登录
8.若一元二次方程$x^2 - 3x - a = 0$有一个根为$x=1$，则$a$的值为________。
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】本题考查一元二次方程根的应用，解题思路是：根据一元二次方程根的定义，方程的根满足方程，将已知根$x=1$代入原方程，即可得到关于$a$的一元一次方程，解此方程就能求出$a$的值。
【解析】解：因为$x=1$是一元二次方程$x^2 - 3x - a = 0$的根，所以将$x=1$代入方程得：
$1^2 - 3×1 - a = 0$
计算得：$1 - 3 - a = 0$，即$-2 - a = 0$
移项解得：$a = -2$
【答案】$\boldsymbol{-2}$
【知识点】一元二次方程的根；一元一次方程的解法
【点评】本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的定义，只要理解“方程的根代入方程等式成立”这一概念，就能快速求解，属于易得分题。
【难度系数】0.9
【解析】解：因为$x=1$是一元二次方程$x^2 - 3x - a = 0$的根，所以将$x=1$代入方程得：
$1^2 - 3×1 - a = 0$
计算得：$1 - 3 - a = 0$，即$-2 - a = 0$
移项解得：$a = -2$
【答案】$\boldsymbol{-2}$
【知识点】一元二次方程的根；一元一次方程的解法
【点评】本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的定义，只要理解“方程的根代入方程等式成立”这一概念，就能快速求解，属于易得分题。
【难度系数】0.9
9.若$m$是方程$x^2 - x - 5 = 0$的一个实数根，则代数式$(m^2 - m)(m - \dfrac{5}{m} + 1)$的值为________。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是利用一元二次方程根的定义，通过整体代入法化简求值，无需计算m的具体值。首先将m代入方程得到关于m的等式，变形后分别求出所求代数式两个因式的值，再代入计算即可。
【解析】
因为$m$是方程$x^2 - x - 5 = 0$的实数根，将$m$代入方程得：
$m^2 - m - 5 = 0$，整理得：$m^2 - m = 5$；
又因为若$m=0$，代入方程得$-5=0$不成立，故$m≠0$；
将方程$x^2 - x -5=0$两边同时除以$m$，得：$m - 1 - \frac{5}{m} = 0$，整理得：$m - \frac{5}{m} = 1$；
则代数式$(m^2 - m)(m - \frac{5}{m} + 1)$代入上述结果计算：
原式$=5×(1 + 1)=5×2=10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，代数式整体代入求值
【点评】
本题考查利用一元二次方程根的性质进行代数式的整体化简，关键是通过方程变形得到所需的整体式，避免求解复杂根，简化计算，注重整体思想的应用，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，核心是利用一元二次方程根的定义，通过整体代入法化简求值，无需计算m的具体值。首先将m代入方程得到关于m的等式，变形后分别求出所求代数式两个因式的值，再代入计算即可。
【解析】
因为$m$是方程$x^2 - x - 5 = 0$的实数根，将$m$代入方程得：
$m^2 - m - 5 = 0$，整理得：$m^2 - m = 5$；
又因为若$m=0$，代入方程得$-5=0$不成立，故$m≠0$；
将方程$x^2 - x -5=0$两边同时除以$m$，得：$m - 1 - \frac{5}{m} = 0$，整理得：$m - \frac{5}{m} = 1$；
则代数式$(m^2 - m)(m - \frac{5}{m} + 1)$代入上述结果计算：
原式$=5×(1 + 1)=5×2=10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，代数式整体代入求值
【点评】
本题考查利用一元二次方程根的性质进行代数式的整体化简，关键是通过方程变形得到所需的整体式，避免求解复杂根，简化计算，注重整体思想的应用，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6
10. 已知关于$ x $的一元二次方程$ m(x - h)^2 - k = 0 $（$ m,h,k $均为常数，且$ m ≠ 0 $）的解是$ x_1 = 2, x_2 = 5 $，则关于$ x $的一元二次方程$ m(x - h + 3)^2 = k $的解是________。
答案
$\boldsymbol{x_1=-1,x_2=2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用换元思想，观察两个一元二次方程的结构相似性。首先将已知方程变形，明确其解对应的变量关系；再对待求解方程变形，发现其与已知方程结构一致，仅变量部分有常数项的变化，因此可通过替换变量直接利用已知方程的解推导未知方程的解。
【解析】
1. 整理已知方程：由$ m(x - h)^2 - k = 0 $，得$ m(x - h)^2 = k $，即$ (x - h)^2 = \frac{k}{m} $。
已知该方程的解为$ x_1 = 2, x_2 = 5 $，因此$ (x - h) $的取值为方程$ t^2 = \frac{k}{m} $的解，即$ t_1 = 2, t_2 = 5 $，故$ t = h \pm \sqrt{\frac{k}{m}} $，可得$ h + \sqrt{\frac{k}{m}} = 5 $，$ h - \sqrt{\frac{k}{m}} = 2 $，解得$ h = 3.5 $，$ \sqrt{\frac{k}{m}} = 1.5 $。
2. 整理待求解方程：由$ m(x - h + 3)^2 = k $，得$ (x - h + 3)^2 = \frac{k}{m} $，令$ t' = x - h + 3 $，则方程变为$ t'^2 = \frac{k}{m} $，因此$ t' = \pm \sqrt{\frac{k}{m}} = \pm 1.5 $。
3. 求解$ x $：
当$ t' = 1.5 $时，$ x - h + 3 = 1.5 $，代入$ h = 3.5 $，得$ x = 1.5 + 3.5 - 3 = 2 $；
当$ t' = -1.5 $时，$ x - h + 3 = -1.5 $，代入$ h = 3.5 $，得$ x = -1.5 + 3.5 - 3 = -1 $；
【答案】
$ x_1=-1,x_2=2 $
【知识点】
换元法解一元二次方程，一元二次方程的解
【点评】
本题考查换元思想在一元二次方程中的应用，核心是发现两个方程的结构一致性，通过整体替换简化计算，无需求解参数$ h,k $，体现了数学整体思想的应用，是中等难度的题型。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用换元思想，观察两个一元二次方程的结构相似性。首先将已知方程变形，明确其解对应的变量关系；再对待求解方程变形，发现其与已知方程结构一致，仅变量部分有常数项的变化，因此可通过替换变量直接利用已知方程的解推导未知方程的解。
【解析】
1. 整理已知方程：由$ m(x - h)^2 - k = 0 $，得$ m(x - h)^2 = k $，即$ (x - h)^2 = \frac{k}{m} $。
已知该方程的解为$ x_1 = 2, x_2 = 5 $，因此$ (x - h) $的取值为方程$ t^2 = \frac{k}{m} $的解，即$ t_1 = 2, t_2 = 5 $，故$ t = h \pm \sqrt{\frac{k}{m}} $，可得$ h + \sqrt{\frac{k}{m}} = 5 $，$ h - \sqrt{\frac{k}{m}} = 2 $，解得$ h = 3.5 $，$ \sqrt{\frac{k}{m}} = 1.5 $。
2. 整理待求解方程：由$ m(x - h + 3)^2 = k $，得$ (x - h + 3)^2 = \frac{k}{m} $，令$ t' = x - h + 3 $，则方程变为$ t'^2 = \frac{k}{m} $，因此$ t' = \pm \sqrt{\frac{k}{m}} = \pm 1.5 $。
3. 求解$ x $：
当$ t' = 1.5 $时，$ x - h + 3 = 1.5 $，代入$ h = 3.5 $，得$ x = 1.5 + 3.5 - 3 = 2 $；
当$ t' = -1.5 $时，$ x - h + 3 = -1.5 $，代入$ h = 3.5 $，得$ x = -1.5 + 3.5 - 3 = -1 $；
【答案】
$ x_1=-1,x_2=2 $
【知识点】
换元法解一元二次方程，一元二次方程的解
【点评】
本题考查换元思想在一元二次方程中的应用，核心是发现两个方程的结构一致性，通过整体替换简化计算，无需求解参数$ h,k $，体现了数学整体思想的应用，是中等难度的题型。
【难度系数】
0.5
11. 一个一元二次方程被墨水污染成$x^2 + x + 6 = 0$。小明和小亮回忆的内容如图所示，请根据图中的信息，求出这个方程及它的另一个根$x_2$。
答案
解：设该一元二次方程的二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，则原方程为$ax^2 + bx + 6 = 0$。
根据题意，得$b = a^2$，且$a ＜ -1$。
将根$x=3$代入方程，得：
$9a + 3b + 6 = 0$
把$b=a^2$代入上式，两边同除以3整理得：
$a^2 + 3a + 2 = 0$
因式分解得$(a+1)(a+2)=0$，解得$a_1=-1$，$a_2=-2$。
因为$a ＜ -1$，所以$a=-2$，则$b=a^2=(-2)^2=4$。
因此所求一元二次方程为$-2x^2 + 4x + 6 = 0$，化简得$x^2 - 2x - 3 = 0$。
对方程因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
答：这个方程为$-2x^2 +4x +6=0$（或化简为$x^2-2x-3=0$），它的另一个根$x_2=-1$。
根据题意，得$b = a^2$，且$a ＜ -1$。
将根$x=3$代入方程，得：
$9a + 3b + 6 = 0$
把$b=a^2$代入上式，两边同除以3整理得：
$a^2 + 3a + 2 = 0$
因式分解得$(a+1)(a+2)=0$，解得$a_1=-1$，$a_2=-2$。
因为$a ＜ -1$，所以$a=-2$，则$b=a^2=(-2)^2=4$。
因此所求一元二次方程为$-2x^2 + 4x + 6 = 0$，化简得$x^2 - 2x - 3 = 0$。
对方程因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
答：这个方程为$-2x^2 +4x +6=0$（或化简为$x^2-2x-3=0$），它的另一个根$x_2=-1$。
解析
【分析】
首先设该一元二次方程的二次项系数为$a$，根据题意可知一次项系数为$a^2$，结合方程的常数项为6，可表示出原方程；再将已知根$x=3$代入方程，得到关于$a$的方程，求解后根据二次项系数$a＜-1$的条件筛选出符合要求的$a$值，进而确定原方程；最后通过因式分解法求解方程，得到另一个根。
【解析】
解：设该一元二次方程的二次项系数为$a$，则一次项系数为$a^2$，原方程为$ax^2 + a^2x + 6 = 0$。
根据题意，将$x=3$代入方程得：
$9a + 3a^2 + 6 = 0$，
两边同除以3整理得：$a^2 + 3a + 2 = 0$，
因式分解得：$(a+1)(a+2)=0$，
解得$a_1=-1$，$a_2=-2$。
因为二次项系数$a ＜ -1$，所以$a=-2$，此时一次项系数$b=a^2=(-2)^2=4$，
因此原方程为$-2x^2 + 4x + 6 = 0$，化简得$x^2 - 2x - 3 = 0$。
对$x^2 - 2x - 3 = 0$因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
【答案】
这个方程为$-2x^2 +4x +6=0$（或化简为$x^2-2x-3=0$），它的另一个根$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合一元二次方程的系数关系和已知根的条件求解方程，再求另一个根，考查对一元二次方程基础知识的应用，步骤清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6
首先设该一元二次方程的二次项系数为$a$，根据题意可知一次项系数为$a^2$，结合方程的常数项为6，可表示出原方程；再将已知根$x=3$代入方程，得到关于$a$的方程，求解后根据二次项系数$a＜-1$的条件筛选出符合要求的$a$值，进而确定原方程；最后通过因式分解法求解方程，得到另一个根。
【解析】
解：设该一元二次方程的二次项系数为$a$，则一次项系数为$a^2$，原方程为$ax^2 + a^2x + 6 = 0$。
根据题意，将$x=3$代入方程得：
$9a + 3a^2 + 6 = 0$，
两边同除以3整理得：$a^2 + 3a + 2 = 0$，
因式分解得：$(a+1)(a+2)=0$，
解得$a_1=-1$，$a_2=-2$。
因为二次项系数$a ＜ -1$，所以$a=-2$，此时一次项系数$b=a^2=(-2)^2=4$，
因此原方程为$-2x^2 + 4x + 6 = 0$，化简得$x^2 - 2x - 3 = 0$。
对$x^2 - 2x - 3 = 0$因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
【答案】
这个方程为$-2x^2 +4x +6=0$（或化简为$x^2-2x-3=0$），它的另一个根$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合一元二次方程的系数关系和已知根的条件求解方程，再求另一个根，考查对一元二次方程基础知识的应用，步骤清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6
12. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x + 2m + 5 = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_1, x_2 $。
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若 $ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 ≤ 30 $，且 $ m $ 为整数，求 $ m $ 的值。
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若 $ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 ≤ 30 $，且 $ m $ 为整数，求 $ m $ 的值。
答案
解：
(1) ∵ 一元二次方程$x^2 - 6x + 2m + 5 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta ＞ 0$，
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+5) = 36 - 8m - 20 = 16 - 8m ＞ 0$，
解得 $m ＜ 2$。
(2) 由根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 5$，
∵ $x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 ≤ 30$，
∴ $(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 ≤ 30$，
代入得：$6^2 - 3(2m + 5) ≤ 30$，
即 $36 - 6m - 15 ≤ 30$，
化简得 $21 - 6m ≤ 30$，
移项得 $-6m ≤ 9$，
解得 $m ≥ -1.5$，
结合(1)中$m ＜ 2$，得 $-1.5 ≤ m ＜ 2$，
又∵ $m$为整数，
∴ $m$的值为$-1$，$0$，$1$。
(1) ∵ 一元二次方程$x^2 - 6x + 2m + 5 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta ＞ 0$，
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+5) = 36 - 8m - 20 = 16 - 8m ＞ 0$，
解得 $m ＜ 2$。
(2) 由根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 5$，
∵ $x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 ≤ 30$，
∴ $(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 ≤ 30$，
代入得：$6^2 - 3(2m + 5) ≤ 30$，
即 $36 - 6m - 15 ≤ 30$，
化简得 $21 - 6m ≤ 30$，
移项得 $-6m ≤ 9$，
解得 $m ≥ -1.5$，
结合(1)中$m ＜ 2$，得 $-1.5 ≤ m ＜ 2$，
又∵ $m$为整数，
∴ $m$的值为$-1$，$0$，$1$。
解析
【分析】
本题分两小问求解：第(1)问，一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ＞0，代入判别式公式计算后解不等式，得到m的取值范围；第(2)问，利用根与系数的关系（韦达定理）得出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，再通过完全平方公式将x₁²+x₂²转化为(x₁+x₂)²-2x₁x₂，代入题目给出的不等式得到关于m的不等式，结合第(1)问的m范围，找出符合条件的整数m。
【解析】
解：
(1)
∵ 一元二次方程$x^2 - 6x + 2m + 5 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta ＞ 0$，
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+5) = 36 - 8m - 20 = 16 - 8m ＞ 0$，
解得 $m ＜ 2$。
(2) 由根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 5$，
∵ $x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 ≤ 30$，
∴ $(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 ≤ 30$，
代入得：$6^2 - 3(2m + 5) ≤ 30$，
即 $36 - 6m - 15 ≤ 30$，
化简得 $21 - 6m ≤ 30$，
移项得 $-6m ≤ 9$，
解得 $m ≥ -1.5$，
结合(1)中$m ＜ 2$，得 $-1.5 ≤ m ＜ 2$，
又
∵ $m$为整数，
∴ $m$的值为$-1$，$0$，$1$。
【答案】
(1) $m ＜ 2$；(2) $m$的值为$-1$，$0$，$1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，核心是利用判别式判断根的情况，通过完全平方公式变形结合韦达定理转化不等式，需注意整数参数的限定条件，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分两小问求解：第(1)问，一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ＞0，代入判别式公式计算后解不等式，得到m的取值范围；第(2)问，利用根与系数的关系（韦达定理）得出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，再通过完全平方公式将x₁²+x₂²转化为(x₁+x₂)²-2x₁x₂，代入题目给出的不等式得到关于m的不等式，结合第(1)问的m范围，找出符合条件的整数m。
【解析】
解：
(1)
∵ 一元二次方程$x^2 - 6x + 2m + 5 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta ＞ 0$，
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+5) = 36 - 8m - 20 = 16 - 8m ＞ 0$，
解得 $m ＜ 2$。
(2) 由根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 5$，
∵ $x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 ≤ 30$，
∴ $(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 ≤ 30$，
代入得：$6^2 - 3(2m + 5) ≤ 30$，
即 $36 - 6m - 15 ≤ 30$，
化简得 $21 - 6m ≤ 30$，
移项得 $-6m ≤ 9$，
解得 $m ≥ -1.5$，
结合(1)中$m ＜ 2$，得 $-1.5 ≤ m ＜ 2$，
又
∵ $m$为整数，
∴ $m$的值为$-1$，$0$，$1$。
【答案】
(1) $m ＜ 2$；(2) $m$的值为$-1$，$0$，$1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，核心是利用判别式判断根的情况，通过完全平方公式变形结合韦达定理转化不等式，需注意整数参数的限定条件，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
13. 如图，某校旁边有一块长为 40 m、宽为 30 m 的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼。图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼[其中每个矩形的一边长均为 $ a $（m）]。
（1）设通道的宽度为 $ x $（m），则 $ a = $ m（用含 $ x $ 的代数式表示）；
（2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为 $ 850 \ \mathrm{m}^2 $，请问通道的宽度为多少？
第 13 题图
（1）设通道的宽度为 $ x $（m），则 $ a = $ m（用含 $ x $ 的代数式表示）；
（2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为 $ 850 \ \mathrm{m}^2 $，请问通道的宽度为多少？
第 13 题图
答案
解：
（1）水平方向总长度为40m，共有3条竖直通道，每条宽度为x，剩余部分总长度等于2a，因此
$3x + 2a = 40$
解得 $a = \frac{40-3x}{2}$
（2）由题意得，空白区域总面积满足：
$a·(30-2x) + a·(30-3x) = 850$
将$a=\frac{40-3x}{2}$代入上式：
$\frac{40-3x}{2} × (60 - 5x) = 850$
两边同乘2：
$(40-3x)(60-5x) = 1700$
展开整理：
$15x^2 - 380x + 700 = 0$
两边除以5化简得：
$3x^2 - 76x + 140 = 0$
解得：
$x = \frac{76 \pm \sqrt{76^2 - 4×3×140}}{2×3} = \frac{76 \pm 64}{6}$
即 $x_1=2$，$x_2=\frac{70}{3}$
$\because x=\frac{70}{3}$时，$3x=70＞40$，不符合实际意义，舍去
$\therefore x=2$
答：通道的宽度为2m。
（1）水平方向总长度为40m，共有3条竖直通道，每条宽度为x，剩余部分总长度等于2a，因此
$3x + 2a = 40$
解得 $a = \frac{40-3x}{2}$
（2）由题意得，空白区域总面积满足：
$a·(30-2x) + a·(30-3x) = 850$
将$a=\frac{40-3x}{2}$代入上式：
$\frac{40-3x}{2} × (60 - 5x) = 850$
两边同乘2：
$(40-3x)(60-5x) = 1700$
展开整理：
$15x^2 - 380x + 700 = 0$
两边除以5化简得：
$3x^2 - 76x + 140 = 0$
解得：
$x = \frac{76 \pm \sqrt{76^2 - 4×3×140}}{2×3} = \frac{76 \pm 64}{6}$
即 $x_1=2$，$x_2=\frac{70}{3}$
$\because x=\frac{70}{3}$时，$3x=70＞40$，不符合实际意义，舍去
$\therefore x=2$
答：通道的宽度为2m。
解析
【分析】
第（1）问：观察图形水平方向，整个矩形荒地长为40m，竖直方向有3条宽度为x的通道，剩余部分对应2个空白区域的边长a，根据水平方向总长度的等量关系，可推导出a的表达式。
第（2）问：空白区域是3个矩形，分别确定每个矩形的长和宽，计算总面积等于850㎡，将第（1）问的a代入得到关于x的一元二次方程，解方程后结合实际意义舍去不合理的解，得到通道宽度。
【解析】
（1）由水平方向总长度为40m，3条竖直通道总宽度为3x，剩余部分为2a，可得：
$3x + 2a = 40$
解得：$a = \frac{40 - 3x}{2}$
（2）空白区域总面积为三个矩形面积之和，列方程：
$a(30 - 2x) + a(30 - 3x) = 850$
将$a = \frac{40 - 3x}{2}$代入得：
$\frac{40 - 3x}{2} × (60 - 5x) = 850$
两边同乘2：
$(40 - 3x)(60 - 5x) = 1700$
展开整理：
$15x^2 - 380x + 700 = 0$
化简为：
$3x^2 - 76x + 140 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{76 \pm 64}{6}$
即$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{70}{3}$
因$x=\frac{70}{3}$时，$3x=70＞40$，不符合实际意义，舍去，故$x=2$。
【答案】
（1）$\frac{40 - 3x}{2}$；（2）2 m
【知识点】
一元一次方程应用、一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查方程的实际应用，关键是找准图形中的等量关系，列方程求解，需注意解的实际意义取舍，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.6
第（1）问：观察图形水平方向，整个矩形荒地长为40m，竖直方向有3条宽度为x的通道，剩余部分对应2个空白区域的边长a，根据水平方向总长度的等量关系，可推导出a的表达式。
第（2）问：空白区域是3个矩形，分别确定每个矩形的长和宽，计算总面积等于850㎡，将第（1）问的a代入得到关于x的一元二次方程，解方程后结合实际意义舍去不合理的解，得到通道宽度。
【解析】
（1）由水平方向总长度为40m，3条竖直通道总宽度为3x，剩余部分为2a，可得：
$3x + 2a = 40$
解得：$a = \frac{40 - 3x}{2}$
（2）空白区域总面积为三个矩形面积之和，列方程：
$a(30 - 2x) + a(30 - 3x) = 850$
将$a = \frac{40 - 3x}{2}$代入得：
$\frac{40 - 3x}{2} × (60 - 5x) = 850$
两边同乘2：
$(40 - 3x)(60 - 5x) = 1700$
展开整理：
$15x^2 - 380x + 700 = 0$
化简为：
$3x^2 - 76x + 140 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{76 \pm 64}{6}$
即$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{70}{3}$
因$x=\frac{70}{3}$时，$3x=70＞40$，不符合实际意义，舍去，故$x=2$。
【答案】
（1）$\frac{40 - 3x}{2}$；（2）2 m
【知识点】
一元一次方程应用、一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查方程的实际应用，关键是找准图形中的等量关系，列方程求解，需注意解的实际意义取舍，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.6
