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13.(改编)关于$x$的一元二次方程$3x^2 - 4x + a = 0$有两个相等的实数根,则$a$的值为________。
答案
13.$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，需运用一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = B^2 - 4AC = 0$。本题中方程是一元二次方程，直接代入判别式公式计算即可求出$a$的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$3x^2 - 4x + a = 0$，其中$A=3$，$B=-4$，$C=a$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = B^2 - 4AC = 0$，
代入得：$(-4)^2 - 4×3×a = 0$，
计算得：$16 - 12a = 0$，
移项解得：$a = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于常规基础题，只要掌握判别式与根的关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需运用一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = B^2 - 4AC = 0$。本题中方程是一元二次方程，直接代入判别式公式计算即可求出$a$的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$3x^2 - 4x + a = 0$，其中$A=3$，$B=-4$，$C=a$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = B^2 - 4AC = 0$，
代入得：$(-4)^2 - 4×3×a = 0$，
计算得：$16 - 12a = 0$，
移项解得：$a = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于常规基础题，只要掌握判别式与根的关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
14.(改编)在$□ ABCD$中，$∠ C=3∠ B$，则$∠ A=$
135
度。答案
14.135
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的核心性质：平行四边形的邻角互补（对边平行，同旁内角互补），且对角相等。本题已知∠C与∠B的数量关系，结合邻角互补的关系可先求出∠B，再利用对角相等的性质得到∠A的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，且∠A=∠C（平行四边形对角相等），
∴∠B + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵∠C=3∠B，
∴将∠C替换为3∠B，得∠B + 3∠B = 180°，
即4∠B=180°，解得∠B=45°，
∴∠C=3×45°=135°，
∴∠A=∠C=135°。
【答案】
135
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，属于常规基础题，解题关键是熟练运用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，通过角度关系建立简单方程即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先回忆平行四边形的核心性质：平行四边形的邻角互补（对边平行，同旁内角互补），且对角相等。本题已知∠C与∠B的数量关系，结合邻角互补的关系可先求出∠B，再利用对角相等的性质得到∠A的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，且∠A=∠C（平行四边形对角相等），
∴∠B + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵∠C=3∠B，
∴将∠C替换为3∠B，得∠B + 3∠B = 180°，
即4∠B=180°，解得∠B=45°，
∴∠C=3×45°=135°，
∴∠A=∠C=135°。
【答案】
135
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，属于常规基础题，解题关键是熟练运用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，通过角度关系建立简单方程即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
15.(改编)如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,E为OC上一点,连结BE并延长交CD于点F,满足$BA=BE$,若$BF=4\sqrt{2},DF=2\sqrt{2}$,则$BC=$
$\sqrt{30}$
。答案
15.$\sqrt{30}$ 解析:因为BA=BE,所以∠BAE=∠BEA,在矩形ABCD中,AB//CD,则∠BAE=∠ACD,因为∠BEA=∠CEF,所以∠CEF=∠ECF,则FE=FC,设FE=FC=x,则DC=DF+FC=2√2+x,BE=BF-EF=4√2-x,在矩形ABCD中,AB=CD,则AB=BE=CD,即4√2 -x=2√2 +x,解得x=√2,在Rt△BFC中,BF=4√2,FC=√2,则由勾股定理可得BC=√(BF²-FC²)=√30,故答案为:√30。
解析
【分析】
本题需结合矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理求解。首先利用矩形对边平行的性质，结合BA=BE得到的等腰三角形角相等，推导出FE=FC；再设未知数表示相关线段长度，利用AB=BE（矩形中AB=CD）建立方程求出FC的长度，最后在直角三角形BFC中用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，AB=CD，∠BCD=90°。
2. 由BA=BE，可知△BAE为等腰三角形，故∠BAE=∠BEA。
3. 因为AB//CD，所以∠BAE=∠ACD；又∠BEA=∠CEF（对顶角相等），因此∠CEF=∠ECF，可得FE=FC。
4. 设FE=FC=x，已知DF=2√2，则DC=DF+FC=2√2 + x；又BF=4√2，所以BE=BF - EF=4√2 - x。
5. 因为AB=BE，且AB=CD，所以4√2 - x = 2√2 + x，解得x=√2，即FC=√2。
6. 在Rt△BFC中，BF=4√2，FC=√2，根据勾股定理：BC=√(BF² - FC²)=√[(4√2)² - (√2)²]=√(32 - 2)=√30。
【答案】
√30
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、等腰三角形及勾股定理的应用，核心是通过角的关系推导出FE=FC，再利用线段等量关系建立方程求解，是一道中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
本题需结合矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理求解。首先利用矩形对边平行的性质，结合BA=BE得到的等腰三角形角相等，推导出FE=FC；再设未知数表示相关线段长度，利用AB=BE（矩形中AB=CD）建立方程求出FC的长度，最后在直角三角形BFC中用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，AB=CD，∠BCD=90°。
2. 由BA=BE，可知△BAE为等腰三角形，故∠BAE=∠BEA。
3. 因为AB//CD，所以∠BAE=∠ACD；又∠BEA=∠CEF（对顶角相等），因此∠CEF=∠ECF，可得FE=FC。
4. 设FE=FC=x，已知DF=2√2，则DC=DF+FC=2√2 + x；又BF=4√2，所以BE=BF - EF=4√2 - x。
5. 因为AB=BE，且AB=CD，所以4√2 - x = 2√2 + x，解得x=√2，即FC=√2。
6. 在Rt△BFC中，BF=4√2，FC=√2，根据勾股定理：BC=√(BF² - FC²)=√[(4√2)² - (√2)²]=√(32 - 2)=√30。
【答案】
√30
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、等腰三角形及勾股定理的应用，核心是通过角的关系推导出FE=FC，再利用线段等量关系建立方程求解，是一道中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
16.如图，O是$□ ABCD$对角线AC的中点，沿过点O的直线MN将$□ ABCD$折叠，使点A，B分别落在$A'$，$B'$处，$NB'$交CD于点E，若E是CD的中点，$NC=3$，$NB=7$，则$EB'=$______。
答案
16.2 解析:延长AD,NB'交于点H,
因为四边形ABCD是平行四边形,O是AC的中点,E是CD的中点,所以AD//BC,AD=BC,OA=OC,DE=CE,所以∠AMO=∠CNO,∠H=∠CNE,∠HMN=∠BNM,由折叠得∠HNM=∠BNM,NB'=NB,所以∠HMN=∠HNM,在△AOM和△CON中,$\begin{cases}∠AMO=∠CNO,\\∠AOM=∠CON,\\OA=OC,\end{cases}$所以△AOM≌△CON(AAS),所以MA=NC=3,所以AD-MA=BC-NC,所以MD=NB=NB'=7,在△DEH和△CEN中,$\begin{cases}∠H=∠CNE,\\∠DEH=∠CEN,\\DE=CE,\end{cases}$所以△DEH≌△CEN(AAS),所以HD=NC=3,EH=EN,所以NH=MH=MD+HD=10,所以EH=EN=$\frac{1}{2}NH=5$,所以EB'=NB'-EN=7-5=2,故答案为:2。解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质、折叠的性质，通过构造全等三角形转化线段长度。首先利用O是AC中点证明△AOM与△CON全等，得到MA=NC；再延长AD与NB'交于H，利用E是CD中点证明△DEH与△CEN全等，得到HD=NC；最后结合折叠性质NB'=NB，通过线段和差计算EB'。
【解析】
延长AD、NB'交于点H。
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，AD=BC，O是AC中点，故OA=OC，且∠AMO=∠CNO，∠H=∠CNE。
2. 在△AOM和△CON中：
$\begin{cases}∠AMO=∠CNO \\ ∠AOM=∠CON \\ OA=OC \end{cases}$，所以△AOM≌△CON（AAS），得MA=NC=3，因此MD=AD-MA=BC-NC，又NB=7，故MD=NB=7。
3. 由折叠的性质，∠HNM=∠BNM，且NB'=NB=7；又AD//BC，所以∠HMN=∠BNM，因此∠HMN=∠HNM，得MH=HN。
4. 因为E是CD中点，所以DE=CE，在△DEH和△CEN中：
$\begin{cases}∠H=∠CNE \\ ∠DEH=∠CEN \\ DE=CE \end{cases}$，所以△DEH≌△CEN（AAS），得HD=NC=3，EH=EN。
5. 因此NH=MH=MD+HD=7+3=10，故EN=EH=$\frac{1}{2}$NH=5。
6. 所以EB'=NB'-EN=7-5=2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、折叠及全等三角形的核心知识点，通过辅助线构造全等三角形转化线段，需要学生具备几何推理能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形的性质、折叠的性质，通过构造全等三角形转化线段长度。首先利用O是AC中点证明△AOM与△CON全等，得到MA=NC；再延长AD与NB'交于H，利用E是CD中点证明△DEH与△CEN全等，得到HD=NC；最后结合折叠性质NB'=NB，通过线段和差计算EB'。
【解析】
延长AD、NB'交于点H。
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，AD=BC，O是AC中点，故OA=OC，且∠AMO=∠CNO，∠H=∠CNE。
2. 在△AOM和△CON中：
$\begin{cases}∠AMO=∠CNO \\ ∠AOM=∠CON \\ OA=OC \end{cases}$，所以△AOM≌△CON（AAS），得MA=NC=3，因此MD=AD-MA=BC-NC，又NB=7，故MD=NB=7。
3. 由折叠的性质，∠HNM=∠BNM，且NB'=NB=7；又AD//BC，所以∠HMN=∠BNM，因此∠HMN=∠HNM，得MH=HN。
4. 因为E是CD中点，所以DE=CE，在△DEH和△CEN中：
$\begin{cases}∠H=∠CNE \\ ∠DEH=∠CEN \\ DE=CE \end{cases}$，所以△DEH≌△CEN（AAS），得HD=NC=3，EH=EN。
5. 因此NH=MH=MD+HD=7+3=10，故EN=EH=$\frac{1}{2}$NH=5。
6. 所以EB'=NB'-EN=7-5=2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、折叠及全等三角形的核心知识点，通过辅助线构造全等三角形转化线段，需要学生具备几何推理能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
17.计算:
(1)$\sqrt{18} × \sqrt{2} - 5$;
(2)$(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) × (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$。
(1)$\sqrt{18} × \sqrt{2} - 5$;
(2)$(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) × (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$。
答案
17.(1)原式$=3\sqrt{2} ×\sqrt{2} - 5=6-5=1$。
(2)原式$=(2\sqrt{2})^2-(3\sqrt{3})^2=8-27=-19$。
(2)原式$=(2\sqrt{2})^2-(3\sqrt{3})^2=8-27=-19$。
解析
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题思路：(1)先将$\sqrt{18}$化简为最简二次根式，再利用二次根式乘法法则计算乘法，最后进行减法运算；(2)观察式子结构，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，利用平方差公式简化计算，再求结果。
【解析】
(1) 先化简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
则原式$=3\sqrt{2}×\sqrt{2} -5$，
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{a}=a$，得$3×2 -5=6-5=1$；
(2) 原式符合平方差公式，即$(2\sqrt{2}-3\sqrt{3})(2\sqrt{2}+3\sqrt{3})$，
所以原式$=(2\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2$，
计算平方：$(2\sqrt{2})^2=4×2=8$，$(3\sqrt{3})^2=9×3=27$，
则原式$=8-27=-19$。
【答案】(1)1；(2)-19
【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘法、平方差公式
【点评】本题是二次根式混合运算的基础题，主要考查最简二次根式的化简、二次根式乘法法则及平方差公式的应用，解题关键是合理化简和运用公式，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 先化简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
则原式$=3\sqrt{2}×\sqrt{2} -5$，
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{a}=a$，得$3×2 -5=6-5=1$；
(2) 原式符合平方差公式，即$(2\sqrt{2}-3\sqrt{3})(2\sqrt{2}+3\sqrt{3})$，
所以原式$=(2\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2$，
计算平方：$(2\sqrt{2})^2=4×2=8$，$(3\sqrt{3})^2=9×3=27$，
则原式$=8-27=-19$。
【答案】(1)1；(2)-19
【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘法、平方差公式
【点评】本题是二次根式混合运算的基础题，主要考查最简二次根式的化简、二次根式乘法法则及平方差公式的应用，解题关键是合理化简和运用公式，难度适中。
【难度系数】0.7
18.解方程：
(1)$x^2 - 2x = 15$；
(2)$x^2 - 7x + 1 = 0$。
(1)$x^2 - 2x = 15$；
(2)$x^2 - 7x + 1 = 0$。
答案
18.(1)因为$x^2 - 2x = 15$,所以$x^2 - 2x - 15 = 0$,则$(x - 5)(x + 3) = 0$,所以$x - 5 = 0$或$x + 3 = 0$,解得$x_1 = 5$,$x_2 = -3$。
(2)因为$a=1$,$b=-7$,$c=1$,所以$\Delta=49-4×1×1=45＞0$,则$x=\frac{7\pm3\sqrt{5}}{2}$,即$x_1=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$。
(2)因为$a=1$,$b=-7$,$c=1$,所以$\Delta=49-4×1×1=45＞0$,则$x=\frac{7\pm3\sqrt{5}}{2}$,即$x_1=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
解一元二次方程时，需根据方程的结构特点选择合适的方法。第(1)题可先将方程化为一般形式，再通过十字相乘法因式分解求解；第(2)题方程难以直接因式分解，因此选用公式法，先确定方程的系数，计算判别式，再代入求根公式计算结果。
【解析】
(1) 移项，将方程化为一元二次方程的一般形式：$x^2 - 2x - 15 = 0$，
对左边因式分解得：$(x - 5)(x + 3) = 0$，
则$x - 5 = 0$或$x + 3 = 0$，
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -3$。
(2) 对于方程$x^2 - 7x + 1 = 0$，确定系数$a=1$，$b=-7$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×1×1 = 45 ＞ 0$，
代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
18.(1)$x_1 = 5$，$x_2 = -3$；(2)$x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的两种常用解法，因式分解法适用于易分解的方程，公式法是通用解法，需熟练掌握两种方法的步骤，是初中数学的基础考点。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程时，需根据方程的结构特点选择合适的方法。第(1)题可先将方程化为一般形式，再通过十字相乘法因式分解求解；第(2)题方程难以直接因式分解，因此选用公式法，先确定方程的系数，计算判别式，再代入求根公式计算结果。
【解析】
(1) 移项，将方程化为一元二次方程的一般形式：$x^2 - 2x - 15 = 0$，
对左边因式分解得：$(x - 5)(x + 3) = 0$，
则$x - 5 = 0$或$x + 3 = 0$，
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -3$。
(2) 对于方程$x^2 - 7x + 1 = 0$，确定系数$a=1$，$b=-7$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×1×1 = 45 ＞ 0$，
代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
18.(1)$x_1 = 5$，$x_2 = -3$；(2)$x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的两种常用解法，因式分解法适用于易分解的方程，公式法是通用解法，需熟练掌握两种方法的步骤，是初中数学的基础考点。
【难度系数】
0.7
