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20.(8分)把一个足球垂直地面向上踢，$t(\mathrm{s})$后该足球的高度$h(\mathrm{m})$适用公式$h=20t-5t^2$。
(1)经多少秒后足球回到地面？
(2)经多少秒时球的高度为$15\ \mathrm{m}$？
(1)经多少秒后足球回到地面？
(2)经多少秒时球的高度为$15\ \mathrm{m}$？
答案
20.(1)令$h=0$,得$20t-5t^2=0$,解得$t_1=0$(舍去),$t_2=4$。答:经$4\ \mathrm{s}$后足球回到地面。(2)令$h=15$,得$20t-5t^2=15$,解得$t_1=1,t_2=3$。答:经$1\ \mathrm{s}$或$3\ \mathrm{s}$时,球的高度为$15\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路为：根据问题对应的高度条件，将高度值代入给定的高度公式，转化为一元二次方程求解，再结合时间的实际意义（t≥0）舍去不符合题意的解。第(1)问足球回到地面时高度h=0，代入公式解方程后舍去初始时刻t=0；第(2)问球高15m时h=15，代入公式解方程，两个解分别对应上升和下落过程中高度为15m的时刻，均有效。
【解析】
(1) 足球回到地面时，高度$ h=0 $，将$ h=0 $代入公式$ h=20t-5t^2 $，得：
$ 20t -5t^2 =0 $
整理为因式分解形式：$ -5t(t -4)=0 $
解得：$ t_1=0 $，$ t_2=4 $
由于$ t=0 $表示足球刚被踢出的时刻，不符合“回到地面”的题意，故舍去$ t=0 $，保留$ t=4 $。
答：经$ 4\ \mathrm{s} $后足球回到地面。
(2) 当球的高度为$ 15\ \mathrm{m} $时，$ h=15 $，代入公式得：
$ 20t -5t^2 =15 $
整理为标准一元二次方程：$ 5t^2 -20t +15=0 $
两边同除以5化简：$ t^2 -4t +3=0 $
因式分解得：$ (t -1)(t -3)=0 $
解得：$ t_1=1 $，$ t_2=3 $
两个解均满足时间$ t≥0 $的实际意义，均有效。
答：经$ 1\ \mathrm{s} $或$ 3\ \mathrm{s} $时，球的高度为$ 15\ \mathrm{m} $。
【答案】
(1)$ 4\ \mathrm{s} $；(2)$ 1\ \mathrm{s} $或$ 3\ \mathrm{s} $
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心是将实际问题转化为一元二次方程求解，需注意解的实际意义，舍去不符合题意的解，考查学生对一元二次方程解法及实际应用的掌握情况，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路为：根据问题对应的高度条件，将高度值代入给定的高度公式，转化为一元二次方程求解，再结合时间的实际意义（t≥0）舍去不符合题意的解。第(1)问足球回到地面时高度h=0，代入公式解方程后舍去初始时刻t=0；第(2)问球高15m时h=15，代入公式解方程，两个解分别对应上升和下落过程中高度为15m的时刻，均有效。
【解析】
(1) 足球回到地面时，高度$ h=0 $，将$ h=0 $代入公式$ h=20t-5t^2 $，得：
$ 20t -5t^2 =0 $
整理为因式分解形式：$ -5t(t -4)=0 $
解得：$ t_1=0 $，$ t_2=4 $
由于$ t=0 $表示足球刚被踢出的时刻，不符合“回到地面”的题意，故舍去$ t=0 $，保留$ t=4 $。
答：经$ 4\ \mathrm{s} $后足球回到地面。
(2) 当球的高度为$ 15\ \mathrm{m} $时，$ h=15 $，代入公式得：
$ 20t -5t^2 =15 $
整理为标准一元二次方程：$ 5t^2 -20t +15=0 $
两边同除以5化简：$ t^2 -4t +3=0 $
因式分解得：$ (t -1)(t -3)=0 $
解得：$ t_1=1 $，$ t_2=3 $
两个解均满足时间$ t≥0 $的实际意义，均有效。
答：经$ 1\ \mathrm{s} $或$ 3\ \mathrm{s} $时，球的高度为$ 15\ \mathrm{m} $。
【答案】
(1)$ 4\ \mathrm{s} $；(2)$ 1\ \mathrm{s} $或$ 3\ \mathrm{s} $
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心是将实际问题转化为一元二次方程求解，需注意解的实际意义，舍去不符合题意的解，考查学生对一元二次方程解法及实际应用的掌握情况，难度适中。
【难度系数】
0.6
21.(8分)小明计划在水亭门“有礼摊位”进行手工编织挂件售卖，每个挂件的成本为13元，每天最多售出100个。经过市场调查发现:若挂件以单价25元/个售出，一天能售出70个；若每个降价1元，则一天可多售出10个。
(1)当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个？
(2)要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元？
(1)当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个？
(2)要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元？
答案
21.(1)当每个挂件定价为22元时,一天能卖出:$70+(25-22)×10=100$(个)；(2)设每个挂件降价$x$元,则每个挂件定价为$(25-x)$元,由题意得$(25-x-13)(70+10x)=880$,整理得$x^2-5x+4=0$,解得$x_1=1,x_2=4$,当$x=1$时,每天售出$70+1×10=80$(个),符合题意;当$x=4$时,每天售出$70+4×10=110$(个),不符合题意,舍去。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需根据定价与基准价的差额，结合“每降价1元多售10个”的条件计算总销量；第(2)问是销售利润问题，核心公式为“总利润=单个利润×销售量”，需设降价金额为未知数，分别表示单个利润和销售量，列一元二次方程求解，同时要结合“每天最多售100个”的实际限制舍去不符合的解。
【解析】
(1) 当定价为22元时，相比25元降价了 $25 - 22 = 3$ 元，
一天多售出的数量为 $3×10 = 30$ 个，
总销量为 $70 + 30 = 100$ 个；
(2) 设每个挂件降价 $x$ 元，则单个利润为 $(25 - x - 13)$ 元，一天销售量为 $(70 + 10x)$ 个，
根据总利润为880元，列方程：
$(25 - x - 13)(70 + 10x) = 880$，
整理得：$x² - 5x + 4 = 0$，
因式分解得：$(x - 1)(x - 4) = 0$，
解得 $x₁ = 1$，$x₂ = 4$；
验证：当 $x = 1$ 时，销售量为 $70 + 10×1 = 80$ 个，符合“最多售100个”的条件；
当 $x = 4$ 时，销售量为 $70 + 10×4 = 110$ 个，超过100个，不符合题意，舍去；
因此每个挂件应降价1元。
【答案】
21.(1)当每个挂件定价为22元时,一天能卖出:$70+(25-22)×10=100$(个)；(2)要使当天利润达到880元,则每个挂件应降价1元。
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用题，解题关键是掌握利润公式，同时需注意实际问题的隐含限制条件，考查学生的方程应用能力与实际问题分析能力，容易因忽略销量上限导致解错。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需根据定价与基准价的差额，结合“每降价1元多售10个”的条件计算总销量；第(2)问是销售利润问题，核心公式为“总利润=单个利润×销售量”，需设降价金额为未知数，分别表示单个利润和销售量，列一元二次方程求解，同时要结合“每天最多售100个”的实际限制舍去不符合的解。
【解析】
(1) 当定价为22元时，相比25元降价了 $25 - 22 = 3$ 元，
一天多售出的数量为 $3×10 = 30$ 个，
总销量为 $70 + 30 = 100$ 个；
(2) 设每个挂件降价 $x$ 元，则单个利润为 $(25 - x - 13)$ 元，一天销售量为 $(70 + 10x)$ 个，
根据总利润为880元，列方程：
$(25 - x - 13)(70 + 10x) = 880$，
整理得：$x² - 5x + 4 = 0$，
因式分解得：$(x - 1)(x - 4) = 0$，
解得 $x₁ = 1$，$x₂ = 4$；
验证：当 $x = 1$ 时，销售量为 $70 + 10×1 = 80$ 个，符合“最多售100个”的条件；
当 $x = 4$ 时，销售量为 $70 + 10×4 = 110$ 个，超过100个，不符合题意，舍去；
因此每个挂件应降价1元。
【答案】
21.(1)当每个挂件定价为22元时,一天能卖出:$70+(25-22)×10=100$(个)；(2)要使当天利润达到880元,则每个挂件应降价1元。
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用题，解题关键是掌握利润公式，同时需注意实际问题的隐含限制条件，考查学生的方程应用能力与实际问题分析能力，容易因忽略销量上限导致解错。
【难度系数】
0.6
22.(10分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 3 = 0$。
(1)若该方程有一个根是$x=-2$，求$k$的值；
(2)若该方程有两个实数根，求$k$的取值范围；
(3)若该方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=14$，求$k$的值。
(1)若该方程有一个根是$x=-2$，求$k$的值；
(2)若该方程有两个实数根，求$k$的取值范围；
(3)若该方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=14$，求$k$的值。
答案
22.(1)当$x=-2$时,$4-2(k-1)×(-2)+k^2+3=0$,整理,得$k^2+4k+3=0$,解得$k=-1$或$-3$；(2)根据题意,得$\Delta=[-2(k-1)]^2-4×1×(k^2+3)≥0$,解得$k≤-1$；(3)根据题意,得$x_1+x_2=2k-2$,$x_1x_2=k^2+3$。因为$(x_1-1)(x_2-1)=14$,所以$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=14$,即$k^2+3-(2k-2)+1=14$,整理,得$k^2-2k-8=0$,解得$k_1=-2$,$k_2=4$。因为$k≤-1$,所以$k=-2$。
解析
【分析】
本题分三个小问逐步求解：(1)已知方程的根，将根代入原方程可得到关于k的一元二次方程，解方程即可得到k的值；(2)方程有两个实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ≥0，据此列不等式求解k的取值范围；(3)利用韦达定理（根与系数的关系）得到两根之和与两根之积，将所求式子展开后代入，得到关于k的方程，解方程后需结合(2)中k的取值范围，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1)将$x=-2$代入方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 3 = 0$，得：
$(-2)^2 - 2(k - 1)×(-2) + k^2 + 3 = 0$，
整理得：$k^2 + 4k + 3 = 0$，
因式分解得$(k + 1)(k + 3) = 0$，解得$k = -1$或$k = -3$。
(2)因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$，
$\Delta = [-2(k - 1)]^2 - 4×1×(k^2 + 3) = -8k - 8$，
令$\Delta ≥ 0$，即$-8k - 8 ≥ 0$，解得$k ≤ -1$。
(3)由韦达定理，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 2k - 2$，$x_1x_2 = k^2 + 3$，
将$(x_1 - 1)(x_2 - 1)$展开得：$x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$，
代入$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 14$，得：
$k^2 + 3 - (2k - 2) + 1 = 14$，
整理得：$k^2 - 2k - 8 = 0$，
因式分解得$(k - 4)(k + 2) = 0$，解得$k = 4$或$k = -2$，
结合(2)中$k ≤ -1$的条件，舍去$k = 4$，故$k = -2$。
【答案】
(1)$k=-1$或$k=-3$；(2)$k≤-1$；(3)$k=-2$
【知识点】
一元二次方程的根、根的判别式、韦达定理
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，依次考查根的定义、根的判别式、韦达定理的应用，解题关键是第三问求出k值后需结合判别式范围舍去不符合条件的解，避免出错。
【难度系数】
0.6
本题分三个小问逐步求解：(1)已知方程的根，将根代入原方程可得到关于k的一元二次方程，解方程即可得到k的值；(2)方程有两个实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ≥0，据此列不等式求解k的取值范围；(3)利用韦达定理（根与系数的关系）得到两根之和与两根之积，将所求式子展开后代入，得到关于k的方程，解方程后需结合(2)中k的取值范围，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1)将$x=-2$代入方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 3 = 0$，得：
$(-2)^2 - 2(k - 1)×(-2) + k^2 + 3 = 0$，
整理得：$k^2 + 4k + 3 = 0$，
因式分解得$(k + 1)(k + 3) = 0$，解得$k = -1$或$k = -3$。
(2)因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$，
$\Delta = [-2(k - 1)]^2 - 4×1×(k^2 + 3) = -8k - 8$，
令$\Delta ≥ 0$，即$-8k - 8 ≥ 0$，解得$k ≤ -1$。
(3)由韦达定理，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 2k - 2$，$x_1x_2 = k^2 + 3$，
将$(x_1 - 1)(x_2 - 1)$展开得：$x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$，
代入$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 14$，得：
$k^2 + 3 - (2k - 2) + 1 = 14$，
整理得：$k^2 - 2k - 8 = 0$，
因式分解得$(k - 4)(k + 2) = 0$，解得$k = 4$或$k = -2$，
结合(2)中$k ≤ -1$的条件，舍去$k = 4$，故$k = -2$。
【答案】
(1)$k=-1$或$k=-3$；(2)$k≤-1$；(3)$k=-2$
【知识点】
一元二次方程的根、根的判别式、韦达定理
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，依次考查根的定义、根的判别式、韦达定理的应用，解题关键是第三问求出k值后需结合判别式范围舍去不符合条件的解，避免出错。
【难度系数】
0.6
