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9.统计甲和乙两个AI模型在百科、数学、代码、语言领域的测试成绩，得到如图所示的统计图。我们通常用$\frac{甲的成绩 - 乙的成绩}{乙的成绩}$的值表示甲对乙的相对优势，根据图中数据，在以下四个领域中甲对乙的相对优势最大的领域是 （
A.百科
B.数学
C.代码
D.语言
C
）A.百科
B.数学
C.代码
D.语言
答案
9.C
解析
【分析】
要解决这个问题，需先从条形统计图中准确读取甲、乙在四个领域的测试成绩，再根据题目给出的“相对优势”公式，分别计算四个领域的相对优势，最后比较计算结果的大小，找到相对优势最大的领域。
【解析】
1. 读取各领域甲、乙的成绩：
百科领域：甲成绩68分，乙成绩82分；
数学领域：甲成绩90分，乙成绩72分；
代码领域：甲成绩52分，乙成绩40分；
语言领域：甲成绩75分，乙成绩70分。
2. 根据公式$\frac{甲的成绩 - 乙的成绩}{乙的成绩}$，计算各领域的相对优势：
百科领域：$\frac{68 - 82}{82} = \frac{-14}{82} \approx -0.171$；
数学领域：$\frac{90 - 72}{72} = \frac{18}{72} = 0.25$；
代码领域：$\frac{52 - 40}{40} = \frac{12}{40} = 0.3$；
语言领域：$\frac{75 - 70}{70} = \frac{5}{70} \approx 0.071$。
3. 比较相对优势的大小：$0.3 ＞ 0.25 ＞ 0.071 ＞ -0.171$，因此代码领域的相对优势最大。
【答案】
C
【知识点】
条形统计图、有理数运算、相对优势计算
【点评】
本题结合条形统计图考查相对优势的计算，核心是准确读取数据并正确运用公式，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先从条形统计图中准确读取甲、乙在四个领域的测试成绩，再根据题目给出的“相对优势”公式，分别计算四个领域的相对优势，最后比较计算结果的大小，找到相对优势最大的领域。
【解析】
1. 读取各领域甲、乙的成绩：
百科领域：甲成绩68分，乙成绩82分；
数学领域：甲成绩90分，乙成绩72分；
代码领域：甲成绩52分，乙成绩40分；
语言领域：甲成绩75分，乙成绩70分。
2. 根据公式$\frac{甲的成绩 - 乙的成绩}{乙的成绩}$，计算各领域的相对优势：
百科领域：$\frac{68 - 82}{82} = \frac{-14}{82} \approx -0.171$；
数学领域：$\frac{90 - 72}{72} = \frac{18}{72} = 0.25$；
代码领域：$\frac{52 - 40}{40} = \frac{12}{40} = 0.3$；
语言领域：$\frac{75 - 70}{70} = \frac{5}{70} \approx 0.071$。
3. 比较相对优势的大小：$0.3 ＞ 0.25 ＞ 0.071 ＞ -0.171$，因此代码领域的相对优势最大。
【答案】
C
【知识点】
条形统计图、有理数运算、相对优势计算
【点评】
本题结合条形统计图考查相对优势的计算，核心是准确读取数据并正确运用公式，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
10. 将连续的正整数1,2,3,…排成如表1所示的数表，并从中框出某些数字，例如表1中用2×4的方框框出了8个数字。现在用如表2所示的2×n的方框在表1中也框出一些数字，设第一行两数为a,b，最后一行两数为c,d，且$ bc - ad = 2025 $，则n的值为 （
A.405
B.406
C.407
D.410
B
）A.405
B.406
C.407
D.410
答案
10.B 解析:由题意,可得a+1=b,c+1=d,c=5(n-1)+a。因为bc-ad=2025,所以(a+1)c-a(c+1)=2025,所以c=2025+a。所以5(n-1)+a=2025+a,解得n=406。
解析
【分析】首先观察数表的排列规律：每行有5个连续正整数，同一行中相邻两个数相差1，同一列中上下两行的数相差5（因为每行共5个数）。对于2×n的方框，第一行两数为a、b，故b = a + 1；最后一行两数为c、d，故d = c + 1；且从第一行到最后一行间隔了(n-1)行，因此c与a的关系为：c = a + 5(n-1)。接下来将这些关系代入已知等式bc - ad=2025，化简后即可求解n。
【解析】根据数表规律可得：
1. 同一行相邻数差1，因此 $ b = a + 1 $，$ d = c + 1 $；
2. 数表每行有5个数，2×n的方框中第一行到最后一行间隔(n-1)行，因此 $ c = a + 5(n - 1) $。
将上述关系代入 $ bc - ad = 2025 $ 化简：
$\begin{aligned}bc - ad&=(a+1)c - a(c+1)\\&=ac + c - ac - a\\&=c - a\end{aligned}$
由此得 $ c - a = 2025 $，结合 $ c = a +5(n-1) $，代入得：
$a +5(n-1) - a =2025\\5(n-1)=2025\\n-1=405\\n=406$
【答案】B
【知识点】数字排列规律、代数式化简求值
【点评】本题核心是挖掘数表的排列规律，通过代数式化简建立等式求解，需准确把握同一行、同一列数的差值关系，属于中等难度的规律探究题。
【难度系数】0.5
【解析】根据数表规律可得：
1. 同一行相邻数差1，因此 $ b = a + 1 $，$ d = c + 1 $；
2. 数表每行有5个数，2×n的方框中第一行到最后一行间隔(n-1)行，因此 $ c = a + 5(n - 1) $。
将上述关系代入 $ bc - ad = 2025 $ 化简：
$\begin{aligned}bc - ad&=(a+1)c - a(c+1)\\&=ac + c - ac - a\\&=c - a\end{aligned}$
由此得 $ c - a = 2025 $，结合 $ c = a +5(n-1) $，代入得：
$a +5(n-1) - a =2025\\5(n-1)=2025\\n-1=405\\n=406$
【答案】B
【知识点】数字排列规律、代数式化简求值
【点评】本题核心是挖掘数表的排列规律，通过代数式化简建立等式求解，需准确把握同一行、同一列数的差值关系，属于中等难度的规律探究题。
【难度系数】0.5
11. 分解因式：$x^2 - 9 =$
(x+3)(x-3)
。答案
11.(x+3)(x-3)
解析
【分析】首先观察式子$x^2 - 9$，可发现其符合平方差公式的结构$a^2 - b^2$（其中$a=x$，$b=3$），因此可直接运用平方差公式完成因式分解。
【解析】根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，将$a=x$、$b=3$代入公式，可得：$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$。
【答案】$(x+3)(x-3)$
【知识点】因式分解、平方差公式
【点评】本题是因式分解的基础题型，直接考查平方差公式的应用，难度较低，主要检验学生对基本因式分解公式的掌握程度。
【难度系数】0.8
【解析】根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，将$a=x$、$b=3$代入公式，可得：$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$。
【答案】$(x+3)(x-3)$
【知识点】因式分解、平方差公式
【点评】本题是因式分解的基础题型，直接考查平方差公式的应用，难度较低，主要检验学生对基本因式分解公式的掌握程度。
【难度系数】0.8
12.校运动会测量跳远成绩时,应用的数学基本事实是
垂线段最短
。答案
12.垂线段最短
解析
【分析】
要确定测量跳远成绩应用的数学基本事实，需明确跳远成绩的测量逻辑：跳远成绩是运动员落地点到起跳线的最短距离，而直线外一点到直线的所有线段中，垂线段是最短的，因此测量时会选取垂线段的长度作为成绩，据此可确定对应的基本事实。
【解析】
测量跳远成绩时，实际是测量运动员落地点到起跳线的最短距离。根据数学基本事实“垂线段最短”：直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此跳远成绩就是落地点到起跳线的垂线段的长度，所以应用的数学基本事实是垂线段最短。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质
【点评】
本题结合跳远成绩测量的实际场景，考查几何基本事实的应用，将抽象的数学知识与生活实际结合，难度较低，侧重考查知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
要确定测量跳远成绩应用的数学基本事实，需明确跳远成绩的测量逻辑：跳远成绩是运动员落地点到起跳线的最短距离，而直线外一点到直线的所有线段中，垂线段是最短的，因此测量时会选取垂线段的长度作为成绩，据此可确定对应的基本事实。
【解析】
测量跳远成绩时，实际是测量运动员落地点到起跳线的最短距离。根据数学基本事实“垂线段最短”：直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此跳远成绩就是落地点到起跳线的垂线段的长度，所以应用的数学基本事实是垂线段最短。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质
【点评】
本题结合跳远成绩测量的实际场景，考查几何基本事实的应用，将抽象的数学知识与生活实际结合，难度较低，侧重考查知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
13. 已知$\begin{cases} x=2, \\ y=a \end{cases}$是方程$3x - y = 5$的一个解，则$a$的值为________。
答案
13.1
解析
【分析】首先明确，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，已知$\begin{cases} x=2 \\ y=a \end{cases}$是方程$3x - y = 5$的解，因此将$x=2$、$y=a$代入原方程，可得到关于$a$的一元一次方程，解此方程即可求出$a$的值。
【解析】将$\begin{cases} x=2 \\ y=a \end{cases}$代入方程$3x - y = 5$，得：$3×2 - a = 5$，计算得$6 - a = 5$，移项解得$a = 6 - 5 = 1$。
【答案】1
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的求解
【点评】本题考查二元一次方程解的基础应用，属于简单题型，主要考查学生对核心概念的理解和基本计算能力。
【难度系数】0.8
【解析】将$\begin{cases} x=2 \\ y=a \end{cases}$代入方程$3x - y = 5$，得：$3×2 - a = 5$，计算得$6 - a = 5$，移项解得$a = 6 - 5 = 1$。
【答案】1
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的求解
【点评】本题考查二元一次方程解的基础应用，属于简单题型，主要考查学生对核心概念的理解和基本计算能力。
【难度系数】0.8
14.某学校计划新建一个面积为$3a^2+18a$的长方形劳动实践基地，若基地的长为$3a$，则基地的宽为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
14.$a+6$
解析
【分析】
要计算长方形的宽，需依据长方形的面积公式：面积=长×宽，推导得宽=面积÷长。本题中面积是多项式，长是单项式，因此需运用多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可求出宽。
【解析】
根据长方形的宽=面积÷长，代入已知条件得：
宽 = (3a² + 18a) ÷ 3a
= 3a² ÷ 3a + 18a ÷ 3a
= a + 6
【答案】
a+6
【知识点】
多项式除以单项式；长方形面积公式
【点评】
本题结合长方形面积公式考查多项式除以单项式的运算，属于基础题，难度较低，只要掌握多项式除以单项式的运算法则就能正确解答。
【难度系数】
0.8
要计算长方形的宽，需依据长方形的面积公式：面积=长×宽，推导得宽=面积÷长。本题中面积是多项式，长是单项式，因此需运用多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可求出宽。
【解析】
根据长方形的宽=面积÷长，代入已知条件得：
宽 = (3a² + 18a) ÷ 3a
= 3a² ÷ 3a + 18a ÷ 3a
= a + 6
【答案】
a+6
【知识点】
多项式除以单项式；长方形面积公式
【点评】
本题结合长方形面积公式考查多项式除以单项式的运算，属于基础题，难度较低，只要掌握多项式除以单项式的运算法则就能正确解答。
【难度系数】
0.8
15. 根据下表中的信息,请写出一个只含有字母$x$且符合表中要求的分式________。(写出一个即可)
答案
15.$\frac{x+2}{x+1}$(答案不唯一) 解题密码:解答本题的关键是由表得出x=-2时,分式的值为0,且x=-1时,分式无意义。
解析
【分析】要构造符合要求的分式，需结合分式的两个核心性质：①分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0；②分式无意义的条件是分母为0。根据表格信息，当x=-2时分式值为0，说明x=-2时分子为0，可构造含(x+2)的分子；当x=-1时分式无意义，说明x=-1时分母为0，可构造含(x+1)的分母，将二者组合即可得到符合要求的分式。
【解析】根据分式的性质：
1. 分式值为0的条件：分子为0，分母不为0。当x=-2时，分式值为0，因此取分子为(x+2)（此时x=-2时分子为0，且分母不为0即可满足值为0）；
2. 分式无意义的条件：分母为0。当x=-1时，分式无意义，因此取分母为(x+1)（此时x=-1时分母为0，满足无意义的条件）；
将分子、分母组合，得到符合要求的分式$\frac{x+2}{x+1}$（答案不唯一，只要满足上述两个条件即可）。
【答案】$\frac{x+2}{x+1}$（答案不唯一）
【知识点】分式的值为0、分式无意义的条件
【点评】本题考查分式基本性质的应用，核心是掌握分式值为0和无意义的判定条件，属于基础题型，答案不唯一，只要符合要求即可。
【难度系数】0.6
【解析】根据分式的性质：
1. 分式值为0的条件：分子为0，分母不为0。当x=-2时，分式值为0，因此取分子为(x+2)（此时x=-2时分子为0，且分母不为0即可满足值为0）；
2. 分式无意义的条件：分母为0。当x=-1时，分式无意义，因此取分母为(x+1)（此时x=-1时分母为0，满足无意义的条件）；
将分子、分母组合，得到符合要求的分式$\frac{x+2}{x+1}$（答案不唯一，只要满足上述两个条件即可）。
【答案】$\frac{x+2}{x+1}$（答案不唯一）
【知识点】分式的值为0、分式无意义的条件
【点评】本题考查分式基本性质的应用，核心是掌握分式值为0和无意义的判定条件，属于基础题型，答案不唯一，只要符合要求即可。
【难度系数】0.6
16. 如图，$AB// CD$，点$P$在这两条平行线之间，且$∠ ABP=∠ D$，连结$CB$并延长，交$DP$的延长线于点$Q$。若$∠ CBP=90°$，$∠ C=x°$，则$∠ Q=\_\_\_\_\_\_$。（用含$x$的代数式表示）
答案
16.$(90-2x)°$ 解析:因为AB//CD,∠C=x°,所以∠ABC=∠C=x°,又因为∠CBP=90°,所以∠ABP=∠ABC+∠CBP=(x+90)°,所以∠D=∠ABP=(x+90)°,所以∠Q=180°-∠C-∠D=(90-2x)°。
解析
【分析】
要解决本题，需利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合三角形内角和定理计算目标角。首先根据AB//CD的内错角相等得到∠ABC与∠C的关系，再结合已知∠CBP=90°求出∠ABP，利用∠ABP=∠D得到∠D，最后在△QCD中用内角和求∠Q。
【解析】
∵ AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ ∠ABC = ∠C = x°。
已知∠CBP=90°，
∴ ∠ABP = ∠ABC + ∠CBP = x° + 90° = (90+x)°。
又
∵ ∠ABP=∠D，
∴ ∠D = (90+x)°。
在△QCD中，根据三角形内角和为180°，
∠Q = 180° - ∠C - ∠D = 180° - x° - (90+x)° = (90-2x)°。
【答案】
(90-2x)°
【知识点】
平行线性质、三角形内角和
【点评】
本题综合考查平行线的性质和三角形内角和定理，关键是通过平行线建立角的联系，再逐步推导，难度适中，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合三角形内角和定理计算目标角。首先根据AB//CD的内错角相等得到∠ABC与∠C的关系，再结合已知∠CBP=90°求出∠ABP，利用∠ABP=∠D得到∠D，最后在△QCD中用内角和求∠Q。
【解析】
∵ AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ ∠ABC = ∠C = x°。
已知∠CBP=90°，
∴ ∠ABP = ∠ABC + ∠CBP = x° + 90° = (90+x)°。
又
∵ ∠ABP=∠D，
∴ ∠D = (90+x)°。
在△QCD中，根据三角形内角和为180°，
∠Q = 180° - ∠C - ∠D = 180° - x° - (90+x)° = (90-2x)°。
【答案】
(90-2x)°
【知识点】
平行线性质、三角形内角和
【点评】
本题综合考查平行线的性质和三角形内角和定理，关键是通过平行线建立角的联系，再逐步推导，难度适中，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
