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练3-1 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x - m^2 = 0$根的情况，下列说法正确的是 （）
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.根的个数与$m$的取值有关
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.根的个数与$m$的取值有关
答案
C
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，需运用根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。本题先确定方程中$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta$，再结合$m^2$的非负性判断$\Delta$的符号，进而确定根的情况。
【解析】对于一元二次方程$x^2 + 3x - m^2 = 0$，其中$a=1$，$b=3$，$c=-m^2$。计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×(-m^2) = 9 + 4m^2$。因为$m^2≥0$，所以$4m^2≥0$，因此$\Delta = 9 + 4m^2≥9＞0$，说明方程有两个不相等的实数根，故选项C正确。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式的计算规则及符号与根的对应关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】对于一元二次方程$x^2 + 3x - m^2 = 0$，其中$a=1$，$b=3$，$c=-m^2$。计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×(-m^2) = 9 + 4m^2$。因为$m^2≥0$，所以$4m^2≥0$，因此$\Delta = 9 + 4m^2≥9＞0$，说明方程有两个不相等的实数根，故选项C正确。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式的计算规则及符号与根的对应关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
练 3-2 已知一元二次方程$ax^2 + bx - 1 = 0(a≠0)$。
(1)当$a=1$时,若方程的一个根为$x=2$,求$b$的值以及方程的另一个根；
(2)当$2a - 1 = b$时,请判别方程根的情况。
(1)当$a=1$时,若方程的一个根为$x=2$,求$b$的值以及方程的另一个根；
(2)当$2a - 1 = b$时,请判别方程根的情况。
答案
解：
(1) 当$a=1$时，原方程为$x^2 + bx - 1 = 0$。
将$x=2$代入方程，得：
$2^2 + 2b - 1 = 0$
解得$b = -\frac{3}{2}$。
将$b=-\frac{3}{2}$代入方程，得$x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0$，
整理为$2x^2 - 3x - 2 = 0$，
因式分解得$(x-2)(2x+1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$，
即方程的另一个根为$x=-\frac{1}{2}$。
(2) 一元二次方程$ax^2 + bx - 1 = 0(a≠0)$的判别式为：
$\Delta = b^2 - 4· a· (-1) = b^2 + 4a$
将$b=2a-1$代入判别式，得：
$\Delta = (2a-1)^2 + 4a$
$=4a^2 - 4a + 1 + 4a$
$=4a^2 + 1$
∵$a≠0$，
∴$a^2＞0$，
∴$4a^2 + 1 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴此时方程有两个不相等的实数根。
(1) 当$a=1$时，原方程为$x^2 + bx - 1 = 0$。
将$x=2$代入方程，得：
$2^2 + 2b - 1 = 0$
解得$b = -\frac{3}{2}$。
将$b=-\frac{3}{2}$代入方程，得$x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0$，
整理为$2x^2 - 3x - 2 = 0$，
因式分解得$(x-2)(2x+1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$，
即方程的另一个根为$x=-\frac{1}{2}$。
(2) 一元二次方程$ax^2 + bx - 1 = 0(a≠0)$的判别式为：
$\Delta = b^2 - 4· a· (-1) = b^2 + 4a$
将$b=2a-1$代入判别式，得：
$\Delta = (2a-1)^2 + 4a$
$=4a^2 - 4a + 1 + 4a$
$=4a^2 + 1$
∵$a≠0$，
∴$a^2＞0$，
∴$4a^2 + 1 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴此时方程有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
第(1)问，已知a=1和方程的一个根x=2，根据一元二次方程根的定义，将a和根代入方程可求出b的值；再将b代入原方程，通过解方程得到另一个根，也可利用韦达定理快速求另一个根。第(2)问，判别一元二次方程根的情况需用根的判别式Δ=b²-4ac，先写出本题的判别式，再将b=2a-1代入化简，根据化简结果判断Δ的正负，进而确定根的情况。
【解析】
解：
(1) 当a=1时，原方程为x² + bx - 1 = 0。
将x=2代入方程，得：2² + 2b - 1 = 0，
计算得：3 + 2b = 0，解得b = -3/2。
将b=-3/2代入原方程，得x² - (3/2)x - 1 = 0，
两边同乘2整理为：2x² - 3x - 2 = 0，
因式分解得：(x - 2)(2x + 1) = 0，
解得x₁=2，x₂=-1/2，即方程的另一个根为x=-1/2。
(2) 一元二次方程ax² + bx - 1 = 0(a≠0)的判别式Δ = b² - 4·a·(-1) = b² + 4a。
将b=2a - 1代入Δ，得：
Δ=(2a - 1)² + 4a = 4a² - 4a + 1 + 4a = 4a² + 1。
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴4a² +1＞0，即Δ＞0，
∴此时方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) b的值为-3/2，方程的另一个根为-1/2；(2) 方程有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，分别考查根的定义和根的判别式的运用，解题思路清晰，步骤明确，只要掌握相关公式即可顺利解答，适合巩固基础。
【难度系数】
0.6
第(1)问，已知a=1和方程的一个根x=2，根据一元二次方程根的定义，将a和根代入方程可求出b的值；再将b代入原方程，通过解方程得到另一个根，也可利用韦达定理快速求另一个根。第(2)问，判别一元二次方程根的情况需用根的判别式Δ=b²-4ac，先写出本题的判别式，再将b=2a-1代入化简，根据化简结果判断Δ的正负，进而确定根的情况。
【解析】
解：
(1) 当a=1时，原方程为x² + bx - 1 = 0。
将x=2代入方程，得：2² + 2b - 1 = 0，
计算得：3 + 2b = 0，解得b = -3/2。
将b=-3/2代入原方程，得x² - (3/2)x - 1 = 0，
两边同乘2整理为：2x² - 3x - 2 = 0，
因式分解得：(x - 2)(2x + 1) = 0，
解得x₁=2，x₂=-1/2，即方程的另一个根为x=-1/2。
(2) 一元二次方程ax² + bx - 1 = 0(a≠0)的判别式Δ = b² - 4·a·(-1) = b² + 4a。
将b=2a - 1代入Δ，得：
Δ=(2a - 1)² + 4a = 4a² - 4a + 1 + 4a = 4a² + 1。
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴4a² +1＞0，即Δ＞0，
∴此时方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) b的值为-3/2，方程的另一个根为-1/2；(2) 方程有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，分别考查根的定义和根的判别式的运用，解题思路清晰，步骤明确，只要掌握相关公式即可顺利解答，适合巩固基础。
【难度系数】
0.6
例4 近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高。据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1 000人增加到2025年的1 210人。
(1)求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率；
(2)某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组。当每组售价为50元时，3月份售出了1 600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销。为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式。经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36 000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？
(1)求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率；
(2)某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组。当每组售价为50元时，3月份售出了1 600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销。为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式。经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36 000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？
答案
解：
(1) 设2024，2025这两年参加跑友人数的年均增长率为x，
根据题意得：
$1000(1+x)^2 = 1210$
两边同除以1000，得$(1+x)^2 = 1.21$
直接开平方，得$1+x = \pm1.1$
解得$x_1=0.1$，$x_2=-2.1$（不符合实际意义，舍去）
(2) 设该护膝肌贴组每组应降价m元，
则每组利润为$(50-30-m)$元，4月销售量为$(1600+200m)$组，
根据题意得：
$(20-m)(1600+200m) = 36000$
整理得：$m^2 -12m +20 = 0$
因式分解得：$(m-2)(m-10)=0$
解得$m_1=2$，$m_2=10$
∵要尽可能多的让利于顾客，
∴$m$取10。
答：2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%；该护膝肌贴组每组应降价10元。
(1) 设2024，2025这两年参加跑友人数的年均增长率为x，
根据题意得：
$1000(1+x)^2 = 1210$
两边同除以1000，得$(1+x)^2 = 1.21$
直接开平方，得$1+x = \pm1.1$
解得$x_1=0.1$，$x_2=-2.1$（不符合实际意义，舍去）
(2) 设该护膝肌贴组每组应降价m元，
则每组利润为$(50-30-m)$元，4月销售量为$(1600+200m)$组，
根据题意得：
$(20-m)(1600+200m) = 36000$
整理得：$m^2 -12m +20 = 0$
因式分解得：$(m-2)(m-10)=0$
解得$m_1=2$，$m_2=10$
∵要尽可能多的让利于顾客，
∴$m$取10。
答：2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%；该护膝肌贴组每组应降价10元。
解析
【分析】
本题包含两个实际应用问题，均需通过列一元二次方程解决。第(1)问是年均增长率问题，利用“初始量×(1+年均增长率)²=最终量”的关系，设增长率为x，代入对应数据列方程，舍去不符合实际的负解；第(2)问是利润问题，核心公式为“总利润=单件利润×销售量”，设降价m元，分别表示出单件利润和销售量，结合总利润列方程，最后根据“尽可能多让利于顾客”的实际要求选择合适的解。
【解析】
(1) 设2024，2025这两年参加跑友人数的年均增长率为x，
根据题意得：$1000(1+x)^2 = 1210$，
两边同除以1000，得$(1+x)^2 = 1.21$，
直接开平方，得$1+x = \pm1.1$，
解得$x_1=0.1$，$x_2=-2.1$（不符合实际意义，舍去）；
(2) 设该护膝肌贴组每组应降价m元，
则每组利润为$(50-30-m)=(20-m)$元，4月销售量为$(1600+200m)$组，
根据题意得：$(20-m)(1600+200m) = 36000$，
整理得：$m^2 -12m +20 = 0$，
因式分解得：$(m-2)(m-10)=0$，
解得$m_1=2$，$m_2=10$，
∵要尽可能多的让利于顾客，
∴$m$取10。
【答案】
2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%；该护膝肌贴组每组应降价10元。
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，涵盖增长率和利润两类常见题型，解题时需结合实际意义舍去不合理解，利润问题要根据“让利于顾客”的条件选择最优解，步骤清晰，注重数学与实际的结合。
【难度系数】
0.6
本题包含两个实际应用问题，均需通过列一元二次方程解决。第(1)问是年均增长率问题，利用“初始量×(1+年均增长率)²=最终量”的关系，设增长率为x，代入对应数据列方程，舍去不符合实际的负解；第(2)问是利润问题，核心公式为“总利润=单件利润×销售量”，设降价m元，分别表示出单件利润和销售量，结合总利润列方程，最后根据“尽可能多让利于顾客”的实际要求选择合适的解。
【解析】
(1) 设2024，2025这两年参加跑友人数的年均增长率为x，
根据题意得：$1000(1+x)^2 = 1210$，
两边同除以1000，得$(1+x)^2 = 1.21$，
直接开平方，得$1+x = \pm1.1$，
解得$x_1=0.1$，$x_2=-2.1$（不符合实际意义，舍去）；
(2) 设该护膝肌贴组每组应降价m元，
则每组利润为$(50-30-m)=(20-m)$元，4月销售量为$(1600+200m)$组，
根据题意得：$(20-m)(1600+200m) = 36000$，
整理得：$m^2 -12m +20 = 0$，
因式分解得：$(m-2)(m-10)=0$，
解得$m_1=2$，$m_2=10$，
∵要尽可能多的让利于顾客，
∴$m$取10。
【答案】
2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%；该护膝肌贴组每组应降价10元。
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，涵盖增长率和利润两类常见题型，解题时需结合实际意义舍去不合理解，利润问题要根据“让利于顾客”的条件选择最优解，步骤清晰，注重数学与实际的结合。
【难度系数】
0.6
练4-1 诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市，据某采摘基地了解:正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮。通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元。
(1)当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2 400元的销售额?
(2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2 500元?请计算说明。
(1)当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2 400元的销售额?
(2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2 500元?请计算说明。
答案
解：
(1) 设每篮樱桃售价定为x元，由题意得$x≥35$，
每天的销售量为$40 + \frac{50-x}{5} × 10 = 140 - 2x$篮，
根据总销售额为2400元列方程：
$x(140 - 2x) = 2400$
整理得：$x^2 - 70x + 1200 = 0$
因式分解得：$(x-40)(x-30)=0$
解得：$x_1=40$，$x_2=30$
∵ $x≥35$，∴ $x=30$不符合题意，舍去，得$x=40$。
(2) 假设每天销售额能达到2500元，列方程：
$x(140 - 2x) = 2500$
整理得：$x^2 - 70x + 1250 = 0$
计算判别式：$\Delta = 70^2 - 4×1×1250 = 4900 - 5000 = -100 ＜ 0$
该一元二次方程无实数根，不存在符合条件的售价。
∴ 每天的销售额不能达到2500元。
答：(1) 当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；(2) 该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元。
(1) 设每篮樱桃售价定为x元，由题意得$x≥35$，
每天的销售量为$40 + \frac{50-x}{5} × 10 = 140 - 2x$篮，
根据总销售额为2400元列方程：
$x(140 - 2x) = 2400$
整理得：$x^2 - 70x + 1200 = 0$
因式分解得：$(x-40)(x-30)=0$
解得：$x_1=40$，$x_2=30$
∵ $x≥35$，∴ $x=30$不符合题意，舍去，得$x=40$。
(2) 假设每天销售额能达到2500元，列方程：
$x(140 - 2x) = 2500$
整理得：$x^2 - 70x + 1250 = 0$
计算判别式：$\Delta = 70^2 - 4×1×1250 = 4900 - 5000 = -100 ＜ 0$
该一元二次方程无实数根，不存在符合条件的售价。
∴ 每天的销售额不能达到2500元。
答：(1) 当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；(2) 该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元。
解析
【分析】
要解决这两个问题，核心是先建立售价与销售量的关系，再利用“销售额=售价×销售量”的公式列方程求解。步骤如下：1. 设每篮售价为$x$元，根据“售价50元时售40篮，每降价5元多售10篮”，推导销售量表达式，同时注意售价不低于35元的限制；2. 第(1)问根据销售额2400元列方程，求解后结合售价范围取舍解；3. 第(2)问假设销售额为2500元，列方程后用一元二次方程根的判别式判断是否有实数解，进而确定能否达到。
【解析】
解：(1) 设每篮樱桃售价定为$x$元，由题意得$x≥35$，
每天的销售量为$40 + \frac{50 - x}{5}×10 = 140 - 2x$篮，
根据总销售额为2400元列方程：
$x(140 - 2x) = 2400$，
整理得：$x^2 - 70x + 1200 = 0$，
因式分解得：$(x - 40)(x - 30) = 0$，
解得：$x_1 = 40$，$x_2 = 30$，
∵ $x≥35$，
∴ $x = 30$不符合题意，舍去，得$x = 40$。
(2) 假设每天销售额能达到2500元，列方程：
$x(140 - 2x) = 2500$，
整理得：$x^2 - 70x + 1250 = 0$，
计算判别式：$\Delta = 70^2 - 4×1×1250 = 4900 - 5000 = -100 ＜ 0$，
该一元二次方程无实数根，不存在符合条件的售价，
∴ 每天的销售额不能达到2500元。
【答案】
(1) 当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；(2) 该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程在实际销售问题中的典型应用，重点考查学生从实际问题中抽象数学模型的能力，需注意实际问题中未知数的取值范围对解的限制，以及利用判别式判断方程解的情况，是基础应用题型。
【难度系数】
0.6
要解决这两个问题，核心是先建立售价与销售量的关系，再利用“销售额=售价×销售量”的公式列方程求解。步骤如下：1. 设每篮售价为$x$元，根据“售价50元时售40篮，每降价5元多售10篮”，推导销售量表达式，同时注意售价不低于35元的限制；2. 第(1)问根据销售额2400元列方程，求解后结合售价范围取舍解；3. 第(2)问假设销售额为2500元，列方程后用一元二次方程根的判别式判断是否有实数解，进而确定能否达到。
【解析】
解：(1) 设每篮樱桃售价定为$x$元，由题意得$x≥35$，
每天的销售量为$40 + \frac{50 - x}{5}×10 = 140 - 2x$篮，
根据总销售额为2400元列方程：
$x(140 - 2x) = 2400$，
整理得：$x^2 - 70x + 1200 = 0$，
因式分解得：$(x - 40)(x - 30) = 0$，
解得：$x_1 = 40$，$x_2 = 30$，
∵ $x≥35$，
∴ $x = 30$不符合题意，舍去，得$x = 40$。
(2) 假设每天销售额能达到2500元，列方程：
$x(140 - 2x) = 2500$，
整理得：$x^2 - 70x + 1250 = 0$，
计算判别式：$\Delta = 70^2 - 4×1×1250 = 4900 - 5000 = -100 ＜ 0$，
该一元二次方程无实数根，不存在符合条件的售价，
∴ 每天的销售额不能达到2500元。
【答案】
(1) 当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；(2) 该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程在实际销售问题中的典型应用，重点考查学生从实际问题中抽象数学模型的能力，需注意实际问题中未知数的取值范围对解的限制，以及利用判别式判断方程解的情况，是基础应用题型。
【难度系数】
0.6
