
解：由尺规作图的特征可知，所作直线是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，点D在AB的垂直平分线上，因此$\boldsymbol{AD=BD}$。
△ACD的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ ACD}&=AC+CD+AD\\&=AC+CD+BD \quad (\mathrm{将AD替换为等量BD})\\&=AC+(CD+BD)\\&=AC+BC\end{aligned}$
已知$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，代入得：
$C_{△ ACD}=3+4=7\ \mathrm{cm}$
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作图；三角形周长计算
【点评】
本题考查几何性质的基础应用，解题关键是通过识别尺规作图类型，利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将待求周长转化为已知线段的和，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
2.如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α=.
答案
$\boldsymbol{58°}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：四边形ABCD是矩形，可得对边平行，利用平行线性质求出∠DAC的度数；接下来识别尺规作图的痕迹：一是作∠DAC的角平分线，二是作线段AC的垂直平分线；再结合角平分线性质得到平分后的角度，最后利用三角形内角和定理即可求出∠α的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAC = ∠ACB = 64°（两直线平行，内错角相等）。
由尺规作图痕迹可知：
① 所作射线是∠DAC的角平分线，因此平分后所得角的度数为 $\frac{1}{2}∠ DAC = \frac{1}{2} × 64° = 32°$；
② 所作直线是线段AC的垂直平分线，因此该直线与AC的夹角为90°。
在∠α所在的三角形中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ α = 180° - 90° - 32° = 58°$
【答案】
$\boldsymbol{58°}$
【知识点】
矩形的性质；尺规作图的识别；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是正确识别尺规作图对应的操作，再结合平行线性质、角平分线性质和三角形内角和的知识进行角度计算，需要学生具备一定的图形识别能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察图形特征：四边形ABCD是矩形，可得对边平行，利用平行线性质求出∠DAC的度数；接下来识别尺规作图的痕迹：一是作∠DAC的角平分线，二是作线段AC的垂直平分线；再结合角平分线性质得到平分后的角度，最后利用三角形内角和定理即可求出∠α的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAC = ∠ACB = 64°（两直线平行，内错角相等）。
由尺规作图痕迹可知：
① 所作射线是∠DAC的角平分线，因此平分后所得角的度数为 $\frac{1}{2}∠ DAC = \frac{1}{2} × 64° = 32°$；
② 所作直线是线段AC的垂直平分线，因此该直线与AC的夹角为90°。
在∠α所在的三角形中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ α = 180° - 90° - 32° = 58°$
【答案】
$\boldsymbol{58°}$
【知识点】
矩形的性质；尺规作图的识别；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是正确识别尺规作图对应的操作，再结合平行线性质、角平分线性质和三角形内角和的知识进行角度计算，需要学生具备一定的图形识别能力。
【难度系数】
0.65
3.如图，在$∠ MON$的两边上分别截取$OA$，$OB$，使$OA=OB$；分别以点$A$，$B$为圆心，$OA$长为半径画弧，两弧相交于点$C$；连接$AC$，$BC$，$AB$，$OC$。若$AB=2\ \mathrm{cm}$，四边形$OACB$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$，则$OC$的长为$\mathrm{cm}$.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
首先根据题中的作图步骤，可得出四边形OACB的四条边相等，由此判定该四边形是菱形；再结合菱形的面积公式（对角线乘积的一半），将已知的AB长度和四边形面积代入公式，即可求出OC的长度。
【解析】
由作图过程可知：$OA=OB$，$AC=OA$，$BC=OB$，因此$OA=OB=BC=AC$，所以四边形$OACB$是菱形。
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即$S_{\mathrm{四边形}OACB}=\frac{1}{2} × AB × OC$。
已知$AB=2\ \mathrm{cm}$，四边形$OACB$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$，代入公式得：
$4=\frac{1}{2} × 2 × OC$
解得：$OC=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$4$
【知识点】
菱形的判定；菱形的面积计算
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的相关性质，解题的核心是先根据作图特征判断出四边形的形状，再利用对应图形的面积公式列式计算，属于基础题型，侧重对基础知识点的灵活应用考查。
【难度系数】
0.8
首先根据题中的作图步骤，可得出四边形OACB的四条边相等，由此判定该四边形是菱形；再结合菱形的面积公式（对角线乘积的一半），将已知的AB长度和四边形面积代入公式，即可求出OC的长度。
【解析】
由作图过程可知：$OA=OB$，$AC=OA$，$BC=OB$，因此$OA=OB=BC=AC$，所以四边形$OACB$是菱形。
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即$S_{\mathrm{四边形}OACB}=\frac{1}{2} × AB × OC$。
已知$AB=2\ \mathrm{cm}$，四边形$OACB$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$，代入公式得：
$4=\frac{1}{2} × 2 × OC$
解得：$OC=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$4$
【知识点】
菱形的判定；菱形的面积计算
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的相关性质，解题的核心是先根据作图特征判断出四边形的形状，再利用对应图形的面积公式列式计算，属于基础题型，侧重对基础知识点的灵活应用考查。
【难度系数】
0.8
4.如图，已知$AD=BC$，$∠ D=∠ C$，$AC$交$BD$于点$E$.请用无刻度的直尺作线段$AB$的垂直平分线.
答案
解：
在△ADE和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}∠D=∠C \\∠AED=∠BEC \\AD=BC\end{array} $
∴△ADE≌△BCE(AAS)，
∴AE=BE，点E在线段AB的垂直平分线上。
延长AD、BC交于点P，
∵∠PAB = 180° - ∠D - ∠AED，∠PBA = 180° - ∠C - ∠BEC，
又∵∠D=∠C，∠AED=∠BEC，
∴∠PAB=∠PBA，
∴PA=PB，点P也在线段AB的垂直平分线上。
用无刻度的直尺作直线PE，直线PE即为所求作的线段AB的垂直平分线。
在△ADE和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}∠D=∠C \\∠AED=∠BEC \\AD=BC\end{array} $
∴△ADE≌△BCE(AAS)，
∴AE=BE，点E在线段AB的垂直平分线上。
延长AD、BC交于点P，
∵∠PAB = 180° - ∠D - ∠AED，∠PBA = 180° - ∠C - ∠BEC，
又∵∠D=∠C，∠AED=∠BEC，
∴∠PAB=∠PBA，
∴PA=PB，点P也在线段AB的垂直平分线上。
用无刻度的直尺作直线PE，直线PE即为所求作的线段AB的垂直平分线。
解析
【分析】
要作线段AB的垂直平分线，依据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，我们只需找到两个到A、B距离相等的点，过两点作直线即可。首先利用已知的边、角条件证明△ADE和△BCE全等，可得AE=BE，确定点E在AB的垂直平分线上；再延长AD、BC交于点P，证明∠PAB=∠PBA得到PA=PB，确定点P也在AB的垂直平分线上，最后过P、E作直线即为所求。
【解析】
1. 证明点E在AB的垂直平分线上：
在△ADE和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}∠D=∠C \\∠AED=∠BEC\quad(\mathrm{对顶角相等}) \\AD=BC\end{array} $
∴△ADE≌△BCE（AAS），
∴AE=BE，因此点E在线段AB的垂直平分线上。
2. 证明点P在AB的垂直平分线上：
延长AD、BC交于点P，
∵∠PAB = 180° - ∠D - ∠AED，∠PBA = 180° - ∠C - ∠BEC，
又
∵∠D=∠C，∠AED=∠BEC，
∴∠PAB=∠PBA，
∴PA=PB，因此点P也在线段AB的垂直平分线上。
3. 作图：
用无刻度的直尺作直线PE，直线PE即为所求作的线段AB的垂直平分线。
【答案】
作直线PE，直线PE即为所求的线段AB的垂直平分线。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题结合几何证明和无刻度直尺作图，需要灵活运用三角形全等、等腰三角形、线段垂直平分线的相关判定，解题核心是找到两个到线段AB两端距离相等的点，利用两点确定一条直线得到垂直平分线，考查学生的逻辑推理能力和作图应用能力。
【难度系数】
0.6
要作线段AB的垂直平分线，依据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，我们只需找到两个到A、B距离相等的点，过两点作直线即可。首先利用已知的边、角条件证明△ADE和△BCE全等，可得AE=BE，确定点E在AB的垂直平分线上；再延长AD、BC交于点P，证明∠PAB=∠PBA得到PA=PB，确定点P也在AB的垂直平分线上，最后过P、E作直线即为所求。
【解析】
1. 证明点E在AB的垂直平分线上：
在△ADE和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}∠D=∠C \\∠AED=∠BEC\quad(\mathrm{对顶角相等}) \\AD=BC\end{array} $
∴△ADE≌△BCE（AAS），
∴AE=BE，因此点E在线段AB的垂直平分线上。
2. 证明点P在AB的垂直平分线上：
延长AD、BC交于点P，
∵∠PAB = 180° - ∠D - ∠AED，∠PBA = 180° - ∠C - ∠BEC，
又
∵∠D=∠C，∠AED=∠BEC，
∴∠PAB=∠PBA，
∴PA=PB，因此点P也在线段AB的垂直平分线上。
3. 作图：
用无刻度的直尺作直线PE，直线PE即为所求作的线段AB的垂直平分线。
【答案】
作直线PE，直线PE即为所求的线段AB的垂直平分线。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题结合几何证明和无刻度直尺作图，需要灵活运用三角形全等、等腰三角形、线段垂直平分线的相关判定，解题核心是找到两个到线段AB两端距离相等的点，利用两点确定一条直线得到垂直平分线，考查学生的逻辑推理能力和作图应用能力。
【难度系数】
0.6
5.如图,在$△ ABC$中.
(1)尺规作图:作边AC的垂直平分线DE,分别交AC,BC于点D,E(保留作图痕迹,不写作法);
(2)已知$AB=6\ \mathrm{cm}$,$CB=8\ \mathrm{cm}$,求$△ ABE$的周长.
(1)尺规作图:作边AC的垂直平分线DE,分别交AC,BC于点D,E(保留作图痕迹,不写作法);
(2)已知$AB=6\ \mathrm{cm}$,$CB=8\ \mathrm{cm}$,求$△ ABE$的周长.
答案
解：
(1) 作出AC的垂直平分线DE，分别交AC于点D，交BC于点E，保留尺规作图痕迹，图略。
(2) ∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AE = CE。
∴ $C_{△ ABE}=AB + BE + AE$
$= AB + BE + CE$
$= AB + BC$。
∵ $AB=6\ \mathrm{cm}$，$CB=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $C_{△ ABE}=6 + 8 = 14\ \mathrm{cm}$。
答：$△ ABE$的周长为$14\ \mathrm{cm}$。
(1) 作出AC的垂直平分线DE，分别交AC于点D，交BC于点E，保留尺规作图痕迹，图略。
(2) ∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AE = CE。
∴ $C_{△ ABE}=AB + BE + AE$
$= AB + BE + CE$
$= AB + BC$。
∵ $AB=6\ \mathrm{cm}$，$CB=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $C_{△ ABE}=6 + 8 = 14\ \mathrm{cm}$。
答：$△ ABE$的周长为$14\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
第(1)问是尺规作图题，作线段的垂直平分线时，只需分别以线段两个端点为圆心，取大于线段长度一半的长度为半径画弧，连接两弧的两个交点，得到的直线就是该线段的垂直平分线，按要求标记交点、保留作图痕迹即可。
第(2)问求三角形周长，首先明确△ABE的周长为AB+BE+AE，已知AB、BC的长度，此时结合DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=CE，这样就能将AE替换为CE，把BE+AE转化为BE+CE=BC，进而直接用已知线段的和计算周长。
【解析】
(1) 按尺规作图规范作出AC的垂直平分线DE，分别交AC于点D、交BC于点E，保留作图痕迹，图略。
(2)
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AE = CE。
△ABE的周长$C_{△ABE}=AB + BE + AE$，
将AE替换为CE可得：
$C_{△ABE}=AB + BE + CE = AB + BC$，
已知$AB=6\ \mathrm{cm}$，$CB=8\ \mathrm{cm}$，代入得：
$C_{△ABE}=6 + 8 = 14\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 作图略；
(2) $△ ABE$的周长为$14\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段垂直平分线作图、线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题结合了尺规作图与几何计算，核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段等量代换，将未知周长转化为已知线段的和，降低计算难度，是轴对称模块的基础常考题。
【难度系数】
0.8
第(1)问是尺规作图题，作线段的垂直平分线时，只需分别以线段两个端点为圆心，取大于线段长度一半的长度为半径画弧，连接两弧的两个交点，得到的直线就是该线段的垂直平分线，按要求标记交点、保留作图痕迹即可。
第(2)问求三角形周长，首先明确△ABE的周长为AB+BE+AE，已知AB、BC的长度，此时结合DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=CE，这样就能将AE替换为CE，把BE+AE转化为BE+CE=BC，进而直接用已知线段的和计算周长。
【解析】
(1) 按尺规作图规范作出AC的垂直平分线DE，分别交AC于点D、交BC于点E，保留作图痕迹，图略。
(2)
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AE = CE。
△ABE的周长$C_{△ABE}=AB + BE + AE$，
将AE替换为CE可得：
$C_{△ABE}=AB + BE + CE = AB + BC$，
已知$AB=6\ \mathrm{cm}$，$CB=8\ \mathrm{cm}$，代入得：
$C_{△ABE}=6 + 8 = 14\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 作图略；
(2) $△ ABE$的周长为$14\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段垂直平分线作图、线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题结合了尺规作图与几何计算，核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段等量代换，将未知周长转化为已知线段的和，降低计算难度，是轴对称模块的基础常考题。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 小明发现有些轴对称图形的对称轴可以用无刻度的直尺画出，依据是“轴对称图形中，已知线段与其关于某直线对称的线段（或其延长线）的交点在对称轴上。”请利用上述知识解决下列问题。
如图，$△ ABC$与$△ DEF$关于直线$l$对称，请只用无刻度的直尺，在下面三个图中分别作出直线$l$。
如图，$△ ABC$与$△ DEF$关于直线$l$对称，请只用无刻度的直尺，在下面三个图中分别作出直线$l$。
答案
解：
图①作图步骤：
1. 延长线段$CB$、$FE$，两线交于点$P$；
2. 过点$A$（与点$D$重合）和点$P$作直线，该直线即为所求直线$l$。
图②作图步骤：
1. 延长线段$AC$、$DF$，两线交于点$Q$；
2. 过点$B$（与点$E$重合）和点$Q$作直线，该直线即为所求直线$l$。
图③作图步骤：
1. 延长线段$AB$、$DE$，两线交于点$M$；
2. 延长线段$CB$、$FE$，两线交于点$N$；
3. 过点$M$、$N$作直线，该直线即为所求直线$l$。
图①作图步骤：
1. 延长线段$CB$、$FE$，两线交于点$P$；
2. 过点$A$（与点$D$重合）和点$P$作直线，该直线即为所求直线$l$。
图②作图步骤：
1. 延长线段$AC$、$DF$，两线交于点$Q$；
2. 过点$B$（与点$E$重合）和点$Q$作直线，该直线即为所求直线$l$。
图③作图步骤：
1. 延长线段$AB$、$DE$，两线交于点$M$；
2. 延长线段$CB$、$FE$，两线交于点$N$；
3. 过点$M$、$N$作直线，该直线即为所求直线$l$。
解析
【分析】
解题依据为题目给出的规律：轴对称图形中，对称线段（或其延长线）的交点在对称轴上，同时两点可确定唯一一条直线。我们只需找到2个在对称轴上的点，连接两点即可得到对称轴：
1. 图①中点A和对称点D重合，说明A在对称轴上，只需再找一组对称线段延长线的交点，即可与A确定对称轴；
2. 图②中点B和对称点E重合，说明B在对称轴上，只需再找一组对称线段延长线的交点，即可与B确定对称轴；
3. 图③中没有重合的对称点，只需找两组不同对称线段延长线的交点，两个交点都在对称轴上，连接两点即可得到对称轴。
【解析】
图①作图步骤：
1. 延长线段CB、FE，两线交于点P，由轴对称性质可知P在对称轴上；
2. 点A（与D重合）为对称点，在对称轴上，过A、P两点作直线，即为所求直线$l$。
图②作图步骤：
1. 延长线段AC、DF，两线交于点Q，由轴对称性质可知Q在对称轴上；
2. 点B（与E重合）为对称点，在对称轴上，过B、Q两点作直线，即为所求直线$l$。
图③作图步骤：
1. 延长线段AB、DE，两线交于点M，由轴对称性质可知M在对称轴上；
2. 延长线段CB、FE，两线交于点N，由轴对称性质可知N在对称轴上；
3. 过M、N两点作直线，即为所求直线$l$。
【答案】
图①：延长CB、FE交于点P，过点A（D）和P作直线；
图②：延长AC、DF交于点Q，过点B（E）和Q作直线；
图③：延长AB、DE交于点M，延长CB、FE交于点N，过点M和N作直线，上述三条直线即为所求的对称轴$l$。
【知识点】
轴对称的性质、两点确定一条直线
【点评】
本题聚焦轴对称性质的灵活运用，无需度量工具，仅利用对称线段的交点规律即可确定对称轴，能够有效培养几何直观与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题依据为题目给出的规律：轴对称图形中，对称线段（或其延长线）的交点在对称轴上，同时两点可确定唯一一条直线。我们只需找到2个在对称轴上的点，连接两点即可得到对称轴：
1. 图①中点A和对称点D重合，说明A在对称轴上，只需再找一组对称线段延长线的交点，即可与A确定对称轴；
2. 图②中点B和对称点E重合，说明B在对称轴上，只需再找一组对称线段延长线的交点，即可与B确定对称轴；
3. 图③中没有重合的对称点，只需找两组不同对称线段延长线的交点，两个交点都在对称轴上，连接两点即可得到对称轴。
【解析】
图①作图步骤：
1. 延长线段CB、FE，两线交于点P，由轴对称性质可知P在对称轴上；
2. 点A（与D重合）为对称点，在对称轴上，过A、P两点作直线，即为所求直线$l$。
图②作图步骤：
1. 延长线段AC、DF，两线交于点Q，由轴对称性质可知Q在对称轴上；
2. 点B（与E重合）为对称点，在对称轴上，过B、Q两点作直线，即为所求直线$l$。
图③作图步骤：
1. 延长线段AB、DE，两线交于点M，由轴对称性质可知M在对称轴上；
2. 延长线段CB、FE，两线交于点N，由轴对称性质可知N在对称轴上；
3. 过M、N两点作直线，即为所求直线$l$。
【答案】
图①：延长CB、FE交于点P，过点A（D）和P作直线；
图②：延长AC、DF交于点Q，过点B（E）和Q作直线；
图③：延长AB、DE交于点M，延长CB、FE交于点N，过点M和N作直线，上述三条直线即为所求的对称轴$l$。
【知识点】
轴对称的性质、两点确定一条直线
【点评】
本题聚焦轴对称性质的灵活运用，无需度量工具，仅利用对称线段的交点规律即可确定对称轴，能够有效培养几何直观与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
