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19.某校团委要招聘一名节目主持人，A、B、C三位同学报名并参加了3个项目的素质测试，测试成绩如下表(单位:分)。
(1)计算得A同学的总成绩的平均分为80分，请求出B,C两同学的平均分。
(2)对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经验的成绩按$3:3:4$的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？
(1)计算得A同学的总成绩的平均分为80分，请求出B,C两同学的平均分。
(2)对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经验的成绩按$3:3:4$的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？
答案
19.(1)$\overline{x}_B=\frac{1}{3}×(78+86+79)=81$(分);$\overline{x}_C=\frac{1}{3}×(79+87+74)=80$(分)。
(2)A:$80×0.3+78×0.3+82×0.4=80.2$(分);B:$78×0.3+86×0.3+79×0.4=80.8$(分);C:$79×0.3+87×0.3+74×0.4=79.4$(分);因为$80.8＞80.2＞79.4$,所以B同学应聘成功。
(2)A:$80×0.3+78×0.3+82×0.4=80.2$(分);B:$78×0.3+86×0.3+79×0.4=80.8$(分);C:$79×0.3+87×0.3+74×0.4=79.4$(分);因为$80.8＞80.2＞79.4$,所以B同学应聘成功。
解析
【分析】
第(1)问要求B、C同学的平均分，这里的平均分是算术平均数，计算方法是将每个同学三个项目的成绩相加，再除以项目数3即可。第(2)问是加权平均数的应用，根据题目给出的比例3:3:4，先算出各项目对应的权重，再分别计算A、B、C三位同学的加权平均成绩，比较后得分最高的即为应聘成功者。
【解析】
(1) 计算B同学的平均分：
B同学三项成绩总和为 $78 + 86 + 79 = 243$（分），平均分 $\overline{x}_B = \frac{1}{3}×243 = 81$（分）；
计算C同学的平均分：
C同学三项成绩总和为 $79 + 87 + 74 = 240$（分），平均分 $\overline{x}_C = \frac{1}{3}×240 = 80$（分）。
(2) 确定权重：总比例为 $3+3+4=10$，因此知识积累权重为 $\frac{3}{10}=0.3$，人文素养权重为 $0.3$，实践经验权重为 $\frac{4}{10}=0.4$。
计算A同学的加权成绩：$80×0.3 + 78×0.3 + 82×0.4 = 24 + 23.4 + 32.8 = 80.2$（分）；
计算B同学的加权成绩：$78×0.3 + 86×0.3 + 79×0.4 = 23.4 + 25.8 + 31.6 = 80.8$（分）；
计算C同学的加权成绩：$79×0.3 + 87×0.3 + 74×0.4 = 23.7 + 26.1 + 29.6 = 79.4$（分）；
比较三人成绩：$80.8＞80.2＞79.4$，故B同学应聘成功。
【答案】
(1) B同学的平均分为81分，C同学的平均分为80分；
(2) B同学能应聘成功。
【知识点】
算术平均数、加权平均数
【点评】
本题考查算术平均数与加权平均数的计算，核心是掌握两种平均数的计算规则，尤其是加权平均数中权重的应用，属于统计类基础题，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问要求B、C同学的平均分，这里的平均分是算术平均数，计算方法是将每个同学三个项目的成绩相加，再除以项目数3即可。第(2)问是加权平均数的应用，根据题目给出的比例3:3:4，先算出各项目对应的权重，再分别计算A、B、C三位同学的加权平均成绩，比较后得分最高的即为应聘成功者。
【解析】
(1) 计算B同学的平均分：
B同学三项成绩总和为 $78 + 86 + 79 = 243$（分），平均分 $\overline{x}_B = \frac{1}{3}×243 = 81$（分）；
计算C同学的平均分：
C同学三项成绩总和为 $79 + 87 + 74 = 240$（分），平均分 $\overline{x}_C = \frac{1}{3}×240 = 80$（分）。
(2) 确定权重：总比例为 $3+3+4=10$，因此知识积累权重为 $\frac{3}{10}=0.3$，人文素养权重为 $0.3$，实践经验权重为 $\frac{4}{10}=0.4$。
计算A同学的加权成绩：$80×0.3 + 78×0.3 + 82×0.4 = 24 + 23.4 + 32.8 = 80.2$（分）；
计算B同学的加权成绩：$78×0.3 + 86×0.3 + 79×0.4 = 23.4 + 25.8 + 31.6 = 80.8$（分）；
计算C同学的加权成绩：$79×0.3 + 87×0.3 + 74×0.4 = 23.7 + 26.1 + 29.6 = 79.4$（分）；
比较三人成绩：$80.8＞80.2＞79.4$，故B同学应聘成功。
【答案】
(1) B同学的平均分为81分，C同学的平均分为80分；
(2) B同学能应聘成功。
【知识点】
算术平均数、加权平均数
【点评】
本题考查算术平均数与加权平均数的计算，核心是掌握两种平均数的计算规则，尤其是加权平均数中权重的应用，属于统计类基础题，难度适中。
【难度系数】
0.6
20.如图,已知$△ ABD$中,$AB=AD$,小明用圆规和直尺作出四边形$ABCD$的过程如下:
(1)分别以$B,D$为圆心,以$BD$长为半径画弧,两弧交于点$M$;
(2)作射线$AM$,交$BD$于点$O$;
(3)以点$O$为圆心,$OA$为半径画弧,交射线$AM$于点$C$;
(4)连结$CD,CB$。
依据上述得到的图形,解答下列问题:
(1)判断四边形$ABCD$是什么特殊四边形,并给出证明。
(2)若$BD=2$,$OA=3$,$DH⊥ AB$于点$H$,求$DH$的长。
(1)分别以$B,D$为圆心,以$BD$长为半径画弧,两弧交于点$M$;
(2)作射线$AM$,交$BD$于点$O$;
(3)以点$O$为圆心,$OA$为半径画弧,交射线$AM$于点$C$;
(4)连结$CD,CB$。
依据上述得到的图形,解答下列问题:
(1)判断四边形$ABCD$是什么特殊四边形,并给出证明。
(2)若$BD=2$,$OA=3$,$DH⊥ AB$于点$H$,求$DH$的长。
答案
20.(1)四边形$ABCD$是菱形。证明:因为$AD=AB$,所以点A在线段DB的垂直平分线上,由作法(1)知,$MD=MB=BD$,所以点M在线段DB的垂直平分线上,所以AM是BD的垂直平分线,所以$OB=OD$,由作法(3)知$OA=OC$,所以四边形$ABCD$是平行四边形,又因为$AB=AD$,所以四边形$ABCD$是菱形。
(2)因为四边形$ABCD$是菱形,所以$OB=\frac{1}{2}BD=1$,$AC⊥BD$,$AC=2AO=6$,所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,因为菱形$ABCD$的面积$=\frac{1}{2}·AC·BD=AB·DH$,所以$\frac{1}{2}×6×2=\sqrt{10}DH$,所以$DH=\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
(2)因为四边形$ABCD$是菱形,所以$OB=\frac{1}{2}BD=1$,$AC⊥BD$,$AC=2AO=6$,所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,因为菱形$ABCD$的面积$=\frac{1}{2}·AC·BD=AB·DH$,所以$\frac{1}{2}×6×2=\sqrt{10}DH$,所以$DH=\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
解析
【分析】
第(1)问，要判断四边形ABCD的形状，先利用“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，结合作图步骤确定AM是BD的垂直平分线，得到OB=OD；再由OA=OC，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD是平行四边形，结合AB=AD即可判定为菱形。第(2)问，利用菱形面积的两种计算方式（对角线乘积的一半、底×高），先求出AB的长度，再代入面积相等关系计算DH。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AD，
∴点A在BD的垂直平分线上。
由作法(1)知，MB=MD=BD，
∴点M也在BD的垂直平分线上，
∴直线AM是BD的垂直平分线，故OB=OD。
又由作法(3)得OA=OC，
∴四边形ABCD的对角线互相平分，即四边形ABCD是平行四边形。
又
∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形。
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，BD=2，OA=3，
∴OB=½BD=1，AC=2OA=6，且AC⊥BD。
在Rt△AOB中，AB=√(OA²+OB²)=√(3²+1²)=√10。
菱形ABCD的面积=½·AC·BD=½×6×2=6，
又菱形面积=AB·DH，
∴√10·DH=6，解得DH=6/√10=3√10/5。
【答案】(1) 四边形ABCD是菱形；(2) DH的长为$\frac{3\sqrt{10}}{5}$
【知识点】菱形的判定、菱形的面积计算、垂直平分线的性质
【点评】本题结合尺规作图考查菱形的判定与性质，需熟练运用垂直平分线的判定、平行四边形及菱形的判定定理，以及菱形面积的两种计算方法，是几何中的常见题型。
【难度系数】0.5
第(1)问，要判断四边形ABCD的形状，先利用“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，结合作图步骤确定AM是BD的垂直平分线，得到OB=OD；再由OA=OC，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD是平行四边形，结合AB=AD即可判定为菱形。第(2)问，利用菱形面积的两种计算方式（对角线乘积的一半、底×高），先求出AB的长度，再代入面积相等关系计算DH。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AD，
∴点A在BD的垂直平分线上。
由作法(1)知，MB=MD=BD，
∴点M也在BD的垂直平分线上，
∴直线AM是BD的垂直平分线，故OB=OD。
又由作法(3)得OA=OC，
∴四边形ABCD的对角线互相平分，即四边形ABCD是平行四边形。
又
∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形。
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，BD=2，OA=3，
∴OB=½BD=1，AC=2OA=6，且AC⊥BD。
在Rt△AOB中，AB=√(OA²+OB²)=√(3²+1²)=√10。
菱形ABCD的面积=½·AC·BD=½×6×2=6，
又菱形面积=AB·DH，
∴√10·DH=6，解得DH=6/√10=3√10/5。
【答案】(1) 四边形ABCD是菱形；(2) DH的长为$\frac{3\sqrt{10}}{5}$
【知识点】菱形的判定、菱形的面积计算、垂直平分线的性质
【点评】本题结合尺规作图考查菱形的判定与性质，需熟练运用垂直平分线的判定、平行四边形及菱形的判定定理，以及菱形面积的两种计算方法，是几何中的常见题型。
【难度系数】0.5
