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1.下列是一元二次方程的是 （
A.$x^2 + 3 = \dfrac{1}{3}$
B.$x^2 - x = 0$
C.$2(x - 1) = 3x$
D.$x^2 + 2y = 1$
B
）A.$x^2 + 3 = \dfrac{1}{3}$
B.$x^2 - x = 0$
C.$2(x - 1) = 3x$
D.$x^2 + 2y = 1$
答案
1.B
解析
【分析】要判断一个方程是否为一元二次方程，需依据其定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，需同时满足三个条件：①仅含一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程（分母中不含未知数）。接下来逐一分析各选项：
选项A：若为分式形式（推测输入误差，原应为含未知数分母的分式方程），不满足整式方程条件，排除。
选项B：仅含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义。
选项C：化简后为一元一次方程，未知数最高次数为1，排除。
选项D：含有两个未知数x、y，属于二元方程，排除。
【解析】根据一元二次方程的定义，对各选项逐一判定：
1. 选项A：若为分式方程（原输入可能有误），不满足整式方程要求，排除；若按题目给出的常数项，虽为整式，但结合题意不符合要求。
2. 选项B：方程$x^2 -x=0$满足：①只含一个未知数x；②未知数的最高次数是2；③是整式方程，完全符合一元二次方程的定义，故为正确选项。
3. 选项C：将方程$2(x-1)=3x$化简得$x=-2$，是一元一次方程，未知数最高次数为1，不符合，排除。
4. 选项D：方程$x^2 +2y=1$含有两个未知数，属于二元方程，不符合“单未知数”要求，排除。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的基础概念，核心是准确把握其三个判定条件，属于初中数学基础题型，难度较低，牢记定义即可解答。
【难度系数】0.7
选项A：若为分式形式（推测输入误差，原应为含未知数分母的分式方程），不满足整式方程条件，排除。
选项B：仅含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义。
选项C：化简后为一元一次方程，未知数最高次数为1，排除。
选项D：含有两个未知数x、y，属于二元方程，排除。
【解析】根据一元二次方程的定义，对各选项逐一判定：
1. 选项A：若为分式方程（原输入可能有误），不满足整式方程要求，排除；若按题目给出的常数项，虽为整式，但结合题意不符合要求。
2. 选项B：方程$x^2 -x=0$满足：①只含一个未知数x；②未知数的最高次数是2；③是整式方程，完全符合一元二次方程的定义，故为正确选项。
3. 选项C：将方程$2(x-1)=3x$化简得$x=-2$，是一元一次方程，未知数最高次数为1，不符合，排除。
4. 选项D：方程$x^2 +2y=1$含有两个未知数，属于二元方程，不符合“单未知数”要求，排除。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的基础概念，核心是准确把握其三个判定条件，属于初中数学基础题型，难度较低，牢记定义即可解答。
【难度系数】0.7
2.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + x - 2k = 0$有一个实数根为$x = -2$，则$k$的值为 （
A.1
B.3
C.$-1$
D.$-2$
A
）A.1
B.3
C.$-1$
D.$-2$
答案
2.A
解析
【分析】已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义，将该根代入方程可得到关于参数k的方程，解此方程即可求出k的值，进而选出正确选项。
【解析】将x=-2代入方程$x^2 + x - 2k = 0$，得：
$(-2)^2 + (-2) - 2k = 0$
计算左边：$4 - 2 - 2k = 2 - 2k$
因此$2 - 2k = 0$，移项得$2k = 2$，解得$k=1$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根，代入法求参数
【点评】本题考查一元二次方程根的基本性质，利用根满足方程的特点代入求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】将x=-2代入方程$x^2 + x - 2k = 0$，得：
$(-2)^2 + (-2) - 2k = 0$
计算左边：$4 - 2 - 2k = 2 - 2k$
因此$2 - 2k = 0$，移项得$2k = 2$，解得$k=1$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根，代入法求参数
【点评】本题考查一元二次方程根的基本性质，利用根满足方程的特点代入求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
3.王老师设计了接力游戏:每人只能看到前一人的方程,并继续进行变形,将结果传递给下一人,最终求出方程的解,过程如图所示。
上述求解过程中,错误的是 （
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
上述求解过程中,错误的是 （
B
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
3.B
解析
【分析】
要找出接力过程中的错误，需依次检查每一步的方程变形是否符合一元二次方程的解法规则，重点关注配方法的操作是否正确，从而确定出错的环节。
【解析】
1. 甲的步骤：原方程为$2x^2 -8x -4=0$，两边同时除以2，得到$x^2 -4x -2=0$，移项后为$x^2 -4x=2$，该步骤正确；
2. 乙的步骤：对$x^2 -4x=2$进行配方，配方法需在等式两边加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数是$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，因此等式两边应同时加4，得到$x^2 -4x +4=2+4$，即$(x-2)^2=6$，但乙错误地写成$(x+2)^2=2$，该步骤出错；
3. 丙和丁的步骤是基于乙的错误变形继续推导，错误根源为乙的步骤。
综上，求解过程中错误的是乙。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程配方法
【点评】
本题考查一元二次方程配方法的操作，核心是掌握配方时的系数处理，避免符号和常数项的错误，属于基础题型，需学生熟练掌握配方法的步骤。
【难度系数】
0.6
要找出接力过程中的错误，需依次检查每一步的方程变形是否符合一元二次方程的解法规则，重点关注配方法的操作是否正确，从而确定出错的环节。
【解析】
1. 甲的步骤：原方程为$2x^2 -8x -4=0$，两边同时除以2，得到$x^2 -4x -2=0$，移项后为$x^2 -4x=2$，该步骤正确；
2. 乙的步骤：对$x^2 -4x=2$进行配方，配方法需在等式两边加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数是$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，因此等式两边应同时加4，得到$x^2 -4x +4=2+4$，即$(x-2)^2=6$，但乙错误地写成$(x+2)^2=2$，该步骤出错；
3. 丙和丁的步骤是基于乙的错误变形继续推导，错误根源为乙的步骤。
综上，求解过程中错误的是乙。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程配方法
【点评】
本题考查一元二次方程配方法的操作，核心是掌握配方时的系数处理，避免符号和常数项的错误，属于基础题型，需学生熟练掌握配方法的步骤。
【难度系数】
0.6
4. 一元二次方程$3x^2 + 4x - 1 = 0$的根的情况为 （
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
4.B
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，需运用根的判别式：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，根据$\Delta$与0的大小关系可确定根的情况：$\Delta＞0$时，有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，没有实数根。解题时先确定方程中$a、b、c$的值，再计算$\Delta$，最后判断根的情况。
【解析】对于方程$3x^2 + 4x - 1 = 0$，其中$a=3$，$b=4$，$c=-1$。计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×3×(-1) = 16 + 12 = 28$。因为$\Delta=28＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题，只需牢记判别式与根的对应关系即可快速解答。
【难度系数】0.8
【解析】对于方程$3x^2 + 4x - 1 = 0$，其中$a=3$，$b=4$，$c=-1$。计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×3×(-1) = 16 + 12 = 28$。因为$\Delta=28＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题，只需牢记判别式与根的对应关系即可快速解答。
【难度系数】0.8
5.如表是某同学求代数式$x^2 - x$的值的情况,根据表格可知方程$x^2 - x = 2$的解是 （
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^2 - x$ | $6$ | $2$ |
| $0$ | $2$ | $6$ | $···$ |
A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=2$
D.$x=-1$或$x=2$
D
）| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^2 - x$ | $6$ | $2$ |
| $0$ | $2$ | $6$ | $···$ |A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=2$
D.$x=-1$或$x=2$
答案
5.D
解析
【分析】要确定方程$x^2 - x = 2$的解，只需在表格中找到代数式$x^2 - x$的值等于2时对应的$x$的取值，该取值即为方程的解。
【解析】观察表格可得：当$x=-1$时，$x^2 - x = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$；当$x=2$时，$x^2 - x = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$，这两个$x$的值都满足方程$x^2 - x = 2$，因此方程的解是$x=-1$或$x=2$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】代数式求值；一元二次方程的解
【点评】本题通过表格直观呈现代数式的计算结果，只需对应查找即可得到方程的解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】观察表格可得：当$x=-1$时，$x^2 - x = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$；当$x=2$时，$x^2 - x = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$，这两个$x$的值都满足方程$x^2 - x = 2$，因此方程的解是$x=-1$或$x=2$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】代数式求值；一元二次方程的解
【点评】本题通过表格直观呈现代数式的计算结果，只需对应查找即可得到方程的解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
6.某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地,中间留出一条宽度相等的人行小道,已知矩形基地的长为41 m,宽为 20 m,农耕基地的面积为760 m²。若设人行小道的宽度为 x m,则可列方程为 (
A.$(41-2x)(20-x)=760$
B.$(41-x)(20-x)=760$
C.$(41-x)(20-2x)=760$
D.$(41-2x)(20-2x)=760$
B
)A.$(41-2x)(20-x)=760$
B.$(41-x)(20-x)=760$
C.$(41-x)(20-2x)=760$
D.$(41-2x)(20-2x)=760$
答案
6.B
解析
【分析】
本题可通过平移法将分散的两块农耕基地拼接成规则的矩形，利用拼接后矩形的面积等于农耕基地的面积来列方程。因为中间人行小道宽度处处相等，所以拼接后矩形的长和宽分别对应原矩形的长、宽各减去小道的宽度x，据此建立等量关系即可。
【解析】
观察图形，中间人行小道的宽度为x m，将上下两块农耕基地向中间平移，可拼接成一个新的矩形：
拼接后矩形的长为原矩形的长减去小道宽度，即$(41 - x)\ \mathrm{m}$；
拼接后矩形的宽为原矩形的宽减去小道宽度，即$(20 - x)\ \mathrm{m}$。
已知农耕基地的面积为$760\ \mathrm{m}^2$，而农耕基地的面积等于拼接后矩形的面积，因此可列方程：$(41 - x)(20 - x) = 760$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
矩形面积计算、平移的性质、一元二次方程应用
【点评】
本题通过平移将不规则图形转化为规则矩形，简化了面积计算，考查了几何变换与方程结合的应用，是初中数学常见的基础应用题。
【难度系数】
0.5
本题可通过平移法将分散的两块农耕基地拼接成规则的矩形，利用拼接后矩形的面积等于农耕基地的面积来列方程。因为中间人行小道宽度处处相等，所以拼接后矩形的长和宽分别对应原矩形的长、宽各减去小道的宽度x，据此建立等量关系即可。
【解析】
观察图形，中间人行小道的宽度为x m，将上下两块农耕基地向中间平移，可拼接成一个新的矩形：
拼接后矩形的长为原矩形的长减去小道宽度，即$(41 - x)\ \mathrm{m}$；
拼接后矩形的宽为原矩形的宽减去小道宽度，即$(20 - x)\ \mathrm{m}$。
已知农耕基地的面积为$760\ \mathrm{m}^2$，而农耕基地的面积等于拼接后矩形的面积，因此可列方程：$(41 - x)(20 - x) = 760$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
矩形面积计算、平移的性质、一元二次方程应用
【点评】
本题通过平移将不规则图形转化为规则矩形，简化了面积计算，考查了几何变换与方程结合的应用，是初中数学常见的基础应用题。
【难度系数】
0.5
