城市公园设计
城市规划局正在设计城市中心公园的步道系统,用到了旋转对称的布局思路. 规划要求:
(1)设计师需要计算不同角度下步道的长度和夹角,合理安排休息区位置.
(2)要求通过旋转拼接的方式,把分散的步道数据整合到同一个区域进行计算,保证施工成本最低.
【解决问题】
请你帮助设计师完成以下计算.
(1)公园里有一个等边三角形的中央广场,广场内有一个休息亭 P,距离三个顶点 A,B,C 的距离分别是 30 m、40 m、50 m,求休息亭到 A,B 两个顶点的步道夹角$∠ APB$的度数. 为了方便理解,我们把它简化如下:如图①,等边$△ ABC$内有一点 P,若点 P 到顶点 A,B,C 的距离分别为
30,40,50,求$∠ APB$的度数. 为了解决本题,我们可以将$△ ABP$绕顶点 A 旋转到$△ ACP'$处,此时$△ ACP' ≌ △ ABP$,这样就可以利用旋转变换,将三条线段 PA,PB,PC 转化到一个三角形中,从而求出$∠ APB=$;
(2)如图②,公园内有一个等腰直角三角形的湖滨区域,直角顶点为 A,若点 E,F 是湖滨步道 BC 上的两个打卡点,且$∠ EAF=45°$,请证明连接两个打卡点的步道长度满足$EF^2=BE^2+FC^2$;
【拓展探究】
(3)如图③,公园的儿童游乐区是直角三角形,$∠ ACB=90°$,边长 AC 为 10 m,$∠ ABC=30°$,游乐区内有一个服务中心 O,到三个顶点的夹角都是$120°$(即$∠ AOC=∠ COB=∠ AOB=120°$),求服务中心到三个顶点的总距离.

(1)$\because △ ACP'≌△ ABP$，$\therefore AP'=AP=30\ \mathrm{m}$，$CP'=BP=40\ \mathrm{m}$，$∠ AP'C=∠ APB$，由题意知旋转角$∠ PAP'=60°$，$\therefore △ APP'$为等边三角形，$PP'=AP=30\ \mathrm{m}$，$∠ AP'P=60°$，易证$△ PP'C$为直角三角形，且$∠ PP'C=90°$，$\therefore ∠ APB=∠ AP'C=∠ AP'P+∠ PP'C=60°+90°=150°$.
(2)如图，把$△ ABE$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$△ ACE'$，由旋转的性质得，$AE=AE'$，$CE'=BE$，$∠ CAE'=∠ BAE$，$∠ ACE'=∠ B$，$∠ EAE'=90°$. $\because ∠ EAF=45°$，
$\therefore ∠ E'AF=∠ CAE'+∠ CAF=∠ BAE+∠ CAF=∠ BAC-∠ EAF=90°-45°=45°$. $\therefore ∠ EAF=∠ E'AF$.
在$△ EAF$和$△ E'AF$中，
$\begin{cases}AE=AE',\\∠ EAF=∠ E'AF,\\AF=AF,\end{cases}$ $\therefore △ EAF≌△ E'AF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore E'F=EF$. $\because ∠ CAB=90°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB=45°$，$\therefore ∠ E'CF=45°+45°=90°$.
由勾股定理得，$E'F^2=CE'^2+FC^2$，
即$EF^2=BE^2+FC^2$.

(3)如图，将$△ AOB$绕点$B$顺时针旋转$60°$至$△ A'O'B$处，连接$OO'$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=10\ \mathrm{m}$，$∠ ABC=30°$，
$\therefore AB=20\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$.
$\because △ AOB$绕点$B$顺时针方向旋转$60°$，
$\therefore ∠ A'BC=∠ ABC+60°=30°+60°=90°$.
$\because △ AOB$绕点$B$顺时针方向旋转$60°$，得到$△ A'O'B$，$\therefore A'B=AB=20\ \mathrm{m}$，$BO=BO'$，$A'O'=AO$，
$\therefore △ BOO'$是等边三角形，
$\therefore BO=OO'$，$∠ BOO'=∠ BO'O=60°$.
$\because ∠ AOC=∠ COB=∠ BOA=120°$，
$\therefore ∠ COB+∠ BOO'=∠ BO'A'+∠ BO'O=120°+60°=180°$，$\therefore C,O,A',O'$四点共线. $\mathrm{Rt}△ A'BC$中，
$A'C=\sqrt{BC^2+A'B^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2+20^2}=10\sqrt{7}\ (\mathrm{m})$
$\therefore OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=10\sqrt{7}\ \mathrm{m}$.