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三、解答题(共72分)
17.(8分)解方程:
(1)$x^2 - 4 = 0$;
(2)$(x - 2)^2 = x - 2$。
17.(8分)解方程:
(1)$x^2 - 4 = 0$;
(2)$(x - 2)^2 = x - 2$。
答案
17.(1)$x_1=2,x_2=-2$；(2)$x_1=2,x_2=3$。
解析
【分析】
本题是一元二次方程的求解问题，需根据方程形式选择合适解法：第(1)题符合“x²=a（a≥0）”的形式，可直接用直接开平方法或平方差公式因式分解；第(2)题两边含相同因式，若直接除以该因式会漏解，需先移项，再提取公因式用因式分解法求解，同时要注意避免漏根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 4 = 0$：
移项得 $x^2 = 4$，
两边直接开平方，得 $x = ±2$，
因此方程的解为 $x_1 = 2$，$x_2 = -2$；
(2) 解方程$(x - 2)^2 = x - 2$：
移项，得 $(x - 2)^2 - (x - 2) = 0$，
提取公因式$(x - 2)$，得 $(x - 2)(x - 2 - 1) = 0$，
化简得 $(x - 2)(x - 3) = 0$，
则 $x - 2 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
【答案】
17.(1)$x_1=2,x_2=-2$；(2)$x_1=2,x_2=3$。
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，对应直接开平方法和因式分解法，是初中数学核心基础知识点。解题时需注意第(2)题不能直接除以公因式，需移项因式分解避免漏解，整体难度适中，是学生必须掌握的内容。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程的求解问题，需根据方程形式选择合适解法：第(1)题符合“x²=a（a≥0）”的形式，可直接用直接开平方法或平方差公式因式分解；第(2)题两边含相同因式，若直接除以该因式会漏解，需先移项，再提取公因式用因式分解法求解，同时要注意避免漏根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 4 = 0$：
移项得 $x^2 = 4$，
两边直接开平方，得 $x = ±2$，
因此方程的解为 $x_1 = 2$，$x_2 = -2$；
(2) 解方程$(x - 2)^2 = x - 2$：
移项，得 $(x - 2)^2 - (x - 2) = 0$，
提取公因式$(x - 2)$，得 $(x - 2)(x - 2 - 1) = 0$，
化简得 $(x - 2)(x - 3) = 0$，
则 $x - 2 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
【答案】
17.(1)$x_1=2,x_2=-2$；(2)$x_1=2,x_2=3$。
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，对应直接开平方法和因式分解法，是初中数学核心基础知识点。解题时需注意第(2)题不能直接除以公因式，需移项因式分解避免漏解，整体难度适中，是学生必须掌握的内容。
【难度系数】
0.8
18.(8分)习题课上,数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程:
嘉嘉:解方程$4(x-5)=(x-5)^2$,
解:方程两边同时除以$(x-5)$得,
$4=x-5$……第一步
$4+5=x$……第二步
$x=9$……第三步,
(1)嘉嘉的解答过程从第
(2)请给出这道题的正确解答过程。
嘉嘉:解方程$4(x-5)=(x-5)^2$,
解:方程两边同时除以$(x-5)$得,
$4=x-5$……第一步
$4+5=x$……第二步
$x=9$……第三步,
(1)嘉嘉的解答过程从第
一
步开始出现错误的;(2)请给出这道题的正确解答过程。
答案
18.(1)一；(2)原方程移项得$4(x-5)-(x-5)^2=0$,分解因式$(x-5)[4-(x-5)]=0$,即$x-5=0$或$4-x+5=0$,所以$x_1=5,x_2=9$。
解析
【分析】
解该方程时，嘉嘉错误地在方程两边同时除以含有未知数的式子$(x-5)$，忽略了$x-5$可能为0的情况，根据等式的性质，等式两边同时除以的数不能为0，因此该操作会导致漏解，故从第一步开始出错。正确思路是先将方程移项，再通过因式分解法求解，避免漏解，确保得到所有解。
【解析】
(1) 嘉嘉的解答从第一步开始出错，因为方程两边不能随意除以可能为0的整式$(x-5)$；
(2) 正确解答过程：
原方程移项得：$4(x-5)-(x-5)^2=0$，
提取公因式$(x-5)$得：$(x-5)[4-(x-5)]=0$，
化简括号内的式子：$(x-5)(9-x)=0$，
则有$x-5=0$或$9-x=0$，
解得：$x_1=5$，$x_2=9$。
【答案】
(1) 一；(2) $x_1=5$，$x_2=9$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程、等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，易错点是学生解方程时随意除以含未知数的整式，忽略其可能为0的情况，导致漏解。解题时应先移项，再通过因式分解法求解，保证解的完整性，避免此类错误。
【难度系数】
0.6
解该方程时，嘉嘉错误地在方程两边同时除以含有未知数的式子$(x-5)$，忽略了$x-5$可能为0的情况，根据等式的性质，等式两边同时除以的数不能为0，因此该操作会导致漏解，故从第一步开始出错。正确思路是先将方程移项，再通过因式分解法求解，避免漏解，确保得到所有解。
【解析】
(1) 嘉嘉的解答从第一步开始出错，因为方程两边不能随意除以可能为0的整式$(x-5)$；
(2) 正确解答过程：
原方程移项得：$4(x-5)-(x-5)^2=0$，
提取公因式$(x-5)$得：$(x-5)[4-(x-5)]=0$，
化简括号内的式子：$(x-5)(9-x)=0$，
则有$x-5=0$或$9-x=0$，
解得：$x_1=5$，$x_2=9$。
【答案】
(1) 一；(2) $x_1=5$，$x_2=9$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程、等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，易错点是学生解方程时随意除以含未知数的整式，忽略其可能为0的情况，导致漏解。解题时应先移项，再通过因式分解法求解，保证解的完整性，避免此类错误。
【难度系数】
0.6
19.(8分)如图是一架秋千的示意图,当它静止时,踏板离地的高$AD=0.6\ \mathrm{m}$;将踏板往前推,当$BC=1.2\ \mathrm{m}$时,踏板离地的高$BE=1.5\ \mathrm{m}$,此时秋千的绳索$OB$是笔直的,求$OB$的长。
答案
19.设$OB$的长为$x\ \mathrm{m}$,则$OA=OB=x\ \mathrm{m}$,因为$AC=CD-AD=BE-AD=1.5-0.6=0.9(\mathrm{m})$,所以$OC=OA-AC=(x-0.9)\mathrm{m}$。因为$BC^2+OC^2=OB^2$,所以$1.2^2+(x-0.9)^2=x^2$,所以$x=\dfrac{5}{4}$,所以$OB=\dfrac{5}{4}\mathrm{m}$。答:$OB$的长为$\dfrac{5}{4}\mathrm{m}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确秋千的绳索长度不变，即OA=OB，设OB的长为未知数。根据离地高度的差求出线段AC的长度，进而表示出OC的长度，再利用直角三角形OCB中的勾股定理建立方程，求解即可得到OB的长度。
【解析】
设OB的长为$ x \, \mathrm{m} $，因为秋千绳索长度不变，所以$ OA = OB = x \, \mathrm{m} $。
由题意可知，$ CD = BE = 1.5 \, \mathrm{m} $，$ AD = 0.6 \, \mathrm{m} $，因此$ AC = CD - AD = 1.5 - 0.6 = 0.9 \, \mathrm{m} $。
所以$ OC = OA - AC = (x - 0.9) \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt} △ OCB $中，根据勾股定理：$ BC^2 + OC^2 = OB^2 $，代入已知数值：
$ 1.2^2 + (x - 0.9)^2 = x^2 $
展开并化简方程：
$ 1.44 + x^2 - 1.8x + 0.81 = x^2 $
$ 2.25 - 1.8x = 0 $
解得：$ x = \frac{5}{4} $。
【答案】
$ \dfrac{5}{4}\ \mathrm{m} $
【知识点】
勾股定理应用；方程思想
【点评】
本题结合实际生活场景，利用勾股定理建立方程求解，关键是找准直角三角形和线段间的关系，体现了数学知识在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确秋千的绳索长度不变，即OA=OB，设OB的长为未知数。根据离地高度的差求出线段AC的长度，进而表示出OC的长度，再利用直角三角形OCB中的勾股定理建立方程，求解即可得到OB的长度。
【解析】
设OB的长为$ x \, \mathrm{m} $，因为秋千绳索长度不变，所以$ OA = OB = x \, \mathrm{m} $。
由题意可知，$ CD = BE = 1.5 \, \mathrm{m} $，$ AD = 0.6 \, \mathrm{m} $，因此$ AC = CD - AD = 1.5 - 0.6 = 0.9 \, \mathrm{m} $。
所以$ OC = OA - AC = (x - 0.9) \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt} △ OCB $中，根据勾股定理：$ BC^2 + OC^2 = OB^2 $，代入已知数值：
$ 1.2^2 + (x - 0.9)^2 = x^2 $
展开并化简方程：
$ 1.44 + x^2 - 1.8x + 0.81 = x^2 $
$ 2.25 - 1.8x = 0 $
解得：$ x = \frac{5}{4} $。
【答案】
$ \dfrac{5}{4}\ \mathrm{m} $
【知识点】
勾股定理应用；方程思想
【点评】
本题结合实际生活场景，利用勾股定理建立方程求解，关键是找准直角三角形和线段间的关系，体现了数学知识在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.6
