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练4-2 如图,学校为美化环境,准备用总长为29 m的篱笆,在靠墙的一侧设计一块矩形花圃ABCD,其中墙长19 m,花圃三边外围用篱笆围起,并在边BC上留一个1 m宽的门(建在EF处,另用其他材料)。
(1)若花圃的面积为$100\ \mathrm{m}^2$,求花圃的一边AB的长;
(2)花圃的面积能达到$120\ \mathrm{m}^2$吗?如果能,请你给出设计方案,如果不能,请说明理由。
(1)若花圃的面积为$100\ \mathrm{m}^2$,求花圃的一边AB的长;
(2)花圃的面积能达到$120\ \mathrm{m}^2$吗?如果能,请你给出设计方案,如果不能,请说明理由。
答案
解：
(1) 设花圃的一边AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，
由题意可得BC边的长度为$ 29 - 2x + 1 = (30 - 2x) \, \mathrm{m} $。
结合墙长19 m，得$ 0 ＜ 30 - 2x ≤ 19 $，解得$ 5.5 ≤ x ＜ 15 $。
根据花圃面积为$ 100 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(30 - 2x) = 100$
整理得：
$x^2 - 15x + 50 = 0$
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 10 $。
因为$ 5 ＜ 5.5 $，不符合x的取值范围，舍去$ x_1=5 $，故$ x=10 $。
(2) 假设花圃的面积能达到$ 120 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(30 - 2x) = 120$
整理得：
$x^2 - 15x + 60 = 0$
计算得该方程根的判别式：
$\Delta = (-15)^2 - 4 × 1 × 60 = -15 ＜ 0$
二次根式的被开方数不能为负，因此该一元二次方程没有实数根。
答：(1) 花圃的一边AB的长为10 m；(2) 花圃的面积不能达到$ 120 \, \mathrm{m}^2 $。
(1) 设花圃的一边AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，
由题意可得BC边的长度为$ 29 - 2x + 1 = (30 - 2x) \, \mathrm{m} $。
结合墙长19 m，得$ 0 ＜ 30 - 2x ≤ 19 $，解得$ 5.5 ≤ x ＜ 15 $。
根据花圃面积为$ 100 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(30 - 2x) = 100$
整理得：
$x^2 - 15x + 50 = 0$
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 10 $。
因为$ 5 ＜ 5.5 $，不符合x的取值范围，舍去$ x_1=5 $，故$ x=10 $。
(2) 假设花圃的面积能达到$ 120 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(30 - 2x) = 120$
整理得：
$x^2 - 15x + 60 = 0$
计算得该方程根的判别式：
$\Delta = (-15)^2 - 4 × 1 × 60 = -15 ＜ 0$
二次根式的被开方数不能为负，因此该一元二次方程没有实数根。
答：(1) 花圃的一边AB的长为10 m；(2) 花圃的面积不能达到$ 120 \, \mathrm{m}^2 $。
解析
【分析】
首先设AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，利用矩形对边相等的性质，可知CD的长度也为$ x \, \mathrm{m} $。结合篱笆总长29 m和BC边留1 m宽的门，可推导出BC边的长度表达式；再根据墙长19 m，确定$ x $的取值范围，避免解不符合实际情况。对于问题(1)，根据矩形面积公式列方程，结合$ x $的取值范围筛选有效解；对于问题(2)，同样根据面积公式列方程，通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，进而确定面积能否达到目标值。
【解析】
(1) 设花圃的一边AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，则CD = $ x \, \mathrm{m} $，BC边的长度为$ 29 - 2x + 1 = (30 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据墙长限制，BC需满足：$ 0 ＜ 30 - 2x ≤ 19 $，
解不等式得：$ 5.5 ≤ x ＜ 15 $。
已知花圃面积为$ 100 \, \mathrm{m}^2 $，由矩形面积公式$ AB×BC = 100 $，代入得：
$ x(30 - 2x) = 100 $，
整理为一元二次方程：$ x^2 - 15x + 50 = 0 $，
因式分解得：$ (x - 5)(x - 10) = 0 $，
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 10 $。
结合$ x $的取值范围$ 5.5 ≤ x ＜ 15 $，$ x = 5 $不符合，舍去，故$ x = 10 \, \mathrm{m} $。
(2) 假设花圃面积能达到$ 120 \, \mathrm{m}^2 $，根据面积公式列方程：
$ x(30 - 2x) = 120 $，
整理得：$ x^2 - 15x + 60 = 0 $，
计算判别式：$ \Delta = (-15)^2 - 4×1×60 = -15 ＜ 0 $，
因为一元二次方程判别式小于0时，方程无实数根，所以不存在符合条件的$ x $，即花圃面积不能达到$ 120 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
(1) 花圃的一边AB的长为10 m；(2) 花圃的面积不能达到120 m²。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积、判别式
【点评】
本题是一元二次方程在实际问题中的典型应用，关键在于正确推导BC边的长度表达式，结合墙长确定自变量的取值范围，避免解不符合实际情况，同时利用判别式判断方程根的情况，考查学生对实际问题的分析能力和一元二次方程的掌握程度。
【难度系数】
0.3
首先设AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，利用矩形对边相等的性质，可知CD的长度也为$ x \, \mathrm{m} $。结合篱笆总长29 m和BC边留1 m宽的门，可推导出BC边的长度表达式；再根据墙长19 m，确定$ x $的取值范围，避免解不符合实际情况。对于问题(1)，根据矩形面积公式列方程，结合$ x $的取值范围筛选有效解；对于问题(2)，同样根据面积公式列方程，通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，进而确定面积能否达到目标值。
【解析】
(1) 设花圃的一边AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，则CD = $ x \, \mathrm{m} $，BC边的长度为$ 29 - 2x + 1 = (30 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据墙长限制，BC需满足：$ 0 ＜ 30 - 2x ≤ 19 $，
解不等式得：$ 5.5 ≤ x ＜ 15 $。
已知花圃面积为$ 100 \, \mathrm{m}^2 $，由矩形面积公式$ AB×BC = 100 $，代入得：
$ x(30 - 2x) = 100 $，
整理为一元二次方程：$ x^2 - 15x + 50 = 0 $，
因式分解得：$ (x - 5)(x - 10) = 0 $，
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 10 $。
结合$ x $的取值范围$ 5.5 ≤ x ＜ 15 $，$ x = 5 $不符合，舍去，故$ x = 10 \, \mathrm{m} $。
(2) 假设花圃面积能达到$ 120 \, \mathrm{m}^2 $，根据面积公式列方程：
$ x(30 - 2x) = 120 $，
整理得：$ x^2 - 15x + 60 = 0 $，
计算判别式：$ \Delta = (-15)^2 - 4×1×60 = -15 ＜ 0 $，
因为一元二次方程判别式小于0时，方程无实数根，所以不存在符合条件的$ x $，即花圃面积不能达到$ 120 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
(1) 花圃的一边AB的长为10 m；(2) 花圃的面积不能达到120 m²。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积、判别式
【点评】
本题是一元二次方程在实际问题中的典型应用，关键在于正确推导BC边的长度表达式，结合墙长确定自变量的取值范围，避免解不符合实际情况，同时利用判别式判断方程根的情况，考查学生对实际问题的分析能力和一元二次方程的掌握程度。
【难度系数】
0.3
例5 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 6x - m = 0$。
(1)若方程有两个实数根,求$m$的取值范围;
(2)在(1)中,设$x_1, x_2$是该方程的两个根,且$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$,求$m$的值。
(1)若方程有两个实数根,求$m$的取值范围;
(2)在(1)中,设$x_1, x_2$是该方程的两个根,且$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$,求$m$的值。
答案
解：
(1) ∵ 方程$x^2 + 6x - m = 0$是一元二次方程，且有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = 6^2 - 4×1×(-m) ≥ 0$，
即$36 + 4m ≥ 0$，
解得$m ≥ -9$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -6$，$x_1x_2 = -m$，
将其代入$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$，得：
$-6 - 2×(-m) = 0$，
即$-6 + 2m = 0$，
解得$m = 3$。
∵ $3 ≥ -9$，满足(1)中$m$的取值范围，
∴ $m$的值为3。
(1) ∵ 方程$x^2 + 6x - m = 0$是一元二次方程，且有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = 6^2 - 4×1×(-m) ≥ 0$，
即$36 + 4m ≥ 0$，
解得$m ≥ -9$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -6$，$x_1x_2 = -m$，
将其代入$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$，得：
$-6 - 2×(-m) = 0$，
即$-6 + 2m = 0$，
解得$m = 3$。
∵ $3 ≥ -9$，满足(1)中$m$的取值范围，
∴ $m$的值为3。
解析
【分析】
要解决这道题，分两步梳理思路：
1. 第(1)问：已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当判别式Δ≥0时方程有两个实数根，因此代入方程系数计算判别式，解不等式即可得到m的取值范围。
2. 第(2)问：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和与两根之积，再代入题目给出的等式得到关于m的方程，解出m后，需验证该m是否满足第(1)问的取值范围，确保解的合理性。
【解析】
解：
(1)
∵ 方程$x^2 + 6x - m = 0$是一元二次方程，且有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = 6^2 - 4×1×(-m) ≥ 0$，
即$36 + 4m ≥ 0$，
解得$m ≥ -9$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -6$，$x_1x_2 = -m$，
将其代入$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$，得：
$-6 - 2×(-m) = 0$，
即$-6 + 2m = 0$，
解得$m = 3$。
∵ $3 ≥ -9$，满足(1)中$m$的取值范围，
∴ $m$的值为3。
【答案】
(1) $m ≥ -9$；(2) $m = 3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的基础应用，步骤清晰，需注意解出参数后要验证是否符合前提条件，属于常规基础题型，侧重对核心知识点的掌握。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，分两步梳理思路：
1. 第(1)问：已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当判别式Δ≥0时方程有两个实数根，因此代入方程系数计算判别式，解不等式即可得到m的取值范围。
2. 第(2)问：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和与两根之积，再代入题目给出的等式得到关于m的方程，解出m后，需验证该m是否满足第(1)问的取值范围，确保解的合理性。
【解析】
解：
(1)
∵ 方程$x^2 + 6x - m = 0$是一元二次方程，且有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = 6^2 - 4×1×(-m) ≥ 0$，
即$36 + 4m ≥ 0$，
解得$m ≥ -9$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -6$，$x_1x_2 = -m$，
将其代入$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$，得：
$-6 - 2×(-m) = 0$，
即$-6 + 2m = 0$，
解得$m = 3$。
∵ $3 ≥ -9$，满足(1)中$m$的取值范围，
∴ $m$的值为3。
【答案】
(1) $m ≥ -9$；(2) $m = 3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的基础应用，步骤清晰，需注意解出参数后要验证是否符合前提条件，属于常规基础题型，侧重对核心知识点的掌握。
【难度系数】
0.6
练5 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2(a - 1)x + (a^2 - a) = 0$，其中$a ＜ 0$。
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根；
(2)若等腰三角形$ABC$的一腰$AB$长为$6$，另外两边$AC,BC$的长分别是这个方程的两个不相等的实数根，求等腰三角形$ABC$的周长。
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根；
(2)若等腰三角形$ABC$的一腰$AB$长为$6$，另外两边$AC,BC$的长分别是这个方程的两个不相等的实数根，求等腰三角形$ABC$的周长。
答案
(1)证明：
在一元二次方程$x^2 + 2(a - 1)x + (a^2 - a) = 0$中，
判别式$\Delta = [2(a-1)]^2 - 4×1×(a^2 - a)$
$=4(a^2 - 2a +1) - 4a^2 +4a$
$=4a^2 -8a +4 -4a^2 +4a$
$=-4a +4$
$\because a＜0$，
$\therefore -4a＞0$，
$\therefore \Delta = -4a +4 ＞4＞0$，
$\therefore$ 此方程有两个不相等的实数根。
(2)解：
由(1)知方程有两个不相等的实数根，即$AC≠ BC$。
$\because$ 等腰三角形$ABC$的一腰$AB=6$，
$\therefore 6$是方程的一个实数根，
将$x=6$代入原方程得：
$6^2 + 2(a-1)×6 + a^2 -a = 0$
整理得：$a^2 +11a +24 =0$
因式分解得：$(a+3)(a+8)=0$
解得$a_1=-3$，$a_2=-8$，均满足$a＜0$。
当$a=-3$时，原方程为$x^2 -8x +12=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=6$，
此时三角形三边长为6，6，2，满足三角形三边关系，周长为$6+6+2=14$。
当$a=-8$时，原方程为$x^2 -18x +72=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=12$，
此时三角形三边长为6，6，12，$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
答：等腰三角形$ABC$的周长为14。
在一元二次方程$x^2 + 2(a - 1)x + (a^2 - a) = 0$中，
判别式$\Delta = [2(a-1)]^2 - 4×1×(a^2 - a)$
$=4(a^2 - 2a +1) - 4a^2 +4a$
$=4a^2 -8a +4 -4a^2 +4a$
$=-4a +4$
$\because a＜0$，
$\therefore -4a＞0$，
$\therefore \Delta = -4a +4 ＞4＞0$，
$\therefore$ 此方程有两个不相等的实数根。
(2)解：
由(1)知方程有两个不相等的实数根，即$AC≠ BC$。
$\because$ 等腰三角形$ABC$的一腰$AB=6$，
$\therefore 6$是方程的一个实数根，
将$x=6$代入原方程得：
$6^2 + 2(a-1)×6 + a^2 -a = 0$
整理得：$a^2 +11a +24 =0$
因式分解得：$(a+3)(a+8)=0$
解得$a_1=-3$，$a_2=-8$，均满足$a＜0$。
当$a=-3$时，原方程为$x^2 -8x +12=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=6$，
此时三角形三边长为6，6，2，满足三角形三边关系，周长为$6+6+2=14$。
当$a=-8$时，原方程为$x^2 -18x +72=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=12$，
此时三角形三边长为6，6，12，$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
答：等腰三角形$ABC$的周长为14。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式后结合$a＜0$的条件证明判别式大于0，即可得出方程有两个不相等的实数根；第(2)问结合等腰三角形性质，腰长为6说明方程有一个根为6，代入方程求出$a$的值，再解原方程得到两根，最后根据三角形三边关系筛选符合条件的边长，计算周长。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 + 2(a - 1)x + (a^2 - a) = 0$，计算判别式：
$\Delta = [2(a-1)]^2 - 4×1×(a^2 - a)$
展开化简得：
$=4(a^2 -2a +1) -4a^2 +4a$
$=4a^2 -8a +4 -4a^2 +4a$
$=-4a +4$
已知$a ＜0$，则$-4a ＞0$，因此$\Delta = -4a +4 ＞ 0 +4 =4＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(2) 由(1)知方程有两个不相等的实数根，即$AC≠BC$，等腰三角形$ABC$的腰$AB=6$，故$x=6$是方程的一个根，将$x=6$代入原方程：
$6^2 +2(a-1)×6 +a^2 -a =0$
整理得：$a^2 +11a +24=0$
因式分解得：$(a+3)(a+8)=0$，解得$a=-3$或$a=-8$，均满足$a＜0$。
当$a=-3$时，原方程为$x^2 -8x +12=0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$，三角形三边长为6、6、2，满足三角形三边关系（$6+2＞6$），周长为$6+6+2=14$；
当$a=-8$时，原方程为$x^2 -18x +72=0$，解得$x_1=6$，$x_2=12$，三角形三边长为6、6、12，此时$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
综上，等腰三角形$ABC$的周长为14。
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程与等腰三角形的相关知识，解题关键是利用判别式判断根的情况，结合等腰三角形性质确定方程的根，且必须验证三角形三边关系，避免出现不符合条件的解，是易失分点。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式后结合$a＜0$的条件证明判别式大于0，即可得出方程有两个不相等的实数根；第(2)问结合等腰三角形性质，腰长为6说明方程有一个根为6，代入方程求出$a$的值，再解原方程得到两根，最后根据三角形三边关系筛选符合条件的边长，计算周长。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 + 2(a - 1)x + (a^2 - a) = 0$，计算判别式：
$\Delta = [2(a-1)]^2 - 4×1×(a^2 - a)$
展开化简得：
$=4(a^2 -2a +1) -4a^2 +4a$
$=4a^2 -8a +4 -4a^2 +4a$
$=-4a +4$
已知$a ＜0$，则$-4a ＞0$，因此$\Delta = -4a +4 ＞ 0 +4 =4＞0$，故此方程有两个不相等的实数根。
(2) 由(1)知方程有两个不相等的实数根，即$AC≠BC$，等腰三角形$ABC$的腰$AB=6$，故$x=6$是方程的一个根，将$x=6$代入原方程：
$6^2 +2(a-1)×6 +a^2 -a =0$
整理得：$a^2 +11a +24=0$
因式分解得：$(a+3)(a+8)=0$，解得$a=-3$或$a=-8$，均满足$a＜0$。
当$a=-3$时，原方程为$x^2 -8x +12=0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$，三角形三边长为6、6、2，满足三角形三边关系（$6+2＞6$），周长为$6+6+2=14$；
当$a=-8$时，原方程为$x^2 -18x +72=0$，解得$x_1=6$，$x_2=12$，三角形三边长为6、6、12，此时$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
综上，等腰三角形$ABC$的周长为14。
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程与等腰三角形的相关知识，解题关键是利用判别式判断根的情况，结合等腰三角形性质确定方程的根，且必须验证三角形三边关系，避免出现不符合条件的解，是易失分点。
【难度系数】
0.6
