1. 方程 $ x(x - 2) = 0 $ 的两个根的和是 （）

A.$-2$
B.$0$
C.$2$
D.$4$

C

【分析】
要解决这个问题，可通过两种思路：一是先求出方程的两个根，再计算它们的和；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算。方程$x(x-2)=0$是因式分解形式，根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，可快速求出根，进而计算和。
【解析】
方法一：因式分解法解方程
由$x(x - 2) = 0$，根据因式乘积为0的性质，可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得方程的两个根为$x_1 = 0$，$x_2 = 2$。
两根之和为$x_1 + x_2 = 0 + 2 = 2$。
方法二：韦达定理法
将原方程整理为标准一元二次方程：$x^2 - 2x = 0$，其中$a=1$，$b=-2$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，因此两根之和为$-\frac{-2}{1}=2$。
综上，方程两个根的和为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法、一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考查方程求解或根与系数的关系，解题方法灵活，既可以直接解方程计算，也可通过韦达定理快速得出结果，难度较低，适合巩固一元二次方程核心知识点。
【难度系数】
0.9

2. 关于$x$的一元二次方程$ax^2 - ax + c = 0(a ≠ 0)$没有实数根，则系数$a,c$可能满足 （）

A.$a＜0,a-4c＜0$
B.$a＜0,a+4c＜0$
C.$a＞0,a+4c＜0$
D.$a＞0,a-4c＜0$

D

【分析】
要解决这道题，需利用一元二次方程根的判别式：一元二次方程没有实数根时，其判别式Δ＜0。首先计算给定方程的判别式，再结合不等式的性质分析a和c满足的关系，最后对比选项得出答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 - ax + c = 0(a≠0)$，其判别式为：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4 · a · c = a^2 - 4ac$
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即：
$a^2 - 4ac ＜ 0$
提取公因式$a$，变形为：
$a(a - 4c) ＜ 0$
该不等式表示$a$与$(a - 4c)$异号，分两种情况：
1. 当$a ＞ 0$时，需满足$a - 4c ＜ 0$；
2. 当$a ＜ 0$时，需满足$a - 4c ＞ 0$。
对比选项，只有选项D（$a＞0,a-4c＜0$）符合上述情况，因此答案为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，不等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是准确计算判别式并结合不等式分析符号关系，难度适中，属于基础题型，需牢记判别式公式及不等式的符号判断规则。
【难度系数】
0.6

3.若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + k - 1 = 0$有两个相等的实数根,则$k$的值为 （）

A.$k=2$
B.$k=3$
C.$k=-1$
D.$k=-2$

A

【分析】要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式与根的关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。首先确定方程中$a、b、c$的值，再代入判别式公式列方程求解$k$，最后匹配选项得出答案。
【解析】对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。本题中方程为$x^2 - 2x + k - 1 = 0$，则$a=1$，$b=-2$，$c=k-1$。代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(k - 1) = 0$
计算得：$4 - 4(k - 1) = 0$
展开括号：$4 - 4k + 4 = 0$
合并同类项：$8 - 4k = 0$
解得：$k = 2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题型，只要牢记判别式与根的对应关系即可快速解答，是初中数学的核心基础知识点之一。
【难度系数】0.8

4. 某同学在解关于$ x $的方程$ ax^2 + bx + c = 0 $时，只抄对了$ a = 1, b = -8 $，解出其中一个根是$ x = -2 $。他核对时发现所抄的$ c $是原方程的$ c $的相反数，则原方程的根的情况是 （）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个根是 1
D.不存在实数根

D

【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：第一步，根据抄错的方程（a=1、b=-8，抄的c是原c的相反数）和已知根x=-2，求出抄的c的值；第二步，由抄的c与原c的关系，得到原方程的c；第三步，计算原方程的判别式，判断根的情况，进而选出正确选项。
【解析】
1. 求抄错方程的c：
抄错的方程为 $ x^2 -8x + c_1 =0 $（其中$ c_1 $是抄的c），将根$ x=-2 $代入该方程：
$ (-2)^2 -8×(-2) + c_1 =0 $
计算得：$ 4 +16 + c_1 =0 $，解得$ c_1=-20 $。
2. 求原方程的c：
题目说明“所抄的c是原方程的c的相反数”，即$ c_1 = -c $，因此原方程的$ c = -c_1 = 20 $。
3. 判断原方程根的情况：
原方程为$ x^2 -8x +20=0 $，计算判别式$ \Delta = b^2 -4ac $，代入$ a=1 $、$ b=-8 $、$ c=20 $：
$ \Delta = (-8)^2 -4×1×20 =64 -80 = -16 ＜0 $，因此原方程不存在实数根。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解
【点评】
本题结合一元二次方程的根，考查根的判别式的应用，关键是理清“抄的c与原c的相反数”的关系，避免符号错误，需掌握判别式的计算方法。
【难度系数】
0.5

5.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）。问户高、广各几何？”意思为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈，求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为$ x $尺，可列出方程
（）

A.$(x - 6.8)^2 + x^2 = 10^2$
B.$(x + 6.8)^2 + x^2 = 10^2$
C.$(x + 6.8)^2 + 10^2 = x^2$
D.$x^2 + 10^2 = (x + 6.8)^2$

B

【分析】
要解决本题，需先明确各量的关系：户广为$ x $尺，高比宽多6尺8寸，先将6尺8寸换算为6.8尺，因此户高为$(x + 6.8)$尺；门的对角线长为1丈，即10尺。门的宽、高和对角线构成直角三角形，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此可列出对应方程。
【解析】
已知户广为$ x $尺，6尺8寸换算为6.8尺，故户高为$(x + 6.8)$尺；对角线长1丈=10尺。根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，因此可列方程：$(x + 6.8)^2 + x^2 = 10^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题结合古代数学问题考查勾股定理的应用，核心是先正确转换单位，再利用直角三角形三边关系列方程，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6

6. 已知一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0(a≠0)$的一个正根和方程$x^2 + bx + a = 0$的一个正根相等。若$ax^2 + bx + 1 = 0$的另一个根为$x=4$，则$x^2 + bx + a = 0$的两个根分别为 （）

A.$x_1=-4,x_2=4$
B.$x_1=-4,x_2=1$
C.$x_1=\frac{1}{4},x_2=4$
D.$x_1=\frac{1}{4},x_2=1$

D

【分析】
首先设两个方程的公共正根为$m$，利用公共根同时满足两个方程的特点，将两式相减因式分解，结合公共根为正根确定$m$的值；再根据第一个方程的已知根为4，结合韦达定理求出$a$、$b$的值，最后代入第二个方程求解其根即可。
【解析】
设两个方程的公共正根为$m$，则：
对于方程$ax^2 + bx + 1 = 0$，有$am^2 + bm + 1 = 0$ ①；
对于方程$x^2 + bx + a = 0$，有$m^2 + bm + a = 0$ ②；
用① - ②得：$am^2 - m^2 + 1 - a = 0$，整理得$(a - 1)(m^2 - 1) = 0$。
因为公共根为正根，若$a≠1$，则$m^2=1$，正根$m=1$。
结合第一个方程$ax^2 + bx +1=0$的另一个根为4，根据韦达定理：
两根之积$1×4 = \frac{1}{a}$，解得$a=\frac{1}{4}$；
两根之和$1 + 4 = -\frac{b}{a}$，代入$a=\frac{1}{4}$得$5 = -4b$，解得$b=-\frac{5}{4}$。
将$a=\frac{1}{4}$，$b=-\frac{5}{4}$代入第二个方程$x^2 + bx +a=0$，得：
$x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{1}{4}=0$，两边乘4得$4x^2 -5x +1=0$，因式分解为$(4x-1)(x-1)=0$，解得$x_1=\frac{1}{4}$，$x_2=1$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、公共根问题
【点评】
本题考查一元二次方程公共根的处理及韦达定理的应用，关键是通过公共根建立方程求出公共根，再结合已知根求系数，进而求解目标方程的根，属于中等题型。
【难度系数】
0.4

7.设$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 7x - 4m^2 = 0$的两个不同实数根，则$x_1 + x_2$的值是 （）

A.$-4$
B.$4$
C.$7$
D.$-7$

C

【分析】
要解决这道题，需运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。本题中方程的常数项含$m^2$，但计算两根和时与常数项无关，只需确定$a$、$b$的值即可求解。
【解析】
已知方程$x^2 - 7x - 4m^2 = 0$是一元二次方程，其中$a=1$，$b=-7$，根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = 7$。因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查韦达定理的基础应用，题目中含$m^2$的项为干扰项，不影响两根和的计算，只需牢记韦达定理公式，注意$b$的符号即可快速解题。
【难度系数】
0.8