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探究 如图,在$\odot O$中,如果直线$l$是$\odot O$的切线,切点为点$A$,那么半径$OA$是否一定与直线$l$垂直?
解:半径$OA$一定与直线$l$垂直.证明如下:假设半径$OA$与直线$l$
如图,过点$O$作$OB⊥ l$于点$B$.根据垂线段最短的性质,得
这与
解:半径$OA$一定与直线$l$垂直.证明如下:假设半径$OA$与直线$l$
不垂直
.如图,过点$O$作$OB⊥ l$于点$B$.根据垂线段最短的性质,得
OB
$＜ OA$,即圆心$O$到直线$l$的距离小于半径$OA$.$\therefore$直线$l$与$\odot O$ 相交
.这与
直线$l$是$\odot O$的切线
矛盾,$\therefore$假设不成立.$\therefore$半径$OA$一定与直线$l$垂直.答案
探究 不垂直 OB 相交 直线l是⊙O的切线
解析
【分析】
本题运用反证法证明切线的性质，解题遵循反证法的常规逻辑：第一步先反设，假设待证结论“OA⊥直线l”不成立；第二步推导矛盾，过圆心O作直线l的垂线OB，利用垂线段最短得到OB和OA的大小关系，再结合直线与圆位置关系的判定规则，推出直线l和圆的位置关系，和已知条件形成矛盾；第三步否定假设，肯定原结论成立，按照这个思路即可依次填出空缺内容。
【解析】
证明过程如下：
1. 反设阶段：假设半径OA与直线l不垂直。
2. 过点O作OB⊥l于点B，根据垂线段最短的性质，可得OB＜OA，即圆心O到直线l的距离小于半径OA。
3. 根据直线与圆的位置关系判定：当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，因此直线l与⊙O相交。
4. 该结论与已知条件直线l是⊙O的切线矛盾，因此假设不成立，原结论“半径OA一定与直线l垂直”成立。
【答案】
不垂直；OB；相交；直线l是⊙O的切线
【知识点】
反证法；切线的性质；直线与圆的位置关系
【点评】
本题依托切线性质的推导，考查反证法的基本运用，同时要求熟练掌握直线与圆不同位置关系的判定条件，逻辑链条清晰，能帮助大家深入理解切线性质的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
本题运用反证法证明切线的性质，解题遵循反证法的常规逻辑：第一步先反设，假设待证结论“OA⊥直线l”不成立；第二步推导矛盾，过圆心O作直线l的垂线OB，利用垂线段最短得到OB和OA的大小关系，再结合直线与圆位置关系的判定规则，推出直线l和圆的位置关系，和已知条件形成矛盾；第三步否定假设，肯定原结论成立，按照这个思路即可依次填出空缺内容。
【解析】
证明过程如下：
1. 反设阶段：假设半径OA与直线l不垂直。
2. 过点O作OB⊥l于点B，根据垂线段最短的性质，可得OB＜OA，即圆心O到直线l的距离小于半径OA。
3. 根据直线与圆的位置关系判定：当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，因此直线l与⊙O相交。
4. 该结论与已知条件直线l是⊙O的切线矛盾，因此假设不成立，原结论“半径OA一定与直线l垂直”成立。
【答案】
不垂直；OB；相交；直线l是⊙O的切线
【知识点】
反证法；切线的性质；直线与圆的位置关系
【点评】
本题依托切线性质的推导，考查反证法的基本运用，同时要求熟练掌握直线与圆不同位置关系的判定条件，逻辑链条清晰，能帮助大家深入理解切线性质的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
1.【例1】如图，AB是$\odot O$的切线，切点为点A，半径$OA=2$，$∠ AOB=60°$，求$∠ B$的度数及OB的长。
答案
1. 解:
∵ AB 是$\odot O$的切线,
∴ ∠OAB = 90°.
∵ ∠AOB = 60°,
∴ ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.在 Rt△OAB 中,OA = 2,
∴ OB = 2OA = 4.
∵ AB 是$\odot O$的切线,
∴ ∠OAB = 90°.
∵ ∠AOB = 60°,
∴ ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.在 Rt△OAB 中,OA = 2,
∴ OB = 2OA = 4.
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，由AB是$\odot O$的切线得到$∠ OAB$为直角，确定$△ OAB$是直角三角形；接下来利用三角形内角和为$180°$，结合已知的$∠ AOB=60°$，即可求出$∠ B$的度数；最后根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，已知OA的长度就能求出OB的长。
【解析】
解：
∵ AB是$\odot O$的切线，A为切点，
∴ $OA⊥ AB$，即$∠ OAB = 90°$。
在$△ OAB$中，根据三角形内角和定理：
$∠ B = 180° - ∠ OAB - ∠ AOB = 180° - 90° - 60° = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ B=30°$，$30°$角所对的直角边为$OA=2$，
∴ 斜边$OB = 2OA = 2×2 = 4$。
【答案】
$∠ B=30°$，$OB=4$
【知识点】
切线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是先利用切线的性质构造出直角三角形，再结合三角形内角和、直角三角形的特殊性质求解，考察的都是基础知识点的应用，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据切线的性质，由AB是$\odot O$的切线得到$∠ OAB$为直角，确定$△ OAB$是直角三角形；接下来利用三角形内角和为$180°$，结合已知的$∠ AOB=60°$，即可求出$∠ B$的度数；最后根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，已知OA的长度就能求出OB的长。
【解析】
解：
∵ AB是$\odot O$的切线，A为切点，
∴ $OA⊥ AB$，即$∠ OAB = 90°$。
在$△ OAB$中，根据三角形内角和定理：
$∠ B = 180° - ∠ OAB - ∠ AOB = 180° - 90° - 60° = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ B=30°$，$30°$角所对的直角边为$OA=2$，
∴ 斜边$OB = 2OA = 2×2 = 4$。
【答案】
$∠ B=30°$，$OB=4$
【知识点】
切线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是先利用切线的性质构造出直角三角形，再结合三角形内角和、直角三角形的特殊性质求解，考察的都是基础知识点的应用，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.【例2】如图,在$\odot O$中,AB是直径,CD是$\odot O$的切线,切点为点D,直线AB和ED交于点C,$∠ ADE = 60°$.
(1)求$∠ C$的度数;
(2)求证:$AD = CD.$
(1)求$∠ C$的度数;
(2)求证:$AD = CD.$
答案
3. (1)解:如图,连接 OD.
∵ CD 是$\odot O$的切线,OD 是半径,
∴ OD ⊥ EC.
∴ ∠EDO = ∠ODC = 90°.
∵ ∠ADE = 60°,
∴ ∠ADO = 30°.
∵ OA = OD,
∴ ∠A = ∠ADO = 30°.
∴ ∠COD = 2∠A = 60°.
∴ ∠C = 90° - 60° = 30°.(2)证明:由(1),得∠A = ∠C = 30°.
∴ AD = CD.
解析
【分析】
（1）求解∠C的度数时，遇到圆的切线，优先考虑作辅助线连接切点与圆心，利用切线的性质得到垂直关系。首先连接OD，由切线性质得OD⊥EC，结合已知∠ADE=60°可求出∠ADO的度数；再根据同圆半径相等可得OA=OD，推出∠A=∠ADO，再利用圆周角定理求出∠COD的度数，最后在直角△ODC中根据两锐角互余即可求出∠C。
（2）要证明AD=CD，只需证明两角对应的底角相等，即证∠A=∠C，利用等角对等边即可得证，结合（1）的计算结论可直接推导。
【解析】
(1) 解：如图，连接OD。
∵ CD是$\odot O$的切线，OD是$\odot O$的半径，
∴ OD ⊥ EC，
∴ $∠ EDO = ∠ ODC = 90°$。
∵ $∠ ADE = 60°$，
∴ $∠ ADO = 90° - 60° = 30°$。
∵ OA和OD都是$\odot O$的半径，即$OA=OD$，
∴ $∠ A = ∠ ADO = 30°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ COD = 2∠ A = 60°$。
在$Rt△ ODC$中，$∠ C + ∠ COD = 90°$，
∴ $∠ C = 90° - 60° = 30°$。
(2) 证明：由（1）的计算结果可知$∠ A=30°$，$∠ C=30°$，即$∠ A = ∠ C$。
根据等角对等边的性质，可得$AD = CD$。
【答案】
(1)解:如图,连接 OD.
∵ CD 是$\odot O$的切线,OD 是半径,
∴ OD ⊥ EC.
∴ ∠EDO = ∠ODC = 90°.
∵ ∠ADE = 60°,
∴ ∠ADO = 30°.
∵ OA = OD,
∴ ∠A = ∠ADO = 30°.
∴ ∠COD = 2∠A = 60°.
∴ ∠C = 90° - 60° = 30°.(2)证明:由(1),得∠A = ∠C = 30°.
∴ AD = CD.
【知识点】
1. 切线的性质
2. 圆周角定理
3. 等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，重点考察切线问题的常用辅助线做法（连接圆心和切点），结合圆周角定理和等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握切线相关的辅助线技巧可快速解题。
【难度系数】
0.7
（1）求解∠C的度数时，遇到圆的切线，优先考虑作辅助线连接切点与圆心，利用切线的性质得到垂直关系。首先连接OD，由切线性质得OD⊥EC，结合已知∠ADE=60°可求出∠ADO的度数；再根据同圆半径相等可得OA=OD，推出∠A=∠ADO，再利用圆周角定理求出∠COD的度数，最后在直角△ODC中根据两锐角互余即可求出∠C。
（2）要证明AD=CD，只需证明两角对应的底角相等，即证∠A=∠C，利用等角对等边即可得证，结合（1）的计算结论可直接推导。
【解析】
(1) 解：如图，连接OD。
∵ CD是$\odot O$的切线，OD是$\odot O$的半径，
∴ OD ⊥ EC，
∴ $∠ EDO = ∠ ODC = 90°$。
∵ $∠ ADE = 60°$，
∴ $∠ ADO = 90° - 60° = 30°$。
∵ OA和OD都是$\odot O$的半径，即$OA=OD$，
∴ $∠ A = ∠ ADO = 30°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ COD = 2∠ A = 60°$。
在$Rt△ ODC$中，$∠ C + ∠ COD = 90°$，
∴ $∠ C = 90° - 60° = 30°$。
(2) 证明：由（1）的计算结果可知$∠ A=30°$，$∠ C=30°$，即$∠ A = ∠ C$。
根据等角对等边的性质，可得$AD = CD$。
【答案】
(1)解:如图,连接 OD.
∵ CD 是$\odot O$的切线,OD 是半径,
∴ OD ⊥ EC.
∴ ∠EDO = ∠ODC = 90°.
∵ ∠ADE = 60°,
∴ ∠ADO = 30°.
∵ OA = OD,
∴ ∠A = ∠ADO = 30°.
∴ ∠COD = 2∠A = 60°.
∴ ∠C = 90° - 60° = 30°.(2)证明:由(1),得∠A = ∠C = 30°.
∴ AD = CD.
【知识点】
1. 切线的性质
2. 圆周角定理
3. 等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，重点考察切线问题的常用辅助线做法（连接圆心和切点），结合圆周角定理和等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握切线相关的辅助线技巧可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. (人教九上$\mathrm{P}_{152}$练习$\mathrm{T}_{1}$改编)如图，AB是$\odot O$的切线，A是切点，$AC = AB = 1$，AC是$\odot O$的直径，求$∠ C$的度数及BC的长. 
答案
2. 解:
∵ AB 为$\odot O$的切线,
∴ AC ⊥ AB,∠CAB = 90°.
∵ AC = AB = 1,
∴ ∠C = ∠B = 45°.在 Rt△CAB 中,BC = $\sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{2}$.
∵ AB 为$\odot O$的切线,
∴ AC ⊥ AB,∠CAB = 90°.
∵ AC = AB = 1,
∴ ∠C = ∠B = 45°.在 Rt△CAB 中,BC = $\sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{2}$.
解析
【分析】
首先从已知条件“AB是⊙O的切线”出发，回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，A是切点，AC是直径，因此可推出AC⊥AB，得到△CAB为直角三角形；再结合AC=AB=1的条件，可判断△CAB是等腰直角三角形，即可求出∠C的度数，最后利用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的切线，A为切点，
∴ AC⊥AB，即$∠ CAB = 90°$，
又
∵ $AC = AB = 1$，
∴ $△ CAB$是等腰直角三角形，
∴ $∠ C = ∠ B=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
在$Rt△ CAB$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$∠ C=45°$，BC的长为$\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用切线的性质，结合等腰直角三角形特征和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件“AB是⊙O的切线”出发，回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，A是切点，AC是直径，因此可推出AC⊥AB，得到△CAB为直角三角形；再结合AC=AB=1的条件，可判断△CAB是等腰直角三角形，即可求出∠C的度数，最后利用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的切线，A为切点，
∴ AC⊥AB，即$∠ CAB = 90°$，
又
∵ $AC = AB = 1$，
∴ $△ CAB$是等腰直角三角形，
∴ $∠ C = ∠ B=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
在$Rt△ CAB$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$∠ C=45°$，BC的长为$\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用切线的性质，结合等腰直角三角形特征和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AB是$\odot O$的切线，点B为切点，半径CO的延长线交切线于点A，若$AB = BC$，$OA = 6\ \mathrm{cm}$.
(1)求$∠ A$的度数；
(2)求BC的长.
(1)求$∠ A$的度数；
(2)求BC的长.
答案
4. 解:(1)如图,连接 OB.
∵ AB 是$\odot O$的切线,
∴ ∠ABO = 90°.
∴ ∠A + ∠AOB = 90°.
∵ AB = BC,
∴ ∠A = ∠ACB.
∵ OB = OC,
∴ ∠OBC = ∠ACB.
∴ ∠A = ∠OBC = ∠ACB.
∵ ∠AOB = ∠OBC + ∠ACB,
∴ ∠AOB = 2∠A.
∴ ∠A + 2∠A = 90°.
∴ ∠A = 30°.(2)由(1)知,∠A = 30°,∠ABO = 90°.
∴ △AOB 是直角三角形.在 Rt△AOB 中,OA = 6 cm,∠A = 30°,
∴ BO = $\frac{1}{2}AO$ = 3(cm).
∴ AB = $\sqrt{AO^2 - BO^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$(cm).
∵ AB = BC,
∴ BC = $3\sqrt{3}$ cm.
解析
【分析】
(1) 求∠A的度数时，首先根据切线的性质，连接切点B与圆心O，可得到直角∠ABO，即∠A与∠AOB互余；再结合AB=BC、OB=OC的等腰三角形条件，推导得∠A、∠ACB、∠OBC三个角相等；再利用三角形外角性质可知∠AOB=2∠A，代入互余关系即可求出∠A的度数。
(2) 求BC的长时，由AB=BC可知只需先求AB的长；在Rt△AOB中，已知∠A=30°、OA=6cm，先利用30°角所对直角边等于斜边一半求出OB的长度，再用勾股定理算出AB的长度，即可得到BC的长度。
【解析】
(1) 连接OB，
∵AB是$\odot O$的切线，点B为切点，
∴$∠ ABO = 90°$，
∴$∠ A + ∠ AOB = 90°$。
∵$AB = BC$，
∴$∠ A = ∠ ACB$，
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，$OB=OC$，
∴$∠ OBC = ∠ ACB$，
∴$∠ A = ∠ OBC = ∠ ACB$。
∵$∠ AOB$是$△ OBC$的外角，
∴$∠ AOB = ∠ OBC + ∠ ACB = 2∠ A$，
代入$∠ A + ∠ AOB = 90°$得：$∠ A + 2∠ A = 90°$，
解得$∠ A = 30°$。
(2) 由(1)可知$∠ A=30°$，$∠ ABO=90°$，$△ AOB$为直角三角形，
在Rt$△ AOB$中，$OA=6\ \mathrm{cm}$，$∠ A=30°$，
∴$OB = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∵$AB=BC$，
∴$BC = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ A$的度数为$30°$；
(2) BC的长为$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题的核心技巧是遇到切线时连接圆心与切点构造直角三角形，再结合三角形的角度、边长相关性质求解，掌握基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠A的度数时，首先根据切线的性质，连接切点B与圆心O，可得到直角∠ABO，即∠A与∠AOB互余；再结合AB=BC、OB=OC的等腰三角形条件，推导得∠A、∠ACB、∠OBC三个角相等；再利用三角形外角性质可知∠AOB=2∠A，代入互余关系即可求出∠A的度数。
(2) 求BC的长时，由AB=BC可知只需先求AB的长；在Rt△AOB中，已知∠A=30°、OA=6cm，先利用30°角所对直角边等于斜边一半求出OB的长度，再用勾股定理算出AB的长度，即可得到BC的长度。
【解析】
(1) 连接OB，
∵AB是$\odot O$的切线，点B为切点，
∴$∠ ABO = 90°$，
∴$∠ A + ∠ AOB = 90°$。
∵$AB = BC$，
∴$∠ A = ∠ ACB$，
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，$OB=OC$，
∴$∠ OBC = ∠ ACB$，
∴$∠ A = ∠ OBC = ∠ ACB$。
∵$∠ AOB$是$△ OBC$的外角，
∴$∠ AOB = ∠ OBC + ∠ ACB = 2∠ A$，
代入$∠ A + ∠ AOB = 90°$得：$∠ A + 2∠ A = 90°$，
解得$∠ A = 30°$。
(2) 由(1)可知$∠ A=30°$，$∠ ABO=90°$，$△ AOB$为直角三角形，
在Rt$△ AOB$中，$OA=6\ \mathrm{cm}$，$∠ A=30°$，
∴$OB = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∵$AB=BC$，
∴$BC = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ A$的度数为$30°$；
(2) BC的长为$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题的核心技巧是遇到切线时连接圆心与切点构造直角三角形，再结合三角形的角度、边长相关性质求解，掌握基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
