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21.五一假期,某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加,5月4日至5日游客人数大幅减少。据统计,5月1日的游客人数为1.5万人,5月3日的游客人数为2.16万人。
(1)求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率。
(2)5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的$\frac{1}{3}$,求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人?
(1)求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率。
(2)5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的$\frac{1}{3}$,求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人?
答案
21.(1)设增长率为$x$,则$1.5×(1+x)^2=2.16$,解得:$x_1=0.2$,$x_2=-2.2$(舍去),所以日平均增长率为20%。
(2)设平均每天游客人数为$m$人,则$2m≤\frac{1}{3}(1.5+1.5×1.2+2.16)$,解得:$m≤0.91$,所以平均每天游客人数不超过0.91万人。
(2)设平均每天游客人数为$m$人,则$2m≤\frac{1}{3}(1.5+1.5×1.2+2.16)$,解得:$m≤0.91$,所以平均每天游客人数不超过0.91万人。
解析
【分析】
第(1)问是增长率问题，利用“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)的增长次数次方”，从5月1日到3日经过2次增长，设日平均增长率为$x$，列方程求解时需舍去负的不合理解；第(2)问先计算5月1日至3日的游客总人数，再根据“5月4日至5日总人数不超过前三天总人数的$\frac{1}{3}$”设未知数，列不等式求解，得到平均每天的最大值。
【解析】
(1)设5月1日至3日游客人数的日平均增长率为$x$，根据题意，从5月1日到3日经过2次增长，可得方程：
$1.5(1+x)^2 = 2.16$
两边同时除以1.5得：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = ±1.2$
因为增长率为正数，舍去$1+x = -1.2$，解得$x = 0.2 = 20\%$。
(2)先计算5月1日至3日游客总人数：
$1.5 + 1.5×(1+20\%) + 2.16 = 1.5 + 1.8 + 2.16 = 5.46$（万人）
设5月4日至5日平均每天游客人数为$m$万人，根据“两天总人数不超过前三天总人数的$\frac{1}{3}$”，可得不等式：
$2m ≤ \frac{1}{3}×5.46$
计算右边得：$\frac{1}{3}×5.46 = 1.82$
所以$2m ≤ 1.82$，解得$m ≤ 0.91$。
【答案】
(1)5月1日至3日游客人数的日平均增长率为20%；
(2)5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是0.91万人。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题），一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际场景考查增长率问题和不等式的应用，解题关键是找准等量关系和不等关系，注意舍去不符合实际意义的解，计算过程需准确，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
第(1)问是增长率问题，利用“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)的增长次数次方”，从5月1日到3日经过2次增长，设日平均增长率为$x$，列方程求解时需舍去负的不合理解；第(2)问先计算5月1日至3日的游客总人数，再根据“5月4日至5日总人数不超过前三天总人数的$\frac{1}{3}$”设未知数，列不等式求解，得到平均每天的最大值。
【解析】
(1)设5月1日至3日游客人数的日平均增长率为$x$，根据题意，从5月1日到3日经过2次增长，可得方程：
$1.5(1+x)^2 = 2.16$
两边同时除以1.5得：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = ±1.2$
因为增长率为正数，舍去$1+x = -1.2$，解得$x = 0.2 = 20\%$。
(2)先计算5月1日至3日游客总人数：
$1.5 + 1.5×(1+20\%) + 2.16 = 1.5 + 1.8 + 2.16 = 5.46$（万人）
设5月4日至5日平均每天游客人数为$m$万人，根据“两天总人数不超过前三天总人数的$\frac{1}{3}$”，可得不等式：
$2m ≤ \frac{1}{3}×5.46$
计算右边得：$\frac{1}{3}×5.46 = 1.82$
所以$2m ≤ 1.82$，解得$m ≤ 0.91$。
【答案】
(1)5月1日至3日游客人数的日平均增长率为20%；
(2)5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是0.91万人。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题），一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际场景考查增长率问题和不等式的应用，解题关键是找准等量关系和不等关系，注意舍去不符合实际意义的解，计算过程需准确，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
22.某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱。销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱：当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱，若每天的销售量为y(箱)，销售价格为x(元/箱)。
(1)求y与x之间的关系式。
(2)是否存在x，使得这天的销售利润达到600元？若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由。
(3)当销售价格定为多少时，该超市销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？[销售利润=(销售价格－采购价格)×销售量]
(1)求y与x之间的关系式。
(2)是否存在x，使得这天的销售利润达到600元？若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由。
(3)当销售价格定为多少时，该超市销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？[销售利润=(销售价格－采购价格)×销售量]
答案
22.(1)由题意,销售价格每增加1元,每天销售量减少2箱;当销售价格每箱30元时,每天销售量为40箱,且销售价格为$x$元/箱,所以每天的销售量为$y=40-2(x-30)$,即$y=-2x+100$。所以$y=-2x+100(30≤ x≤40)$。
(2)由题意,假设存在$x$,使得这天的销售利润达到600元,所以利润$=(-2x+100)(x-20)=600$。所以$x^2-70x+1300=0$。因为$\Delta＜0$,所以方程无解。所以销售利润不可能达到600元。
(3)由题意,利润$=(-2x+100)(x-20)=-2(x-35)^2+450$,因为$-2(x-35)^2≤0$,所以$-2(x-35)^2+450≤450$,所以当$x=35$时,销售利润最大值为450元。答:当销售价格定为35元/箱时,该超市销售这款食品每天获得的销售利润最大,最大销售利润是450元。
(2)由题意,假设存在$x$,使得这天的销售利润达到600元,所以利润$=(-2x+100)(x-20)=600$。所以$x^2-70x+1300=0$。因为$\Delta＜0$,所以方程无解。所以销售利润不可能达到600元。
(3)由题意,利润$=(-2x+100)(x-20)=-2(x-35)^2+450$,因为$-2(x-35)^2≤0$,所以$-2(x-35)^2+450≤450$,所以当$x=35$时,销售利润最大值为450元。答:当销售价格定为35元/箱时,该超市销售这款食品每天获得的销售利润最大,最大销售利润是450元。
解析
【分析】
本题围绕销售问题展开，分三小问考查函数与方程的实际应用。第(1)问需根据价格与销量的变化关系推导一次函数关系式，同时确定价格的取值范围；第(2)问利用利润公式建立一元二次方程，通过判别式判断方程解的情况；第(3)问将利润表达式转化为二次函数顶点式，结合函数性质求最大值。
【解析】
(1) 已知销售价格为30元/箱时，销售量为40箱；价格每增加1元，销售量减少2箱。当价格为x元/箱时，价格比30元多(x-30)元，减少的销售量为2(x-30)箱，因此销售量y=40-2(x-30)，化简得y=-2x+100。结合价格范围30≤x≤40，故y与x的关系式为：y=-2x+100(30≤x≤40)。
(2) 假设存在x使利润为600元，根据利润公式：利润=(售价-成本)×销量，成本为20元/箱，列方程：(x-20)(-2x+100)=600，整理得x²-70x+1300=0。计算判别式Δ=(-70)²-4×1×1300=-300＜0，方程无实根，故不存在这样的x。
(3) 设利润为W元，W=(x-20)(-2x+100)，整理为顶点式：W=-2(x-35)²+450。因二次项系数-2＜0，抛物线开口向下，当x=35时，W取最大值450元，且x=35在30≤x≤40范围内，符合条件。
【答案】
(1) y=-2x+100(30≤x≤40)；
(2) 不存在，理由略；
(3) 当销售价格定为35元/箱时，每天销售利润最大，最大利润为450元。
【知识点】
一次函数的应用、一元二次方程的判别式、二次函数的应用
【点评】
本题为实际应用类题型，需准确转化变量关系，建立数学模型，重点考查学生的建模能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题围绕销售问题展开，分三小问考查函数与方程的实际应用。第(1)问需根据价格与销量的变化关系推导一次函数关系式，同时确定价格的取值范围；第(2)问利用利润公式建立一元二次方程，通过判别式判断方程解的情况；第(3)问将利润表达式转化为二次函数顶点式，结合函数性质求最大值。
【解析】
(1) 已知销售价格为30元/箱时，销售量为40箱；价格每增加1元，销售量减少2箱。当价格为x元/箱时，价格比30元多(x-30)元，减少的销售量为2(x-30)箱，因此销售量y=40-2(x-30)，化简得y=-2x+100。结合价格范围30≤x≤40，故y与x的关系式为：y=-2x+100(30≤x≤40)。
(2) 假设存在x使利润为600元，根据利润公式：利润=(售价-成本)×销量，成本为20元/箱，列方程：(x-20)(-2x+100)=600，整理得x²-70x+1300=0。计算判别式Δ=(-70)²-4×1×1300=-300＜0，方程无实根，故不存在这样的x。
(3) 设利润为W元，W=(x-20)(-2x+100)，整理为顶点式：W=-2(x-35)²+450。因二次项系数-2＜0，抛物线开口向下，当x=35时，W取最大值450元，且x=35在30≤x≤40范围内，符合条件。
【答案】
(1) y=-2x+100(30≤x≤40)；
(2) 不存在，理由略；
(3) 当销售价格定为35元/箱时，每天销售利润最大，最大利润为450元。
【知识点】
一次函数的应用、一元二次方程的判别式、二次函数的应用
【点评】
本题为实际应用类题型，需准确转化变量关系，建立数学模型，重点考查学生的建模能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
