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7.若关于$x$的方程$kx^2 - 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值可能是（
A.$0$
B.$2$
C.$4$
D.$6$
B
）A.$0$
B.$2$
C.$4$
D.$6$
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此要同时满足两个核心条件：一是二次项系数不为0，二是判别式大于0。先根据这两个条件确定k的取值范围，再结合选项逐一判断即可。
【解析】
解：
∵关于x的方程$kx^2 - 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴该方程是一元二次方程，需满足：
1. 二次项系数$k≠0$；
2. 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$（其中$a=k$，$b=-4$，$c=1$）。
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4×k×1 = 16 - 4k$，
令$\Delta＞0$，即$16 - 4k ＞ 0$，解得$k ＜ 4$。
结合$k≠0$，得$k$的取值范围是$k ＜ 4$且$k≠0$。
逐一分析选项：
A选项：$k=0$，此时方程为$-4x + 1 = 0$，是一元一次方程，只有1个实数根，不符合；
B选项：$k=2$，满足$k ＜ 4$且$k≠0$，符合条件；
C选项：$k=4$，$\Delta=16 - 4×4=0$，方程有两个相等的实数根，不符合；
D选项：$k=6$，$\Delta=16 - 4×6=-8 ＜ 0$，方程无实数根，不符合。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是牢记“有两个不相等实数根”需同时满足二次项系数不为0和判别式大于0，易忽略二次项系数不为0的条件，需注意细节。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此要同时满足两个核心条件：一是二次项系数不为0，二是判别式大于0。先根据这两个条件确定k的取值范围，再结合选项逐一判断即可。
【解析】
解：
∵关于x的方程$kx^2 - 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴该方程是一元二次方程，需满足：
1. 二次项系数$k≠0$；
2. 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$（其中$a=k$，$b=-4$，$c=1$）。
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4×k×1 = 16 - 4k$，
令$\Delta＞0$，即$16 - 4k ＞ 0$，解得$k ＜ 4$。
结合$k≠0$，得$k$的取值范围是$k ＜ 4$且$k≠0$。
逐一分析选项：
A选项：$k=0$，此时方程为$-4x + 1 = 0$，是一元一次方程，只有1个实数根，不符合；
B选项：$k=2$，满足$k ＜ 4$且$k≠0$，符合条件；
C选项：$k=4$，$\Delta=16 - 4×4=0$，方程有两个相等的实数根，不符合；
D选项：$k=6$，$\Delta=16 - 4×6=-8 ＜ 0$，方程无实数根，不符合。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是牢记“有两个不相等实数根”需同时满足二次项系数不为0和判别式大于0，易忽略二次项系数不为0的条件，需注意细节。
【难度系数】
0.6
8.已知关于$x$的方程$(x-1)(x-m)=0$与$(x-2m)^2=c$的解完全相同,则常数$c$的值是 （
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$1$
D.$4$
B
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$1$
D.$4$
答案
8.B
解析
【分析】要解决本题，需先求出两个方程的解，再根据“解完全相同”的条件建立等式，求出参数$m$，进而计算常数$c$。第一步，用因式分解法求第一个方程的解；第二步，用直接开平方法求第二个方程的解；第三步，利用两个方程解相同的关系，通过根的和或对应相等求出$m$；第四步，代入$m$的值计算$c$。
【解析】
1. 解方程$(x-1)(x-m)=0$，根据因式分解法，得方程的解为$x_1=1$，$x_2=m$。
2. 解方程$(x-2m)^2=c$，移项开平方得$x-2m=\pm\sqrt{c}$，因此方程的解为$x_3=2m+\sqrt{c}$，$x_4=2m-\sqrt{c}$（$c≥0$）。
3. 因为两个方程的解完全相同，所以它们的根的和相等：
第一个方程根的和为$1+m$，第二个方程根的和为$(2m+\sqrt{c})+(2m-\sqrt{c})=4m$，故$1+m=4m$，解得$m=\frac{1}{3}$。
4. 取根的对应关系，$2m-\sqrt{c}=m$，代入$m=\frac{1}{3}$得：$2×\frac{1}{3}-\sqrt{c}=\frac{1}{3}$，解得$\sqrt{c}=\frac{1}{3}$，因此$c=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解、因式分解法解方程、直接开平方法解方程
【点评】本题考查一元二次方程解的性质，核心是利用“解完全相同”的条件建立参数关系，需熟练掌握一元二次方程的解法，难度中等。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 解方程$(x-1)(x-m)=0$，根据因式分解法，得方程的解为$x_1=1$，$x_2=m$。
2. 解方程$(x-2m)^2=c$，移项开平方得$x-2m=\pm\sqrt{c}$，因此方程的解为$x_3=2m+\sqrt{c}$，$x_4=2m-\sqrt{c}$（$c≥0$）。
3. 因为两个方程的解完全相同，所以它们的根的和相等：
第一个方程根的和为$1+m$，第二个方程根的和为$(2m+\sqrt{c})+(2m-\sqrt{c})=4m$，故$1+m=4m$，解得$m=\frac{1}{3}$。
4. 取根的对应关系，$2m-\sqrt{c}=m$，代入$m=\frac{1}{3}$得：$2×\frac{1}{3}-\sqrt{c}=\frac{1}{3}$，解得$\sqrt{c}=\frac{1}{3}$，因此$c=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解、因式分解法解方程、直接开平方法解方程
【点评】本题考查一元二次方程解的性质，核心是利用“解完全相同”的条件建立参数关系，需熟练掌握一元二次方程的解法，难度中等。
【难度系数】0.5
9.若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的解是 $ x_1 = 2, x_2 = -4 $，则关于 $ y $ 的一元二次方程 $ a(y+1)^2 + b(y+1) + c = 0 $ 的解是（
A.$ y_1 = 2, y_2 = -4 $
B.$ y_1 = -1, y_2 = -5 $
C.$ y_1 = 3, y_2 = -3 $
D.$ y_1 = 1, y_2 = -5 $
D
）A.$ y_1 = 2, y_2 = -4 $
B.$ y_1 = -1, y_2 = -5 $
C.$ y_1 = 3, y_2 = -3 $
D.$ y_1 = 1, y_2 = -5 $
答案
9.D
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是利用一元二次方程解的定义和换元思想。已知关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$的解，而关于$y$的方程结构与原方程一致，仅将$x$替换为$(y+1)$，因此可将$(y+1)$看作原方程的未知数，令其等于原方程的解，即可求出$y$的值。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的解为$x_1 = 2$，$x_2 = -4$。
对于方程$a(y+1)^2 + b(y+1) + c = 0$，设$t = y + 1$，则方程可转化为$at^2 + bt + c = 0$。
根据方程解的定义，该方程的解为$t_1 = 2$，$t_2 = -4$。
当$t = 2$时，$y + 1 = 2$，解得$y = 1$；
当$t = -4$时，$y + 1 = -4$，解得$y = -5$。
因此，关于$y$的方程的解为$y_1 = 1$，$y_2 = -5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；换元法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解的定义及换元思想的应用，无需展开新方程，直接利用方程结构的一致性即可快速求解，是一元二次方程相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，核心是利用一元二次方程解的定义和换元思想。已知关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$的解，而关于$y$的方程结构与原方程一致，仅将$x$替换为$(y+1)$，因此可将$(y+1)$看作原方程的未知数，令其等于原方程的解，即可求出$y$的值。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的解为$x_1 = 2$，$x_2 = -4$。
对于方程$a(y+1)^2 + b(y+1) + c = 0$，设$t = y + 1$，则方程可转化为$at^2 + bt + c = 0$。
根据方程解的定义，该方程的解为$t_1 = 2$，$t_2 = -4$。
当$t = 2$时，$y + 1 = 2$，解得$y = 1$；
当$t = -4$时，$y + 1 = -4$，解得$y = -5$。
因此，关于$y$的方程的解为$y_1 = 1$，$y_2 = -5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；换元法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解的定义及换元思想的应用，无需展开新方程，直接利用方程结构的一致性即可快速求解，是一元二次方程相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.6
10.已知方程$x^2+bx+c=0$的两个根是$x=\pmα$，$x^2+dx+e=0$的两个根是$x=\pmβ$。当$x=β$时，$x^2+bx+c$的值记作$y_1$；当$x=α$时，$x^2+dx+e$的值记作$y_2$。下列结论一定成立的是（
A.$y_1+y_2=0$
B.$y_1-y_2=0$
C.$y_1· y_2=1$
D.$y_1-y_2=1$
A
）A.$y_1+y_2=0$
B.$y_1-y_2=0$
C.$y_1· y_2=1$
D.$y_1-y_2=1$
答案
10.A 解析:因为方程$x^2 +bx +c=0$的两个根是$x=\pmα$,所以$α+(-α)=-\dfrac{b}{1}$,则$b=0$,所以此方程为$x^2 +c=0$。将$x=α$代入方程,得$α^2=-c$。同理可得$d=0,β^2=-e$。因为当$x=β$时,$x^2+bx+c$的值记作$y_1$,所以$y_1=β^2 +c$。同理可得$y_2=α^2 +e$。所以$y_1+y_2=β^2 +c +α^2 +e=-e +c -c +e=0$。
解析
【分析】首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对两个已知根的方程分别求出系数$b$、$d$的值，进而得到$α^2$与$c$、$β^2$与$e$的关系；再根据$y_1$、$y_2$的定义，将对应值代入二次式得到$y_1$、$y_2$的表达式，最后代入化简验证各选项是否成立。
【解析】因为方程$x^2+bx+c=0$的两个根是$\pmα$，根据韦达定理，两根之和为$-α+α=0=-b$，故$b=0$，此时方程为$x^2 + c=0$，将$x=α$代入得$α^2 + c=0$，即$α^2=-c$。同理，方程$x^2+dx+e=0$的两个根是$\pmβ$，两根之和为$-β+β=0=-d$，故$d=0$，方程为$x^2 + e=0$，代入$x=β$得$β^2 + e=0$，即$β^2=-e$。根据题意，$y_1$是$x=β$时$x^2+bx+c$的值，代入$b=0$得$y_1=β^2 + c$；$y_2$是$x=α$时$x^2+dx+e$的值，代入$d=0$得$y_2=α^2 + e$。将$α^2=-c$、$β^2=-e$代入：$y_1+y_2=β^2 + c + α^2 + e=-e + c - c + e=0$，故A成立；$y_1-y_2=β^2 + c - α^2 - e=-e + c + c - e=2c-2e$，不一定为0，B不成立；$y_1·y_2=(β^2 + c)(α^2 + e)=(-e + c)(-c + e)=-(c-e)^2$，不一定为1，C不成立；$y_1-y_2=2c-2e$，不一定为1，D不成立。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】本题考查韦达定理的应用与代数式化简，需熟练掌握根与系数的关系，正确代入推导，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
【解析】因为方程$x^2+bx+c=0$的两个根是$\pmα$，根据韦达定理，两根之和为$-α+α=0=-b$，故$b=0$，此时方程为$x^2 + c=0$，将$x=α$代入得$α^2 + c=0$，即$α^2=-c$。同理，方程$x^2+dx+e=0$的两个根是$\pmβ$，两根之和为$-β+β=0=-d$，故$d=0$，方程为$x^2 + e=0$，代入$x=β$得$β^2 + e=0$，即$β^2=-e$。根据题意，$y_1$是$x=β$时$x^2+bx+c$的值，代入$b=0$得$y_1=β^2 + c$；$y_2$是$x=α$时$x^2+dx+e$的值，代入$d=0$得$y_2=α^2 + e$。将$α^2=-c$、$β^2=-e$代入：$y_1+y_2=β^2 + c + α^2 + e=-e + c - c + e=0$，故A成立；$y_1-y_2=β^2 + c - α^2 - e=-e + c + c - e=2c-2e$，不一定为0，B不成立；$y_1·y_2=(β^2 + c)(α^2 + e)=(-e + c)(-c + e)=-(c-e)^2$，不一定为1，C不成立；$y_1-y_2=2c-2e$，不一定为1，D不成立。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】本题考查韦达定理的应用与代数式化简，需熟练掌握根与系数的关系，正确代入推导，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
11.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$中一次项的系数是________。
答案
11.-3
解析
【分析】首先回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），其中$bx$是一次项，$b$是一次项系数。本题需从给定的一元二次方程中找到一次项，再确定其系数。
【解析】一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），一次项系数是一次项中未知数$x$前面的系数。在方程$x^2 - 3x + 2 = 0$中，一次项为$-3x$，因此一次项的系数是$-3$。
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的系数识别
【点评】本题为基础题，直接考察一元二次方程各项系数的基本概念，只要掌握方程的一般形式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），一次项系数是一次项中未知数$x$前面的系数。在方程$x^2 - 3x + 2 = 0$中，一次项为$-3x$，因此一次项的系数是$-3$。
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的系数识别
【点评】本题为基础题，直接考察一元二次方程各项系数的基本概念，只要掌握方程的一般形式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.9
12.小马同学在解方程时,等号左边的一个数字不小心被墨水污染了,如右式:$x^2 - \blacksquare = 0$。已知一个根$x_1=3$,则另一个根$x_2=\_\_\_\_\_\_$。
答案
12.-3
解析
【分析】
首先设被墨水污染的常数为$k$，将方程转化为$x^2 -k=0$的形式。解题思路有两种：一是代入已知根求出常数$k$，再解方程得到另一个根；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于形如$x^2 + bx + c=0$的方程，两根之和为$-b$，本题中$b=0$，故两根之和为0，可直接计算另一个根。
【解析】
设被污染的常数为$k$，则原方程为$x^2 -k=0$。
将已知根$x_1=3$代入方程，得$3^2 -k=0$，解得$k=9$。
因此原方程为$x^2 -9=0$，因式分解得$(x-3)(x+3)=0$，解得方程的根为$x_1=3$，$x_2=-3$，故另一个根为$-3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程的解；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的基础性质，难度较低，可通过代入法或韦达定理快速求解，适合巩固一元二次方程的核心知识点。
【难度系数】
0.7
首先设被墨水污染的常数为$k$，将方程转化为$x^2 -k=0$的形式。解题思路有两种：一是代入已知根求出常数$k$，再解方程得到另一个根；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于形如$x^2 + bx + c=0$的方程，两根之和为$-b$，本题中$b=0$，故两根之和为0，可直接计算另一个根。
【解析】
设被污染的常数为$k$，则原方程为$x^2 -k=0$。
将已知根$x_1=3$代入方程，得$3^2 -k=0$，解得$k=9$。
因此原方程为$x^2 -9=0$，因式分解得$(x-3)(x+3)=0$，解得方程的根为$x_1=3$，$x_2=-3$，故另一个根为$-3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程的解；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的基础性质，难度较低，可通过代入法或韦达定理快速求解，适合巩固一元二次方程的核心知识点。
【难度系数】
0.7
13.若关于$ x $的方程$ x^2 + 6x + a = 0 $有两个相等的实数根，则$ a $的值为________。
答案
13.9
解析
【分析】
首先明确一元二次方程根的判别式与根的关系：对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），当判别式$\Delta = B^2 - 4AC = 0$时，方程有两个相等的实数根。本题中方程$x^2 + 6x + a = 0$是一元二次方程，且有两个相等实数根，因此令判别式等于0，代入对应系数计算即可求出$a$的值。
【解析】
因为方程$x^2 + 6x + a = 0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = 6^2 - 4×1×a = 0$，计算得：$36 - 4a = 0$，移项得$4a = 36$，解得$a = 9$。
【答案】
9
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，熟练掌握判别式与根的关系是解题关键，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先明确一元二次方程根的判别式与根的关系：对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），当判别式$\Delta = B^2 - 4AC = 0$时，方程有两个相等的实数根。本题中方程$x^2 + 6x + a = 0$是一元二次方程，且有两个相等实数根，因此令判别式等于0，代入对应系数计算即可求出$a$的值。
【解析】
因为方程$x^2 + 6x + a = 0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = 6^2 - 4×1×a = 0$，计算得：$36 - 4a = 0$，移项得$4a = 36$，解得$a = 9$。
【答案】
9
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，熟练掌握判别式与根的关系是解题关键，难度较低。
【难度系数】
0.8
14.设$x_1,x_2$是方程$2x^2+6x-1=0$的两根，则$x_1+x_2+x_1x_2$的值是________。
答案
14.$-\dfrac{7}{2}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路是：先确定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再利用韦达定理分别求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若$x_1,x_2$是其两根，则有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
本题中方程为$2x^2 + 6x - 1 = 0$，则$a=2$，$b=6$，$c=-1$。
计算得：
$x_1 + x_2 = -\frac{6}{2} = -3$，
$x_1x_2 = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$。
代入$x_1 + x_2 + x_1x_2$得：
$-3 + (-\frac{1}{2}) = -\frac{7}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题为基础题，直接应用韦达定理即可求解，需注意两根和的符号（$-\frac{b}{a}$），避免符号错误，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路是：先确定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再利用韦达定理分别求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若$x_1,x_2$是其两根，则有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
本题中方程为$2x^2 + 6x - 1 = 0$，则$a=2$，$b=6$，$c=-1$。
计算得：
$x_1 + x_2 = -\frac{6}{2} = -3$，
$x_1x_2 = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$。
代入$x_1 + x_2 + x_1x_2$得：
$-3 + (-\frac{1}{2}) = -\frac{7}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题为基础题，直接应用韦达定理即可求解，需注意两根和的符号（$-\frac{b}{a}$），避免符号错误，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.9
15.定义:对于任意实数$a,b,c,d$,有$[a,b]*[c,d]=ac-bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$。已知关于$x$的方程$[x,m]*[x+5,5]=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
15.$m＞-\dfrac{5}{4}$
解析
【分析】首先明确题目给出的新运算规则，将方程中的数组代入规则转化为普通一元二次方程；再根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式Δ＞0，据此求解m的取值范围。
【解析】根据新运算定义：$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，将方程$[x,m]*[x+5,5]=0$展开得：
$x(x+5) - m×5 = 0$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2 +5x -5m =0$
因为该方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac ＞0$，其中$a=1$，$b=5$，$c=-5m$，代入得：
$\Delta =5^2 -4×1×(-5m)=25 +20m ＞0$
解不等式：$20m ＞ -25$，即$m ＞ -\frac{5}{4}$
【答案】$m＞-\dfrac{5}{4}$
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是正确转化新运算为普通方程，利用判别式性质求解，属于基础题型，需注意运算准确性。
【难度系数】0.6
【解析】根据新运算定义：$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，将方程$[x,m]*[x+5,5]=0$展开得：
$x(x+5) - m×5 = 0$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2 +5x -5m =0$
因为该方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac ＞0$，其中$a=1$，$b=5$，$c=-5m$，代入得：
$\Delta =5^2 -4×1×(-5m)=25 +20m ＞0$
解不等式：$20m ＞ -25$，即$m ＞ -\frac{5}{4}$
【答案】$m＞-\dfrac{5}{4}$
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是正确转化新运算为普通方程，利用判别式性质求解，属于基础题型，需注意运算准确性。
【难度系数】0.6
16.如图是一块长方形菜地ABCD，AB＝a m，AD＝b m，面积为S m²。现将边AB增加1 m，边AD增加2 m。若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为2S m²，则S的值是
6+4√2
。答案
16.$6+4\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先根据长方形面积公式表示原面积和新面积，建立方程后通过因式分解变形，结合边长的实际意义换元，再利用均值不等式分析“有且只有一个a的值”的条件，进而求出S的值。
【解析】
1. 原长方形面积：$ S = ab $。
2. 边AB增加1m、AD增加2m后，新长方形的长为$ b+2 $，宽为$ a+1 $，新面积为$ (a+1)(b+2) $，根据题意得：
$ (a+1)(b+2) = 2S = 2ab $
3. 展开并整理方程：
$ ab + 2a + b + 2 = 2ab $
移项得：$ ab - 2a - b = 2 $
两边加2后因式分解：$ ab -2a -b +2 =4 $，即$ (a-1)(b-2)=4 $。
4. 因a、b为边长，均为正数，故$ a＞1 $（若$ a≤1 $，则b为非正数，不符合实际）。令$ t=a-1(t＞0) $，则$ a=t+1 $，代入$ (a-1)(b-2)=4 $得$ b=\frac{4}{t}+2 $。
5. 原面积$ S=ab $，代入a、b的表达式：
$ S=(t+1)(\frac{4}{t}+2)=2t+\frac{4}{t}+6 $。
6. 题目要求“有且只有一个a的值”，即关于t的方程$ S=2t+\frac{4}{t}+6 $仅有一个正实根。根据均值不等式，对正数t，$ 2t+\frac{4}{t}≥2\sqrt{2t·\frac{4}{t}}=4\sqrt{2} $，当且仅当$ 2t=\frac{4}{t} $即$ t=\sqrt{2} $时取等号，此时S取得唯一对应值，故$ S=6+4\sqrt{2} $。
【答案】
$ 6+4\sqrt{2} $
【知识点】
长方形面积、因式分解、均值不等式
【点评】
本题结合几何图形的面积关系，通过代数变形建立方程，利用因式分解和均值不等式分析“唯一解”的条件，需要学生具备代数变形和不等式应用的综合能力，属于中等难度的代数几何结合题。
【难度系数】
0.4
首先根据长方形面积公式表示原面积和新面积，建立方程后通过因式分解变形，结合边长的实际意义换元，再利用均值不等式分析“有且只有一个a的值”的条件，进而求出S的值。
【解析】
1. 原长方形面积：$ S = ab $。
2. 边AB增加1m、AD增加2m后，新长方形的长为$ b+2 $，宽为$ a+1 $，新面积为$ (a+1)(b+2) $，根据题意得：
$ (a+1)(b+2) = 2S = 2ab $
3. 展开并整理方程：
$ ab + 2a + b + 2 = 2ab $
移项得：$ ab - 2a - b = 2 $
两边加2后因式分解：$ ab -2a -b +2 =4 $，即$ (a-1)(b-2)=4 $。
4. 因a、b为边长，均为正数，故$ a＞1 $（若$ a≤1 $，则b为非正数，不符合实际）。令$ t=a-1(t＞0) $，则$ a=t+1 $，代入$ (a-1)(b-2)=4 $得$ b=\frac{4}{t}+2 $。
5. 原面积$ S=ab $，代入a、b的表达式：
$ S=(t+1)(\frac{4}{t}+2)=2t+\frac{4}{t}+6 $。
6. 题目要求“有且只有一个a的值”，即关于t的方程$ S=2t+\frac{4}{t}+6 $仅有一个正实根。根据均值不等式，对正数t，$ 2t+\frac{4}{t}≥2\sqrt{2t·\frac{4}{t}}=4\sqrt{2} $，当且仅当$ 2t=\frac{4}{t} $即$ t=\sqrt{2} $时取等号，此时S取得唯一对应值，故$ S=6+4\sqrt{2} $。
【答案】
$ 6+4\sqrt{2} $
【知识点】
长方形面积、因式分解、均值不等式
【点评】
本题结合几何图形的面积关系，通过代数变形建立方程，利用因式分解和均值不等式分析“唯一解”的条件，需要学生具备代数变形和不等式应用的综合能力，属于中等难度的代数几何结合题。
【难度系数】
0.4
