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1. (1)直线和圆有
(2)设$\odot O$的半径为$r$,圆心$O$到直线$l$的距离为$d$,则当$d$
(3)切线的判定定理:经过半径的
相交、相切、相离
三种位置关系.(2)设$\odot O$的半径为$r$,圆心$O$到直线$l$的距离为$d$,则当$d$
=
$r$时,直线$l$与$\odot O$相切.(3)切线的判定定理:经过半径的
外端
并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.答案
1. (1)相交、相切、相离 (2)= (3)外端 垂直
解析
【分析】
本题属于直线与圆相关的基础概念考查题，解题时只需回忆课本对应知识点即可作答。第(1)问需梳理直线与圆根据公共点数量划分的三类位置关系；第(2)问要对应直线与圆相切时，圆心到直线的距离和半径的数量关系；第(3)问直接回忆切线判定定理的原文表述，补充空缺内容即可。
【解析】
(1) 直线和圆的位置关系按照公共点的个数可分为三类：有2个公共点时为相交，有且只有1个公共点时为相切，没有公共点时为相离，因此填相交、相切、相离。
(2) 圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小关系对应不同的位置关系：当$d＜r$时直线与圆相交，$d=r$时直线与圆相切，$d＞r$时直线与圆相离，因此此处填“=”。
(3) 根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此依次填外端、垂直。
【答案】
(1)相交、相切、相离 (2)= (3)外端 垂直
【知识点】
直线与圆的位置关系、直线与圆相切的判定、切线判定定理
【点评】
本题是基础概念识记类习题，主要考查对直线与圆相关基础定义、定理的掌握情况，牢记课本核心知识点即可快速准确解答。
【难度系数】
0.9
本题属于直线与圆相关的基础概念考查题，解题时只需回忆课本对应知识点即可作答。第(1)问需梳理直线与圆根据公共点数量划分的三类位置关系；第(2)问要对应直线与圆相切时，圆心到直线的距离和半径的数量关系；第(3)问直接回忆切线判定定理的原文表述，补充空缺内容即可。
【解析】
(1) 直线和圆的位置关系按照公共点的个数可分为三类：有2个公共点时为相交，有且只有1个公共点时为相切，没有公共点时为相离，因此填相交、相切、相离。
(2) 圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小关系对应不同的位置关系：当$d＜r$时直线与圆相交，$d=r$时直线与圆相切，$d＞r$时直线与圆相离，因此此处填“=”。
(3) 根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此依次填外端、垂直。
【答案】
(1)相交、相切、相离 (2)= (3)外端 垂直
【知识点】
直线与圆的位置关系、直线与圆相切的判定、切线判定定理
【点评】
本题是基础概念识记类习题，主要考查对直线与圆相关基础定义、定理的掌握情况，牢记课本核心知识点即可快速准确解答。
【难度系数】
0.9
2.【例1】(人教九上$\mathrm{P}_{152}$练习$\mathrm{T}_{1}$改编)如图，AB是$\odot O$的直径，$AB = BC$，$∠ C = 45°$. 求证：BC是$\odot O$的切线.
答案
2. 证明:$\because AB = BC,∠ C = 45°,$
$\therefore ∠ A = ∠ C = 45°.\therefore ∠ ABC = 90°,$即$AB ⊥ BC.$
$\because AB$为$\odot O$的直径,
$\therefore OB$是$\odot O$的半径.$\therefore BC$是$\odot O$的切线.
$\therefore ∠ A = ∠ C = 45°.\therefore ∠ ABC = 90°,$即$AB ⊥ BC.$
$\because AB$为$\odot O$的直径,
$\therefore OB$是$\odot O$的半径.$\therefore BC$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明BC是$\odot O$的切线，需用到切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。首先观察到点B在$\odot O$上，AB是$\odot O$的直径，因此只需证明$AB⊥ BC$即可。已知$AB=BC$、$∠ C=45°$，可先根据等腰三角形等边对等角的性质得到$∠ A=∠ C=45°$，再利用三角形内角和为$180°$计算出$∠ ABC=90°$，得到$AB⊥ BC$的结论，最后结合切线判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：$\because AB = BC,∠ C = 45°,$
$\therefore ∠ A = ∠ C = 45°$，
$\therefore ∠ ABC = 180°-∠ A-∠ C=90°$，即$AB ⊥ BC$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore B$在$\odot O$上，$OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore BC$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：$\because AB = BC,∠ C = 45°,$
$\therefore ∠ A = ∠ C = 45°.\therefore ∠ ABC = 90°,$即$AB ⊥ BC.$
$\because AB$为$\odot O$的直径,
$\therefore OB$是$\odot O$的半径.$\therefore BC$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，解题关键是先通过三角形的相关性质得到垂直关系，再结合切线的判定条件得出结论，能够帮助学生掌握切线判定的基本解题思路。
【难度系数】
0.9
要证明BC是$\odot O$的切线，需用到切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。首先观察到点B在$\odot O$上，AB是$\odot O$的直径，因此只需证明$AB⊥ BC$即可。已知$AB=BC$、$∠ C=45°$，可先根据等腰三角形等边对等角的性质得到$∠ A=∠ C=45°$，再利用三角形内角和为$180°$计算出$∠ ABC=90°$，得到$AB⊥ BC$的结论，最后结合切线判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：$\because AB = BC,∠ C = 45°,$
$\therefore ∠ A = ∠ C = 45°$，
$\therefore ∠ ABC = 180°-∠ A-∠ C=90°$，即$AB ⊥ BC$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore B$在$\odot O$上，$OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore BC$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：$\because AB = BC,∠ C = 45°,$
$\therefore ∠ A = ∠ C = 45°.\therefore ∠ ABC = 90°,$即$AB ⊥ BC.$
$\because AB$为$\odot O$的直径,
$\therefore OB$是$\odot O$的半径.$\therefore BC$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，解题关键是先通过三角形的相关性质得到垂直关系，再结合切线的判定条件得出结论，能够帮助学生掌握切线判定的基本解题思路。
【难度系数】
0.9
3. 如图，OA为$\odot O$的半径，$OA=1$，$OB=2$，$AB=\sqrt{3}$. 求证：AB是$\odot O$的切线. 
答案
3. 证明:$\because OA^{2} + AB^{2} = 1^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 4,OB^{2} = 2^{2} = 4,$
$\therefore OA^{2} + AB^{2} = OB^{2}.\therefore ∠ A = 90°,$即$OA ⊥ AB.$
$\because OA$为$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线.
$\therefore OA^{2} + AB^{2} = OB^{2}.\therefore ∠ A = 90°,$即$OA ⊥ AB.$
$\because OA$为$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明AB是$\odot O$的切线，需依据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线。本题中A是半径OA的外端点且在$\odot O$上，因此只需证明$OA⊥ AB$即可。已知$△ OAB$的三边长，可通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若满足两边平方和等于第三边平方，即可得出$∠ A$为直角，得到垂直关系，进而完成证明。
【解析】
证明：$\because OA^{2} + AB^{2} = 1^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 4$，$OB^{2} = 2^{2} = 4$，
$\therefore OA^{2} + AB^{2} = OB^{2}$，
$\therefore ∠ A = 90°$，即$OA ⊥ AB$。
$\because OA$为$\odot O$的半径，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明成立，AB是$\odot O$的切线，证明过程如下：
$\because OA^{2} + AB^{2} = 1^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 4,OB^{2} = 2^{2} = 4,$
$\therefore OA^{2} + AB^{2} = OB^{2}.\therefore ∠ A = 90°,$即$OA ⊥ AB.$
$\because OA$为$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础证明题，解题的核心是明确切线判定的两个必备条件，结合给出的边长信息，灵活运用勾股定理的逆定理证明垂直关系即可完成解答。
【难度系数】
0.8
要证明AB是$\odot O$的切线，需依据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线。本题中A是半径OA的外端点且在$\odot O$上，因此只需证明$OA⊥ AB$即可。已知$△ OAB$的三边长，可通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若满足两边平方和等于第三边平方，即可得出$∠ A$为直角，得到垂直关系，进而完成证明。
【解析】
证明：$\because OA^{2} + AB^{2} = 1^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 4$，$OB^{2} = 2^{2} = 4$，
$\therefore OA^{2} + AB^{2} = OB^{2}$，
$\therefore ∠ A = 90°$，即$OA ⊥ AB$。
$\because OA$为$\odot O$的半径，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明成立，AB是$\odot O$的切线，证明过程如下：
$\because OA^{2} + AB^{2} = 1^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 4,OB^{2} = 2^{2} = 4,$
$\therefore OA^{2} + AB^{2} = OB^{2}.\therefore ∠ A = 90°,$即$OA ⊥ AB.$
$\because OA$为$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础证明题，解题的核心是明确切线判定的两个必备条件，结合给出的边长信息，灵活运用勾股定理的逆定理证明垂直关系即可完成解答。
【难度系数】
0.8
4.【例2】如图，$∠ A = 25°$, $∠ C = 40°$, 点 $A,B$ 在 $\odot O$ 上, $AC$ 过点 $O$. 求证: $BC$ 是 $\odot O$ 的切线.
答案
4. 证明:如图,连接$OB$.
$\because ∠ A = 25°,OA = OB,$
$\therefore ∠ ABO = 25°.$
$\therefore ∠ BOC = 50°.$
又$∠ C = 40°,$
$\therefore ∠ OBC = 90°.\therefore OB ⊥ BC.$
$\because OB$是$\odot O$的半径,
$\therefore BC$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明BC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，已知点B在$\odot O$上，因此只需连接半径OB，证明$OB⊥ BC$即可。首先利用同圆半径相等得到$△ OAB$是等腰三角形，结合已知$∠ A$的度数求出$∠ ABO$的度数，再通过三角形外角性质求出$∠ BOC$的度数，最后在$△ OBC$中利用三角形内角和计算$∠ OBC$的度数，验证其为直角即可完成证明。
【解析】
证明：如图，连接$OB$。
$\because$ $OA$和$OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$
$\because ∠ A = 25°$，$\therefore ∠ ABO = ∠A=25°$
根据三角形外角性质，$∠ BOC = ∠A+∠ABO=25°+25°=50°$
又$\because ∠ C = 40°$，在$△ OBC$中，内角和为$180°$
$\therefore ∠ OBC = 180°-∠BOC-∠C=180°-50°-40°=90°$，即$OB ⊥ BC$
$\because OB$是$\odot O$的半径，且点B在$\odot O$上
$\therefore BC$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明:如图,连接$OB$.
$\because ∠ A = 25°,OA = OB,$
$\therefore ∠ ABO = 25°.$
$\therefore ∠ BOC = 50°.$
又$∠ C = 40°,$
$\therefore ∠ OBC = 90°.\therefore OB ⊥ BC.$
$\because OB$是$\odot O$的半径,
$\therefore BC$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，核心是掌握“直线与圆有已知公共点时，连半径、证垂直”的解题思路，结合三角形角度的相关计算就能快速求解。
【难度系数】
0.85
要证明BC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，已知点B在$\odot O$上，因此只需连接半径OB，证明$OB⊥ BC$即可。首先利用同圆半径相等得到$△ OAB$是等腰三角形，结合已知$∠ A$的度数求出$∠ ABO$的度数，再通过三角形外角性质求出$∠ BOC$的度数，最后在$△ OBC$中利用三角形内角和计算$∠ OBC$的度数，验证其为直角即可完成证明。
【解析】
证明：如图，连接$OB$。
$\because$ $OA$和$OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$
$\because ∠ A = 25°$，$\therefore ∠ ABO = ∠A=25°$
根据三角形外角性质，$∠ BOC = ∠A+∠ABO=25°+25°=50°$
又$\because ∠ C = 40°$，在$△ OBC$中，内角和为$180°$
$\therefore ∠ OBC = 180°-∠BOC-∠C=180°-50°-40°=90°$，即$OB ⊥ BC$
$\because OB$是$\odot O$的半径，且点B在$\odot O$上
$\therefore BC$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明:如图,连接$OB$.
$\because ∠ A = 25°,OA = OB,$
$\therefore ∠ ABO = 25°.$
$\therefore ∠ BOC = 50°.$
又$∠ C = 40°,$
$\therefore ∠ OBC = 90°.\therefore OB ⊥ BC.$
$\because OB$是$\odot O$的半径,
$\therefore BC$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，核心是掌握“直线与圆有已知公共点时，连半径、证垂直”的解题思路，结合三角形角度的相关计算就能快速求解。
【难度系数】
0.85
5. 如图,在$△ ABC$中,点$O$是$AC$上(异于点$A$,$C$)的一点,$\odot O$恰好经过点$A$,$B$,$AD ⊥ BC$于点$D$,且$AB$平分$∠ CAD$.判断$BC$与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
答案
5. 解:$BC$与$\odot O$相切. 理由如下:
如图,连接$OB$.
$\because OA = OB,\therefore ∠ OAB = ∠ OBA.$
$\because AB$平分$∠ CAD,$
$\therefore ∠ DAB = ∠ OAB.$
$\therefore ∠ DAB = ∠ OBA.\therefore AD// OB.$
$\because AD ⊥ BC,\therefore OB ⊥ BC.$
$\because OB$是$\odot O$的半径,$\therefore BC$与$\odot O$相切.
解析
【分析】
要判断BC与$\odot O$的位置关系，结合图形特征可初步判断为相切。根据切线的判定定理，已知点B在$\odot O$上，因此只需证明OB垂直于BC即可。首先作辅助线连接OB，利用同圆半径相等得到等腰△OAB，推出底角相等，再结合AB平分∠CAD的条件，推导内错角相等得到AD与OB平行，最后结合AD⊥BC的已知条件，即可得到OB⊥BC，完成相切的证明。
【解析】
BC与$\odot O$相切，理由如下：
连接OB，
∵ OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴ $OA = OB$，根据等腰三角形性质可得$∠ OAB = ∠ OBA$。
∵ AB平分$∠ CAD$，根据角平分线的定义，
∴ $∠ DAB = ∠ OAB$。
通过等量代换可得$∠ DAB = ∠ OBA$，根据内错角相等、两直线平行，
∴ $AD// OB$。
∵ $AD ⊥ BC$，若一条直线垂直于平行线中的一条，则也垂直于另一条，
∴ $OB ⊥ BC$。
∵ OB是$\odot O$的半径，且BC经过半径OB的外端B、与OB垂直，根据切线的判定定理，可得BC与$\odot O$相切。
【答案】
BC与$\odot O$相切。理由如下:
如图,连接$OB$.
$\because OA = OB,\therefore ∠ OAB = ∠ OBA.$
$\because AB$平分$∠ CAD,$
$\therefore ∠ DAB = ∠ OAB.$
$\therefore ∠ DAB = ∠ OBA.\therefore AD// OB.$
$\because AD ⊥ BC,\therefore OB ⊥ BC.$
$\because OB$是$\odot O$的半径,$\therefore BC$与$\odot O$相切.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础常考题，核心是掌握“直线与圆有公共点时，连半径、证垂直”的切线判定思路，结合角平分线、平行线的性质即可快速推导，难度较低。
【难度系数】
0.7
要判断BC与$\odot O$的位置关系，结合图形特征可初步判断为相切。根据切线的判定定理，已知点B在$\odot O$上，因此只需证明OB垂直于BC即可。首先作辅助线连接OB，利用同圆半径相等得到等腰△OAB，推出底角相等，再结合AB平分∠CAD的条件，推导内错角相等得到AD与OB平行，最后结合AD⊥BC的已知条件，即可得到OB⊥BC，完成相切的证明。
【解析】
BC与$\odot O$相切，理由如下：
连接OB，
∵ OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴ $OA = OB$，根据等腰三角形性质可得$∠ OAB = ∠ OBA$。
∵ AB平分$∠ CAD$，根据角平分线的定义，
∴ $∠ DAB = ∠ OAB$。
通过等量代换可得$∠ DAB = ∠ OBA$，根据内错角相等、两直线平行，
∴ $AD// OB$。
∵ $AD ⊥ BC$，若一条直线垂直于平行线中的一条，则也垂直于另一条，
∴ $OB ⊥ BC$。
∵ OB是$\odot O$的半径，且BC经过半径OB的外端B、与OB垂直，根据切线的判定定理，可得BC与$\odot O$相切。
【答案】
BC与$\odot O$相切。理由如下:
如图,连接$OB$.
$\because OA = OB,\therefore ∠ OAB = ∠ OBA.$
$\because AB$平分$∠ CAD,$
$\therefore ∠ DAB = ∠ OAB.$
$\therefore ∠ DAB = ∠ OBA.\therefore AD// OB.$
$\because AD ⊥ BC,\therefore OB ⊥ BC.$
$\because OB$是$\odot O$的半径,$\therefore BC$与$\odot O$相切.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础常考题，核心是掌握“直线与圆有公共点时，连半径、证垂直”的切线判定思路，结合角平分线、平行线的性质即可快速推导，难度较低。
【难度系数】
0.7
