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1. 如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，∠B=30°，OB=4，则∠A=
90°
，AB=2√3
。答案
1. 90° 2√3
解析
【分析】
首先根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可直接得到OA与AB垂直，因此∠A为直角；接下来△OAB是含30°角的直角三角形，已知斜边OB的长度，先利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半求出OA的长度，再通过勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，即∠A=90°，
在Rt△OAB中，∠B=30°，OB=4，
∴OA=½OB=½×4=2，
由勾股定理得：
AB=√(OB² - OA²)=√(4² - 2²)=√12=2√3。
【答案】
90°；2√3
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查切线的核心性质和特殊直角三角形的计算，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
首先根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可直接得到OA与AB垂直，因此∠A为直角；接下来△OAB是含30°角的直角三角形，已知斜边OB的长度，先利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半求出OA的长度，再通过勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，即∠A=90°，
在Rt△OAB中，∠B=30°，OB=4，
∴OA=½OB=½×4=2，
由勾股定理得：
AB=√(OB² - OA²)=√(4² - 2²)=√12=2√3。
【答案】
90°；2√3
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查切线的核心性质和特殊直角三角形的计算，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
2. (2025安徽)如图，AB是$\odot O$的弦，PB与$\odot O$相切于点B，圆心O在线段PA上.已知$∠ P=50°$，则$∠ PAB$的大小为$\_\_\_\_\_\_°$.
答案
2. 20
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先考虑连接切点与圆心，利用切线的性质构造直角三角形。本题先连接OB，由切线性质可得OB⊥PB，先在Rt△PBO中求出∠POB的度数；再结合OA=OB得到等腰△OAB，利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的度数。
【解析】
连接OB，
∵ PB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴ OB⊥PB，即∠PBO=90°，
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°，
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
∴ ∠OAB=∠OBA，
又
∵ ∠POB是△AOB的外角，
∴ ∠POB=∠OAB+∠OBA=2∠OAB，
∴ ∠OAB=∠POB÷2=40°÷2=20°，即∠PAB=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形，再结合等腰三角形和外角的性质求解，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题，首先考虑连接切点与圆心，利用切线的性质构造直角三角形。本题先连接OB，由切线性质可得OB⊥PB，先在Rt△PBO中求出∠POB的度数；再结合OA=OB得到等腰△OAB，利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的度数。
【解析】
连接OB，
∵ PB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴ OB⊥PB，即∠PBO=90°，
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°，
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
∴ ∠OAB=∠OBA，
又
∵ ∠POB是△AOB的外角，
∴ ∠POB=∠OAB+∠OBA=2∠OAB，
∴ ∠OAB=∠POB÷2=40°÷2=20°，即∠PAB=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形，再结合等腰三角形和外角的性质求解，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图,已知点A,B在$\odot O$上,$∠ AOB = 72°$,直线MN与$\odot O$相切,切点为点C,且C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,则$∠ ACM$等于 (
A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$72°$
第3题图 第4题图
A
)A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$72°$
第3题图 第4题图
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先根据弧中点的性质求出圆心角∠AOC的度数，再利用切线的性质得到OC与MN垂直，接着通过等腰三角形的内角和性质求出∠OCA的度数，最后利用角的和差关系计算∠ACM的度数即可。
【解析】
1. 因为C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，同圆中等弧对应的圆心角相等，因此$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB$。已知$∠ AOB=72°$，代入得$∠ AOC=\frac{1}{2}×72°=36°$。
2. 因为OA、OC都是$\odot O$的半径，所以$OA=OC$，$△ AOC$为等腰三角形。根据等腰三角形内角和性质，底角$∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
3. 因为直线MN与$\odot O$相切于点C，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得$OC⊥ MN$，即$∠ OCM=90°$。
4. 计算$∠ ACM$：$∠ ACM=∠ OCM-∠ OCA=90°-72°=18°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，将圆的性质和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是找准各角度之间的数量关系，熟练运用相关性质逐步推导。
【难度系数】
0.7
解题时先根据弧中点的性质求出圆心角∠AOC的度数，再利用切线的性质得到OC与MN垂直，接着通过等腰三角形的内角和性质求出∠OCA的度数，最后利用角的和差关系计算∠ACM的度数即可。
【解析】
1. 因为C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，同圆中等弧对应的圆心角相等，因此$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB$。已知$∠ AOB=72°$，代入得$∠ AOC=\frac{1}{2}×72°=36°$。
2. 因为OA、OC都是$\odot O$的半径，所以$OA=OC$，$△ AOC$为等腰三角形。根据等腰三角形内角和性质，底角$∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
3. 因为直线MN与$\odot O$相切于点C，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得$OC⊥ MN$，即$∠ OCM=90°$。
4. 计算$∠ ACM$：$∠ ACM=∠ OCM-∠ OCA=90°-72°=18°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，将圆的性质和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是找准各角度之间的数量关系，熟练运用相关性质逐步推导。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB是$\odot O$的切线，点A为切点，AC是弦，过点O作$OH ⊥ AC$于点H. 若$OH = 3$，$AB = 12$，$BO = 13$，则$OA =$
5
，$AC =$ 8
.答案
4. 5 8
解析
【分析】
解题时先利用切线的性质得到直角三角形OAB，已知斜边OB和直角边AB的长度，通过勾股定理即可求出半径OA的长度；再利用垂径定理可知OH垂直平分弦AC，在直角三角形OAH中用勾股定理求出AH的长度，再乘以2即可得到AC的长度。
【解析】
1. 求OA的长度：
∵AB是$\odot O$的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，即$∠ OAB=90°$，$△ OAB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$AB=12$，$BO=13$，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{OB^2 - AB^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
2. 求AC的长度：
∵$OH⊥ AC$，且OH过圆心O，根据垂径定理，OH平分AC，即$AH=\frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$OA=5$，$OH=3$，根据勾股定理：
$AH=\sqrt{OA^2 - OH^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴$AC=2AH=2×4=8$。
【答案】
5；8
【知识点】
切线的性质；勾股定理；垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和垂径定理，结合勾股定理计算线段长度，考查的都是基础核心知识点，难度不大。
【难度系数】
0.8
解题时先利用切线的性质得到直角三角形OAB，已知斜边OB和直角边AB的长度，通过勾股定理即可求出半径OA的长度；再利用垂径定理可知OH垂直平分弦AC，在直角三角形OAH中用勾股定理求出AH的长度，再乘以2即可得到AC的长度。
【解析】
1. 求OA的长度：
∵AB是$\odot O$的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，即$∠ OAB=90°$，$△ OAB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$AB=12$，$BO=13$，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{OB^2 - AB^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
2. 求AC的长度：
∵$OH⊥ AC$，且OH过圆心O，根据垂径定理，OH平分AC，即$AH=\frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$OA=5$，$OH=3$，根据勾股定理：
$AH=\sqrt{OA^2 - OH^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴$AC=2AH=2×4=8$。
【答案】
5；8
【知识点】
切线的性质；勾股定理；垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和垂径定理，结合勾股定理计算线段长度，考查的都是基础核心知识点，难度不大。
【难度系数】
0.8
5. (人教九上 $P_{152}$练习 $T_3$改编)两个同心圆如图所示,大圆的弦AB与小圆相切,点C为切点,AO交小圆于点D,若$OD=DA=2$,求AB的长. 
答案
5. 解:如图,连接OC.
∵ AB与小圆相切,
∴ OC ⊥ AB.
又AB是大圆的弦,
∴ 由垂径定理,得AC = BC.
在Rt△AOC中,
OC = OD = 2,AO = DA + OD = 4.
∴ AC = $\sqrt{AO^2 - OC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$.
∴ AB = 2AC = 4√3.
解析
【分析】
遇到切线相关问题时，优先利用切线的性质，连接圆心与切点得到垂直关系，因此首先连接OC，可得OC⊥AB；AB是大圆的弦，结合垂径定理可知AB=2AC，只需算出AC长度即可得到AB的长；已知OD为小圆半径，故OC=OD=2，AO的长度可由OD+DA求出，最后在Rt△AOC中用勾股定理计算AC的长度，就能求出AB的长。
【解析】
解：如图，连接OC。
∵ AB与小圆相切，C为切点，
∴ OC ⊥ AB。
又
∵ AB是大圆的弦，
∴ 由垂径定理得：AC = BC = $\frac{1}{2}$AB。
在Rt△AOC中，OC=OD=2，AO=DA+OD=2+2=4，
根据勾股定理可得：
$AC = \sqrt{AO^2 - OC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
∴ $AB = 2AC = 2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
AB的长为$4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是通过作辅助线连接圆心和切点构造垂直关系，结合垂径定理转化待求线段，再用勾股定理计算，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
遇到切线相关问题时，优先利用切线的性质，连接圆心与切点得到垂直关系，因此首先连接OC，可得OC⊥AB；AB是大圆的弦，结合垂径定理可知AB=2AC，只需算出AC长度即可得到AB的长；已知OD为小圆半径，故OC=OD=2，AO的长度可由OD+DA求出，最后在Rt△AOC中用勾股定理计算AC的长度，就能求出AB的长。
【解析】
解：如图，连接OC。
∵ AB与小圆相切，C为切点，
∴ OC ⊥ AB。
又
∵ AB是大圆的弦，
∴ 由垂径定理得：AC = BC = $\frac{1}{2}$AB。
在Rt△AOC中，OC=OD=2，AO=DA+OD=2+2=4，
根据勾股定理可得：
$AC = \sqrt{AO^2 - OC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
∴ $AB = 2AC = 2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
AB的长为$4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是通过作辅助线连接圆心和切点构造垂直关系，结合垂径定理转化待求线段，再用勾股定理计算，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
6. (2025 浙江)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$O$在边$AB$上,以点$O$为圆心,$OB$长为半径的半圆,交$BC$于点$D$,与$AC$相切于点$E$,连接$OD$,$OE$.
(1)求证:$OD ⊥ OE$.
(2)若$AB=BC$,$OB=\sqrt{3}$,求四边形$ODCE$的面积.
(1)求证:$OD ⊥ OE$.
(2)若$AB=BC$,$OB=\sqrt{3}$,求四边形$ODCE$的面积.
答案
6. (1)证明:
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C.
由作图可知,OB = OD.
∴ ∠B = ∠ODB.
∴ ∠ODB = ∠C.
∴ OD//AC.
∵ 以点O为圆心,OB长为半径的半圆与AC相切于点E,
∴ OE ⊥ AC.
∴ OD ⊥ OE.
(2)解:
∵ AB = AC,AB = BC,
∴ △ABC为等边三角形.
∴ ∠A = 60°.
在Rt△AEO中, OE = OD = OB = √3, ∠AOE = 90° - ∠A = 30°,
∴ OA = 2AE.
∵ AE² + OE² = OA² ,
∴ (AE)² + (√3)² = (2AE)².
解得AE = 1.
∴ OA = 2.
∴ AB = AC = 2 + √3.
∴ EC = AC - AE = 2 + √3 - 1 = 1 + √3.
∴ 四边形ODCE的面积为$\frac{1}{2} × (\sqrt{3} + \sqrt{3} + 1) × \sqrt{3} = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C.
由作图可知,OB = OD.
∴ ∠B = ∠ODB.
∴ ∠ODB = ∠C.
∴ OD//AC.
∵ 以点O为圆心,OB长为半径的半圆与AC相切于点E,
∴ OE ⊥ AC.
∴ OD ⊥ OE.
(2)解:
∵ AB = AC,AB = BC,
∴ △ABC为等边三角形.
∴ ∠A = 60°.
在Rt△AEO中, OE = OD = OB = √3, ∠AOE = 90° - ∠A = 30°,
∴ OA = 2AE.
∵ AE² + OE² = OA² ,
∴ (AE)² + (√3)² = (2AE)².
解得AE = 1.
∴ OA = 2.
∴ AB = AC = 2 + √3.
∴ EC = AC - AE = 2 + √3 - 1 = 1 + √3.
∴ 四边形ODCE的面积为$\frac{1}{2} × (\sqrt{3} + \sqrt{3} + 1) × \sqrt{3} = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证OD⊥OE，可先推导OD与AC平行，再结合切线性质得到OE与AC垂直，进而推出垂直关系：首先利用△ABC是等腰三角形得∠B=∠C，再由同圆半径相等得OB=OD，推出∠B=∠ODB，等量代换得∠ODB=∠C，即可判定OD//AC；已知半圆与AC相切于E，根据切线性质得OE⊥AC，因此OE⊥OD，结论得证。
(2) 求四边形ODCE的面积，先判断其为直角梯形：由(1)知OD//AC，且OE同时垂直OD和AC，因此四边形ODCE是直角梯形，只需得到两底OD、EC的长度和高OE的长度即可计算面积。首先由AB=AC=BC判定△ABC是等边三角形，得∠A=60°；在Rt△AEO中，已知OE=OB=√3，结合直角三角形30°角的性质和勾股定理求出AE、OA的长度，进一步得到AC和EC的长度，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $∠B = ∠C$，
由作图可知$OB = OD$（同圆半径相等），
∴ $∠B = ∠ODB$，
∴ $∠ODB = ∠C$，
∴ $OD// AC$（同位角相等，两直线平行），
∵ 以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E，
∴ $OE ⊥ AC$（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ $OE ⊥ OD$，即$OD ⊥ OE$。
(2) 解：
∵ $AB = AC$，$AB = BC$，
∴ $AB=AC=BC$，即$△ ABC$为等边三角形，
∴ $∠A = 60°$，
在$Rt△ AEO$中，$OE = OD = OB = \sqrt{3}$，$∠AOE = 90° - ∠A = 30°$，
∴ $OA = 2AE$（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），
由勾股定理得：$AE^2 + OE^2 = OA^2$，
代入得$AE^2 + (\sqrt{3})^2 = (2AE)^2$，
解得$AE = 1$，则$OA = 2AE = 2$，
∴ $AC = AB = OA + OB = 2 + \sqrt{3}$，
∴ $EC = AC - AE = 2 + \sqrt{3} - 1 = 1 + \sqrt{3}$，
∴ 四边形ODCE的面积为：
$S=\frac{1}{2} × (OD + EC) × OE=\frac{1}{2} × (\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3}) × \sqrt{3}=3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 已证$OD ⊥ OE$；
(2) $\boldsymbol{3+\frac{\sqrt{3}}{2}}$
【知识点】
切线的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的综合题，覆盖了等腰、等边三角形性质、切线性质、特殊直角三角形性质和图形面积计算等考点，解题的核心是通过角的等量关系推导平行线，再结合特殊三角形的性质求解边长，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要证OD⊥OE，可先推导OD与AC平行，再结合切线性质得到OE与AC垂直，进而推出垂直关系：首先利用△ABC是等腰三角形得∠B=∠C，再由同圆半径相等得OB=OD，推出∠B=∠ODB，等量代换得∠ODB=∠C，即可判定OD//AC；已知半圆与AC相切于E，根据切线性质得OE⊥AC，因此OE⊥OD，结论得证。
(2) 求四边形ODCE的面积，先判断其为直角梯形：由(1)知OD//AC，且OE同时垂直OD和AC，因此四边形ODCE是直角梯形，只需得到两底OD、EC的长度和高OE的长度即可计算面积。首先由AB=AC=BC判定△ABC是等边三角形，得∠A=60°；在Rt△AEO中，已知OE=OB=√3，结合直角三角形30°角的性质和勾股定理求出AE、OA的长度，进一步得到AC和EC的长度，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $∠B = ∠C$，
由作图可知$OB = OD$（同圆半径相等），
∴ $∠B = ∠ODB$，
∴ $∠ODB = ∠C$，
∴ $OD// AC$（同位角相等，两直线平行），
∵ 以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E，
∴ $OE ⊥ AC$（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ $OE ⊥ OD$，即$OD ⊥ OE$。
(2) 解：
∵ $AB = AC$，$AB = BC$，
∴ $AB=AC=BC$，即$△ ABC$为等边三角形，
∴ $∠A = 60°$，
在$Rt△ AEO$中，$OE = OD = OB = \sqrt{3}$，$∠AOE = 90° - ∠A = 30°$，
∴ $OA = 2AE$（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），
由勾股定理得：$AE^2 + OE^2 = OA^2$，
代入得$AE^2 + (\sqrt{3})^2 = (2AE)^2$，
解得$AE = 1$，则$OA = 2AE = 2$，
∴ $AC = AB = OA + OB = 2 + \sqrt{3}$，
∴ $EC = AC - AE = 2 + \sqrt{3} - 1 = 1 + \sqrt{3}$，
∴ 四边形ODCE的面积为：
$S=\frac{1}{2} × (OD + EC) × OE=\frac{1}{2} × (\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3}) × \sqrt{3}=3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 已证$OD ⊥ OE$；
(2) $\boldsymbol{3+\frac{\sqrt{3}}{2}}$
【知识点】
切线的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的综合题，覆盖了等腰、等边三角形性质、切线性质、特殊直角三角形性质和图形面积计算等考点，解题的核心是通过角的等量关系推导平行线，再结合特殊三角形的性质求解边长，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,以CD为直径作$\odot O$.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形$A'B'CD'$的边$A'B'$与$\odot O$相切,切点为E,则$A'E$的长为 (
A.5
B.6
C.7
D.8
第7题图 第8题图
B
)A.5
B.6
C.7
D.8
第7题图 第8题图
答案
7. B
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据矩形和旋转的性质，得到对应边的长度，确定⊙O的半径；接着利用切线的性质得到OE⊥A'B'，通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将求A'E的问题转化为先求B'E的长度，最后结合勾股定理计算出结果。
【解析】
解：连接OE，过点O作OG⊥B'C于点G。
∵矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A'B'CD'，
∴CD'=CD=AB=10，B'C=BC=8，A'B'=CD=10，∠B'=90°。
∵A'B'与⊙O相切于点E，
∴OE⊥A'B'，且OE是⊙O的半径，OE=$\frac{1}{2}$CD=5。
∵OE⊥A'B'，∠B'=90°，OG⊥B'C，
∴四边形OEB'G是矩形，
∴EB'=OG，B'G=OE=5，
∴GC=B'C - B'G=8-5=3。
在Rt△OGC中，OC=5，GC=3，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OC^2-GC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴EB'=4，
∴$A'E=A'B'-EB'=10-4=6$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是合理构造辅助线，把未知线段转化为可通过已知条件计算的线段，同时要熟练掌握旋转、切线的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先根据矩形和旋转的性质，得到对应边的长度，确定⊙O的半径；接着利用切线的性质得到OE⊥A'B'，通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将求A'E的问题转化为先求B'E的长度，最后结合勾股定理计算出结果。
【解析】
解：连接OE，过点O作OG⊥B'C于点G。
∵矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A'B'CD'，
∴CD'=CD=AB=10，B'C=BC=8，A'B'=CD=10，∠B'=90°。
∵A'B'与⊙O相切于点E，
∴OE⊥A'B'，且OE是⊙O的半径，OE=$\frac{1}{2}$CD=5。
∵OE⊥A'B'，∠B'=90°，OG⊥B'C，
∴四边形OEB'G是矩形，
∴EB'=OG，B'G=OE=5，
∴GC=B'C - B'G=8-5=3。
在Rt△OGC中，OC=5，GC=3，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OC^2-GC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴EB'=4，
∴$A'E=A'B'-EB'=10-4=6$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是合理构造辅助线，把未知线段转化为可通过已知条件计算的线段，同时要熟练掌握旋转、切线的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
8. 如图，$\odot M$的圆心为$M(4,0)$，半径为2，P是直线$y=x+4$上的一个动点，过点P作$\odot M$的切线，切点为Q，则PQ的最小值为
2√7
.答案
8. 2√7
解析
【分析】
要计算切线长PQ的最小值，首先结合切线性质可知，切点与圆心的连线MQ垂直于切线PQ，因此△PQM是直角三角形。已知MQ为⊙M的半径，长度固定为2，根据勾股定理可得$PQ=\sqrt{PM^2 - MQ^2}$，因此要使PQ最小，只需让PM的长度最小。点到直线的连线中，垂线段最短，因此PM的最小值就是圆心M到直线$y=x+4$的垂线段长度，求出该距离后代入即可算出PQ的最小值。
【解析】
连接MQ，
∵Q是⊙M的切线切点，
∴$MQ⊥PQ$，即△MQP为直角三角形，且$MQ=r=2$。
由勾股定理得：$PQ=\sqrt{PM^2 - MQ^2}=\sqrt{PM^2 - 4}$，
因此当PM取最小值时，PQ最小。
根据点到直线的距离最短，过M作直线$y=x+4$的垂线，垂线段长即为PM的最小值。
将直线$y=x+4$整理为标准式：$x - y + 4 = 0$，
点$M(4,0)$到直线的距离$PM_{min}=\frac{|4 - 0 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，
代入PQ的表达式得：
$PQ_{min}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 2^2}=\sqrt{32 - 4}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
切线的性质；点到直线的距离；勾股定理
【点评】
本题解题核心是将切线长的最小值转化为圆心到直线的最短距离问题，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握切线性质、点到直线距离公式和勾股定理的综合运用。
【难度系数】
0.6
要计算切线长PQ的最小值，首先结合切线性质可知，切点与圆心的连线MQ垂直于切线PQ，因此△PQM是直角三角形。已知MQ为⊙M的半径，长度固定为2，根据勾股定理可得$PQ=\sqrt{PM^2 - MQ^2}$，因此要使PQ最小，只需让PM的长度最小。点到直线的连线中，垂线段最短，因此PM的最小值就是圆心M到直线$y=x+4$的垂线段长度，求出该距离后代入即可算出PQ的最小值。
【解析】
连接MQ，
∵Q是⊙M的切线切点，
∴$MQ⊥PQ$，即△MQP为直角三角形，且$MQ=r=2$。
由勾股定理得：$PQ=\sqrt{PM^2 - MQ^2}=\sqrt{PM^2 - 4}$，
因此当PM取最小值时，PQ最小。
根据点到直线的距离最短，过M作直线$y=x+4$的垂线，垂线段长即为PM的最小值。
将直线$y=x+4$整理为标准式：$x - y + 4 = 0$，
点$M(4,0)$到直线的距离$PM_{min}=\frac{|4 - 0 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，
代入PQ的表达式得：
$PQ_{min}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 2^2}=\sqrt{32 - 4}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
切线的性质；点到直线的距离；勾股定理
【点评】
本题解题核心是将切线长的最小值转化为圆心到直线的最短距离问题，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握切线性质、点到直线距离公式和勾股定理的综合运用。
【难度系数】
0.6
