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12. 如图,一次函数$y=kx+b$的图象与$x,y$轴分别交于点$A(2,0),B(0,4)$.
(1)求该函数的表达式;
(2)$O$为坐标原点,设$OA,AB$的中点分别为$C,D$,$P$为$OB$上一动点,求$PC+PD$的最小值,并求取得最小值时点$P$的坐标.
(1)求该函数的表达式;
(2)$O$为坐标原点,设$OA,AB$的中点分别为$C,D$,$P$为$OB$上一动点,求$PC+PD$的最小值,并求取得最小值时点$P$的坐标.
答案
12. (1)$y=-2x+4$
(2)最小值为 $2\sqrt{2}$，此时点 $P$ 的坐标为 $(0,1)$.
(2)最小值为 $2\sqrt{2}$，此时点 $P$ 的坐标为 $(0,1)$.
13. 请阅读下列材料.
问题:如图所示,在等边△ABC内有一点P,且AP=2,BP=√3,CP=1,求∠BPC的度数和等边△ABC的边长.
分析:直接求△ABC的边长显然比较困难,这道题目里的条件“AP=2,BP=√3,CP=1”是一组勾股数,但是比较分散,用起来不是很方便,如果通过旋转变换把它们集中在一个图形中,就可以构造出一个直角三角形,然后求出相关的角度和边长,使问题得以顺利解决.
李明同学的思路:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图①).连接PP',可得△P'PB是等边三角形,而又由勾股定理的逆定理可证△PP'A是直角三角形,所以∠AP'B=150°,即∠BPC=∠AP'B=150°.又由在Rt△PP'A中,AP'=$\frac{1}{2}$AP,可求出∠APP'=30°,所以∠APB=90°,进而求出等边△ABC的边长为$\sqrt{7}$,使问题得到解决.
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题.
如图②所示,在正方形ABCD内有一点P,且PA=$\sqrt{5}$,PB=$\sqrt{2}$,PC=1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长.
问题:如图所示,在等边△ABC内有一点P,且AP=2,BP=√3,CP=1,求∠BPC的度数和等边△ABC的边长.
分析:直接求△ABC的边长显然比较困难,这道题目里的条件“AP=2,BP=√3,CP=1”是一组勾股数,但是比较分散,用起来不是很方便,如果通过旋转变换把它们集中在一个图形中,就可以构造出一个直角三角形,然后求出相关的角度和边长,使问题得以顺利解决.
李明同学的思路:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图①).连接PP',可得△P'PB是等边三角形,而又由勾股定理的逆定理可证△PP'A是直角三角形,所以∠AP'B=150°,即∠BPC=∠AP'B=150°.又由在Rt△PP'A中,AP'=$\frac{1}{2}$AP,可求出∠APP'=30°,所以∠APB=90°,进而求出等边△ABC的边长为$\sqrt{7}$,使问题得到解决.
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题.
如图②所示,在正方形ABCD内有一点P,且PA=$\sqrt{5}$,PB=$\sqrt{2}$,PC=1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长.
答案
13. $∠ BPC=135°$，正方形 $ABCD$ 的边长为 $\sqrt{5}$.
